初中数学试题

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(-2,-3)$，直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $D$， $E$为二次函数图象上任一点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点 $E$在直线 $\mathit{BC}$的上方，过 $E$分别作 $\mathit{BC}$和 $y$轴的垂线，交直线 $\mathit{BC}$于不同的两点 $F$， $G(F$在 $G$的左侧），求 $\mathit{\Delta EFG}$周长的最大值；

（3）是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta EDB}$是以 $\mathit{BD}$为直角边的直角三角形？如果存在，求点 $E$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(4,0)$， $C(-2,-3)$，直线 $\mathit{BC}$与 $y$轴交于点 $D$， $E$为二次函数图象上任一点．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）若点 $E$在直线 $\mathit{BC}$的上方，过 $E$分别作 $\mathit{BC}$和 $y$轴的垂线，交直线 $\mathit{BC}$于不同的两点 $F$， $G(F$在 $G$的左侧），求 $\mathit{\Delta EFG}$周长的最大值；

（3）是否存在点 $E$，使得 $\mathit{\Delta EDB}$是以 $\mathit{BD}$为直角边的直角三角形？如果存在，求点 $E$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $m:y=a{x}^2-6\mathit{ax}+c(a>0)$的顶点 $A$在 $x$轴上，并过点 $B(0,1)$，直线 $n:y=-\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}$与 $x$轴交于点 $D$，与抛物线 $m$的对称轴 $l$交于点 $F$，过 $B$点的直线 $\mathit{BE}$与直线 $n$相交于点 $E(-7,7)$．

（1）求抛物线 $m$的解析式；

（2） $P$是 $l$上的一个动点，若以 $B$， $E$， $P$为顶点的三角形的周长最小，求点 $P$的坐标；

（3）抛物线 $m$上是否存在一动点 $Q$，使以线段 $\mathit{FQ}$为直径的圆恰好经过点 $D$？若存在，求点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=a{x}^2+(a+3)x+3(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(4,0)$，与 $y$轴交于点 $B$，在 $x$轴上有一动点 $E(m$， $0\left)\right(0<m<4)$，过点 $E$作 $x$轴的垂线交直线 $\mathit{AB}$于点 $N$，交抛物线于点 $P$，过点 $P$作 $\mathit{PM}\perp \mathit{AB}$于点 $M$．

（1）求 $a$的值和直线 $\mathit{AB}$的函数表达式；

（2）设 $\mathit{\Delta PMN}$的周长为 $C_1$， $\mathit{\Delta AEN}$的周长为 $C_2$，若 $\frac{C_1}{C_2}=\frac{6}{5}$，求 $m$的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段 $\mathit{OE}$绕点 $O$逆时针旋转得到 $\mathit{OE}\text{'}$，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <90°)$，连接 $E\text{'}A$、 $E\text{'}B$，求 $E\text{'}A+\frac{2}{3}E\text{'}B$的最小值．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$过 $B(-2,6)$， $C(2,2)$两点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）记抛物线顶点为 $D$，求 $\mathit{\Delta BCD}$的面积；

（3）若直线 $y=-\frac{1}{2}x$向上平移 $b$个单位所得的直线与抛物线段 $\mathit{BDC}$（包括端点 $B$、 $C)$部分有两个交点，求 $b$的取值范围．

在平面直角坐标系中，平行四边形 $\mathit{ABOC}$如图放置，点 $A$、 $C$的坐标分别是 $(0,4)$、 $(-1,0)$，将此平行四边形绕点 $O$顺时针旋转 $90°$，得到平行四边形 $A\text{'}B\text{'}\mathit{OC}\text{'}$．

（1）若抛物线经过点 $C$、 $A$、 $A\text{'}$，求此抛物线的解析式；

（2）在（1）的情况下，点 $M$是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 $M$在何处时， $\mathit{\Delta AMA}\text{'}$的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 $M$的坐标；

（3）在（1）的情况下，若 $P$为抛物线上一动点， $N$为 $x$轴上的一动点，点 $Q$坐标为 $(1,0)$，当 $P$、 $N$、 $B$、 $Q$构成平行四边形时，求点 $P$的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点 $N$的坐标．

已知， $m$， $n$是一元二次方程 $x^2+4x+3=0$的两个实数根，且 $\left|m\right|<\left|n\right|$，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(m,0)$， $B(0,n)$，如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与 $x$轴的另一个交点为 $C$，抛物线的顶点为 $D$，试求出点 $C$， $D$的坐标，并判断 $\mathit{\Delta BCD}$的形状；

（3）点 $P$是直线 $\mathit{BC}$上的一个动点（点 $P$不与点 $B$和点 $C$重合），过点 $P$作 $x$轴的垂线，交抛物线于点 $M$，点 $Q$在直线 $\mathit{BC}$上，距离点 $P$为 $\sqrt{2}$个单位长度，设点 $P$的横坐标为 $t$， $\mathit{\Delta PMQ}$的面积为 $S$，求出 $S$与 $t$之间的函数关系式．

如图，已知抛物线 $\mathit{y}\mathit{=}\mathit{-}\frac{\mathit{1}}{\mathit{4}}{\mathit{x}}^{\mathit{2}}\mathit{-}\frac{\mathit{1}}{\mathit{2}}\mathit{x}\mathit{+}\mathit{2}$与 $\mathit{x}$轴交于 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$两点，与 $\mathit{y}$轴交于点 $\mathit{C}$

（1）求点 $\mathit{A}$， $\mathit{B}$， $\mathit{C}$的坐标；

（2）点 $\mathit{E}$是此抛物线上的点，点 $\mathit{F}$是其对称轴上的点，求以 $\mathit{A}$， $\mathit{B}$， $\mathit{E}$， $\mathit{F}$为顶点的平行四边形的面积；

（3）此抛物线的对称轴上是否存在点 $\mathit{M}$，使得 $\mathit{\Delta ACM}$是等腰三角形？若存在，请求出点 $\mathit{M}$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$经过 $B(-1,0)$， $D(-2,5)$两点，与 $x$轴另一交点为 $A$，点 $H$是线段 $\mathit{AB}$上一动点，过点 $H$的直线 $\mathit{PQ}\perp x$轴，分别交直线 $\mathit{AD}$、抛物线于点 $Q$， $P$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点 $P$，使 $\angle \mathit{APB}=90°$，若存在，求出点 $P$的横坐标，若不存在，说明理由；

（3）连接 $\mathit{BQ}$，一动点 $M$从点 $B$出发，沿线段 $\mathit{BQ}$以每秒1个单位的速度运动到 $Q$，再沿线段 $\mathit{QD}$以每秒 $\sqrt{2}$个单位的速度运动到 $D$后停止，当点 $Q$的坐标是多少时，点 $M$在整个运动过程中用时 $t$最少？

如图，抛物线 $y=a{x}^2-2x+c(a\ne 0)$与 $x$轴、 $y$轴分别交于点 $A$， $B$， $C$三点，已知点 $A(-2,0)$，点 $C(0,-8)$，点 $D$是抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）如图1，抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $E$，第四象限的抛物线上有一点 $P$，将 $\mathit{\Delta EBP}$沿直线 $\mathit{EP}$折叠，使点 $B$的对应点 $B^{\text{'}}$落在抛物线的对称轴上，求点 $P$的坐标；

（3）如图2，设 $\mathit{BC}$交抛物线的对称轴于点 $F$，作直线 $\mathit{CD}$，点 $M$是直线 $\mathit{CD}$上的动点，点 $N$是平面内一点，当以点 $B$， $F$， $M$， $N$为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点 $M$的坐标．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A(-5,0)$， $B(1,0)$两点，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的对称轴与 $x$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，点 $E(x,y)$为抛物线上一点，且 $-5<x<-2$，过点 $E$作 $\mathit{EF}//x$轴，交抛物线的对称轴于点 $F$，作 $\mathit{EH}\perp x$轴于点 $H$，得到矩形 $\mathit{EHDF}$，求矩形 $\mathit{EHDF}$周长的最大值；

（3）如图2，点 $P$为抛物线对称轴上一点，是否存在点 $P$，使以点 $P$， $A$， $C$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+4$交 $y$轴于点 $A$，并经过 $B(4,4)$和 $C(6,0)$两点，点 $D$的坐标为 $(4,0)$，连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$，点 $E$从点 $A$出发，以每秒 $\sqrt{2}$个单位长度的速度沿线段 $\mathit{AD}$向点 $D$运动，到达点 $D$后，以每秒1个单位长度的速度沿射线 $\mathit{DC}$运动，设点 $E$的运动时间为 $t$秒，过点 $E$作 $\mathit{AB}$的垂线 $\mathit{EF}$交直线 $\mathit{AB}$于点 $F$，以线段 $\mathit{EF}$为斜边向右作等腰直角 $\mathit{\Delta EFG}$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $G$落在第一象限内的抛物线上时，求出 $t$的值；

（3）设点 $E$从点 $A$出发时，点 $E$， $F$， $G$都与点 $A$重合，点 $E$在运动过程中，当 $\mathit{\Delta BCG}$的面积为4时，直接写出相应的 $t$值，并直接写出点 $G$从出发到此时所经过的路径长．

如图，在平面直角坐标系中， $\mathit{\Delta ABC}$的一边 $\mathit{AB}$在 $x$轴上， $\angle \mathit{ABC}=90°$，点 $C(4,8)$在第一象限内， $\mathit{AC}$与 $y$轴交于点 $E$，抛物线 $y=\frac{3}{4}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $D(0,-6)$．

（1）请直接写出抛物线的表达式；

（2）求 $\mathit{ED}$的长；

（3）点 $P$是 $x$轴下方抛物线上一动点，设点 $P$的横坐标为 $m$， $\mathit{\Delta PAC}$的面积为 $S$，试求出 $S$与 $m$的函数关系式；

（4）若点 $M$是 $x$轴上一点（不与点 $A$重合），抛物线上是否存在点 $N$，使 $\angle \mathit{CAN}=\angle \mathit{MAN}$．若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中， 抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的开口向上， 且经过点 $A(0,\frac{3}{2})$

（1） 若此抛物线经过点 $B(2,-\frac{1}{2})$，且与 $x$轴相交于点 $E$， $F$．

①填空： $b=$　　（用 含 $a$的代数式表示） ；

②当 $E{F}^2$的值最小时， 求抛物线的解析式；

（2） 若 $a=\frac{1}{2}$，当 $0⩽x⩽1$，抛物线上的点到 $x$轴距离的最大值为 3 时， 求 $b$的值 ．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a$， $b$为常数， $a\ne 0)$经过两点 $A(2,4)$， $B(4,4)$，交 $x$轴正半轴于点 $C$．

（1）求抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$的解析式．

（2）过点 $B$作 $\mathit{BD}$垂直于 $x$轴，垂足为点 $D$，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$，将 $\mathit{\Delta ABD}$以 $\mathit{AD}$为轴翻折，点 $B$的对应点为 $E$，直线 $\mathit{DE}$交 $y$轴于点 $P$，请判断点 $E$是否在抛物线上，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，点 $Q$是线段 $\mathit{OC}$（不包含端点）上一动点，过点 $Q$垂直于 $x$轴的直线分别交直线 $\mathit{DP}$及抛物线于点 $M$， $N$，连接 $\mathit{PN}$，请探究：是否存在点 $Q$，使 $\mathit{\Delta PMN}$是以 $\mathit{PM}$为腰的等腰三角形？若存在，请求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．