初中数学试题

如图，在边长为 $6\sqrt{3}$ 的正六边形 $\mathit{ABCDEF}$ 中，连接 $\mathit{BE}$ ， $\mathit{CF}$ ，其中点 $M$ ， $N$ 分别为 $\mathit{BE}$ 和 $\mathit{CF}$ 上的动点．若以 $M$ ， $N$ ， $D$ 为顶点的三角形是等边三角形，且边长为整数，则该等边三角形的边长为 　　．

甲、乙两汽车出租公司均有50辆汽车对外出租，下面是两公司经理的一段对话：

甲公司经理：如果我公司每辆汽车月租费3000元，那么50辆汽车可以全部租出．如果每辆汽车的月租费每增加50元，那么将少租出1辆汽车．另外，公司为每辆租出的汽车支付月维护费200元． 乙公司经理：我公司每辆汽车月租费3500元，无论是否租出汽车，公司均需一次性支付月维护费共计1850元．

说明：①汽车数量为整数；②月利润 $=$ 月租车费 $-$ 月维护费；③两公司月利润差 $=$ 月利润较高公司的利润 $-$ 月利润较低公司的利润．

在两公司租出的汽车数量相等的条件下，根据上述信息，解决下列问题：

（1）当每个公司租出的汽车为10辆时，甲公司的月利润是 　 48000 　元；当每个公司租出的汽车为 　　辆时，两公司的月利润相等；

（2）求两公司月利润差的最大值；

（3）甲公司热心公益事业，每租出1辆汽车捐出 $a$ 元 $(a>0)$ 给慈善机构，如果捐款后甲公司剩余的月利润仍高于乙公司月利润，且当两公司租出的汽车均为17辆时，甲公司剩余的月利润与乙公司月利润之差最大，求 $a$ 的取值范围．

在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：

已知线段 $\mathit{BC}=2$，使用作图工具作 $\angle \mathit{BAC}=30°$，尝试操作后思考： （1）这样的点 $A$唯一吗？ （2）点 $A$的位置有什么特征？你有什么感悟？

“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点 $A$的位置不唯一，它在以 $\mathit{BC}$为弦的圆弧上（点 $B$、 $C$除外）， $\dots$．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图 $1)$．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．

①该弧所在圆的半径长为 　　；

② $\mathit{\Delta ABC}$面积的最大值为 　　；

（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为 $A\text{'}$，请你根据图1证明 $\angle \mathit{BA}\text{'}C>30°$．

（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形 $\mathit{ABCD}$的边长 $\mathit{AB}=2$， $\mathit{BC}=3$，点 $P$在直线 $\mathit{CD}$的左侧，且 $\tan \angle \mathit{DPC}=\frac{4}{3}$．

①线段 $\mathit{PB}$长的最小值为 　　；

②若 $S_{\mathit{\Delta PCD}}=\frac{2}{3}{S}_{\mathit{\Delta PAD}}$，则线段 $\mathit{PD}$长为 　　．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 、 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1） $b=$ 　　， $c=$ 　　；

（2）若点 $D$ 在该二次函数的图象上，且 $S_{\mathit{\Delta ABD}}=2S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）若点 $P$ 是该二次函数图象上位于 $x$ 轴上方的一点，且 $S_{\mathit{\Delta APC}}=S_{\mathit{\Delta APB}}$ ，写出点 $P$ 的坐标．

将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：

图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10， $\dots$ ，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为 　　．

如图，点 $P$ 是函数 $y=\frac{k_1}{x}(k_1>0$ ， $x>0)$ 的图象上一点，过点 $P$ 分别作 $x$ 轴和 $y$ 轴的垂线，垂足分别为点 $A$ 、 $B$ ，交函数 $y=\frac{k_2}{x}(k_2>0$ ， $x>0)$ 的图象于点 $C$ 、 $D$ ，连接 $\mathit{OC}$ 、 $\mathit{OD}$ 、 $\mathit{CD}$ 、 $\mathit{AB}$ ，其中 $k_1>k_2$ ．下列结论：① $\mathit{CD}//\mathit{AB}$ ；② $S_{\mathit{\Delta OCD}}=\frac{k_1-k_2}{2}$ ；③ $S_{\mathit{\Delta DCP}}=\frac{{(k_1-k_2)}^2}{2k_1}$ ，其中正确的是 $($ 　　 $)$

A．

①②

B．

①③

C．

②③

D．

①

为了防控新冠疫情，某地区积极推广疫苗接种工作，卫生防疫部门对该地区八周以来的相关数据进行收集整理，绘制得到图表：

该地区每周接种疫苗人数统计表

周次	第1周	第2周	第3周	第4周	第5周	第6周	第7周	第8周
接种人数（万人）	7	10	12	18	25	29	37	42

根据统计表中的数据，建立以周次为横坐标，接种人数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据以上统计表中的数据描出对应的点，发现从第3周开始这些点大致分布在一条直线附近，现过其中两点 $(3,12)$、 $(8,42)$作一条直线（如图所示，该直线的函数表达式为 $y=6x-6)$，那么这条直线可近似反映该地区接种人数的变化趋势．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）这八周中每周接种人数的平均数为 　　万人；该地区的总人口约为 　　万人；

（2）若从第9周开始，每周的接种人数仍符合上述变化趋势．

①估计第9周的接种人数约为 　　万人；

②专家表示：疫苗接种率至少达 $60\%$，才能实现全民免疫．那么，从推广疫苗接种工作开始，最早到第几周，该地区可达到实现全民免疫的标准？

（3）实际上，受疫苗供应等客观因素，从第9周开始接种人数将会逐周减少 $a(a>0)$万人，为了尽快提高接种率，一旦周接种人数低于20万人时，卫生防疫部门将会采取措施，使得之后每周的接种能力一直维持在20万人．如果 $a=1.8$，那么该地区的建议接种人群最早将于第几周全部完成接种？

某种落地灯如图1所示， $\mathit{AB}$ 为立杆，其高为 $84\mathit{cm}$ ； $\mathit{BC}$ 为支杆，它可绕点 $B$ 旋转，其中 $\mathit{BC}$ 长为 $54\mathit{cm}$ ； $\mathit{DE}$ 为悬杆，滑动悬杆可调节 $\mathit{CD}$ 的长度．支杆 $\mathit{BC}$ 与悬杆 $\mathit{DE}$ 之间的夹角 $\angle \mathit{BCD}$ 为 $60°$ ．

（1）如图2，当支杆 $\mathit{BC}$ 与地面垂直，且 $\mathit{CD}$ 的长为 $50\mathit{cm}$ 时，求灯泡悬挂点 $D$ 距离地面的高度；

（2）在图2所示的状态下，将支杆 $\mathit{BC}$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $20°$ ，同时调节 $\mathit{CD}$ 的长（如图 $3)$ ，此时测得灯泡悬挂点 $D$ 到地面的距离为 $90\mathit{cm}$ ，求 $\mathit{CD}$ 的长．（结果精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 20°\approx 0.34$ ， $\cos 20°\approx 0.94$ ， $\tan 20°\approx 0.36$ ， $\sin 40°\approx 0.64$ ， $\cos 40°\approx 0.77$ ， $\tan 40°\approx 0.84)$

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{AD}=4$ ， $E$ 、 $F$ 分别是边 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{CD}$ 上一点， $\mathit{EF}\perp \mathit{AE}$ ，将 $\mathit{\Delta ECF}$ 沿 $\mathit{EF}$ 翻折得△ $\mathit{EC}\text{'}F$ ，连接 $\mathit{AC}\text{'}$ ，当 $\mathit{BE}=$ 　　时， $\mathit{\Delta AEC}\text{'}$ 是以 $\mathit{AE}$ 为腰的等腰三角形．

在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $y=-x+3$ 与 $x$ 轴交于点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，二次函数 $y=a{x}^2+2x+c$ 的图象过 $B$ 、 $C$ 两点，且与 $x$ 轴交于另一点 $A$ ，点 $M$ 为线段 $\mathit{OB}$ 上的一个动点，过点 $M$ 作直线 $l$ 平行于 $y$ 轴交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，交二次函数 $y=a{x}^2+2x+c$ 的图象于点 $E$ ．

（1）求二次函数的表达式；

（2）当以 $C$ 、 $E$ 、 $F$ 为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ABC}$ 相似时，求线段 $\mathit{EF}$ 的长度；

（3）已知点 $N$ 是 $y$ 轴上的点，若点 $N$ 、 $F$ 关于直线 $\mathit{EC}$ 对称，求点 $N$ 的坐标．

如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $C$ 为 $y$ 轴正半轴上的一个动点，过点 $C$ 的直线与二次函数 $y=x^2$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，且 $\mathit{CB}=3\mathit{AC}$ ， $P$ 为 $\mathit{CB}$ 的中点，设点 $P$ 的坐标为 $P(x$ ， $y\left)\right(x>0)$ ，写出 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为： 　　．

设 $P(x,y_1)$ ， $Q(x,y_2)$ 分别是函数 $C_1$ ， $C_2$ 图象上的点，当 $a⩽x⩽b$ 时，总有 $-1⩽y_1-y_2⩽1$ 恒成立，则称函数 $C_1$ ， $C_2$ 在 $a⩽x⩽b$ 上是"逼近函数"， $a⩽x⩽b$ 为"逼近区间"．则下列结论：

①函数 $y=x-5$ ， $y=3x+2$ 在 $1⩽x⩽2$ 上是"逼近函数"；

②函数 $y=x-5$ ， $y=x^2-4x$ 在 $3⩽x⩽4$ 上是"逼近函数"；

③ $0⩽x⩽1$ 是函数 $y=x^2-1$ ， $y=2x^2-x$ 的"逼近区间"；

④ $2⩽x⩽3$ 是函数 $y=x-5$ ， $y=x^2-4x$ 的"逼近区间"．

其中，正确的有 $($ 　　 $)$

A．

②③

B．

①④

C．

①③

D．

②④

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle A=90°$ ， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{AC}=8$ ，点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 所在平面内一点，则 $P{A}^2+P{B}^2+P{C}^2$ 取得最小值时，下列结论正确的是 $($ 　　 $)$

A．	点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 三边垂直平分线的交点
B．	点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 三条内角平分线的交点
C．	点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 三条高的交点
D．	点 $P$ 是 $\mathit{\Delta ABC}$ 三条中线的交点

已知正方形 $\mathit{ABCD}$ 与正方形 $\mathit{AEFG}$ ，正方形 $\mathit{AEFG}$ 绕点 $A$ 旋转一周．

（1）如图①，连接 $\mathit{BG}$ 、 $\mathit{CF}$ ，求 $\frac{\mathit{CF}}{\mathit{BG}}$ 的值；

（2）当正方形 $\mathit{AEFG}$ 旋转至图②位置时，连接 $\mathit{CF}$ 、 $\mathit{BE}$ ，分别取 $\mathit{CF}$ 、 $\mathit{BE}$ 的中点 $M$ 、 $N$ ，连接 $\mathit{MN}$ 、试探究： $\mathit{MN}$ 与 $\mathit{BE}$ 的关系，并说明理由；

（3）连接 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BF}$ ，分别取 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BF}$ 的中点 $N$ 、 $Q$ ，连接 $\mathit{QN}$ ， $\mathit{AE}=6$ ，请直接写出线段 $\mathit{QN}$ 扫过的面积．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{BC}=5$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在 $\mathit{BC}$ 、 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{CD}=2\mathit{BD}$ ， $\mathit{CE}=2\mathit{AE}$ ， $\mathit{BE}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $F$ ，则 $\mathit{\Delta AFE}$ 面积的最大值是 　　．