高中数学试题

“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：                    ．

将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点为中心﹐其中,分别为原点到两个顶点的向量﹒若将原点到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为的形式﹐则的最大值为（    ）

A．2

B．3

C．4

D．5

已知，函数在上单调递减，则的取值范围是  （   ）

A．

B．

C．

D．

（本小题满分13分）已知数列满足：，数列满足：，，数列的前项和为.
（Ⅰ）求证：数列为等比数列；
（Ⅱ）求证：数列为递增数列；
（Ⅲ）若当且仅当时，取得最小值，求的取值范围．

（本小题满分14分）若数列的各项均为正数，，为常数，且.
（1）求的值；
（2）证明：数列为等差数列；
（3）若，对任意给定的k∈N^*，是否存在p，r∈N^*(k<p<r)使，，成等差数列？若存在，用k分别表示一组p和r；若不存在，请说明理由．

（本小题满分12分）已知函数(其中为常数且)在处取得极值.
(I) 当时，求的单调区间；
(II) 若在上的最大值为，求的值.

若正数满足则的最小值是（   ）

A．

B．

C．

D．

本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分7分，第3小题满分8分.
已知数列,,,,.
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)是否存在正整数,使得对任意的,有;
(Ⅲ)设,问是否为有理数,说明理由.

（本小题满分12分）设函数，.
（1）解方程：；
（2）令，求证：
；
（3）若是实数集上的奇函数，且
对任意实数恒成立，求实数的取值范围.
（参考公式：当a>0,b>0时，,当且仅当a=b时等号成立）

（本小题满分14分）已知函数是奇函数，且满足
（1）求实数、的值；
（2）试证明函数在区间单调递减，在区间单调递增；
（3）是否存在实数同时满足以下两个条件：
①不等式对恒成立；②方程在上有解．
若存在，试求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．

（本小题满分14分） 在平面直角坐标系中，已知圆过坐标原点O且圆心在曲线上.
（1）若圆M分别与轴、轴交于点、（不同于原点O），求证：的面积为定值；
（2）设直线与圆M 交于不同的两点C，D，且，求圆M的方程；
（3）设直线与（2）中所求圆M交于点、， 为直线上的动点，直线，与圆M的另一个交点分别为，，求证：直线过定点.

已知偶函数，对任意，恒有
。求：
（1），，的值；
（2）的表达式；
（3）在上的最值。

在数列和中，，，，其中且，.
（Ⅰ）若，，求数列的前项和；
（Ⅱ）证明：当时，数列中的任意三项都不能构成等比数列；
（Ⅲ）设，，试问在区间上是否存在实数使得.若存在，求出的一切可能的取值及相应的集合；若不存在，试说明理由.

（本小题满分12分）已知函数满足，对任意都有，且.
（1）求函数的解析式；
（2）是否存在实数，使函数在上为减函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在P B, P C上的射影，给出下列结论：
①；②；③；④.正确命题的个数为（  ）

A．1

B．2

C．3

D．4