初中数学试题

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(-1,0)$， $B(0,-\sqrt{3})$， $C(2,0)$，其对称轴与 $x$轴交于点 $D$

（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（2）若 $P$为 $y$轴上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$，则 $\frac{1}{2}\mathit{PB}+\mathit{PD}$的最小值为　      　；

（3） $M(x,t)$为抛物线对称轴上一动点

①若平面内存在点 $N$，使得以 $A$， $B$， $M$， $N$为顶点的四边形为菱形，则这样的点 $N$共有　　个；

②连接 $\mathit{MA}$， $\mathit{MB}$，若 $\angle \mathit{AMB}$不小于 $60°$，求 $t$的取值范围．

如图1是一个用铁丝围成的篮筐，我们来仿制一个类似的柱体形篮筐．如图2，它是由一个半径为 $r$、圆心角 $90°$的扇形 $A_{2}O{B}_2$，矩形 $A_2{C}_2\mathit{EO}$、 $B_2{D}_2\mathit{EO}$，及若干个缺一边的矩形状框 $A_1{C}_1{D}_1{B}_1$、 $A_2{C}_2{D}_2{B}_2$、 $\dots$、 $A_n{B}_n{C}_n{D}_n$， $\mathit{OEFG}$围成，其中 $A_1$、 $G$、 $B_1$在 $\stackrel{̂}{A_2{B}_2}$上， $A_2$、 $A_3\dots$、 $A_n$与 $B_2$、 $B_3$、 $\dots B_n$分别在半径 $O{A}_2$和 $O{B}_2$上， $C_2$、 $C_3$、 $\dots$、 $C_n$和 $D_2$、 $D_3\dots D_n$分别在 $E{C}_2$和 $E{D}_2$上， $\mathit{EF}\perp C_2{D}_2$于 $H_2$， $C_1{D}_1\perp \mathit{EF}$于 $H_1$， $F{H}_1=H_1{H}_2=d$， $C_1{D}_1$、 $C_2{D}_2$、 $C_3{D}_3$、 $C_n{D}_n$依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边 $C_n{D}_n$与点 $E$间的距离应不超过 $d)$， $A_1{C}_1//A_2{C}_2//A_3{C}_3//\dots //A_n{C}_n$

（1）求 $d$的值；

（2）问： $C_n{D}_n$与点 $E$间的距离能否等于 $d$？如果能，求出这样的 $n$的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？

已知两个二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+c$和 $y_2=x^2+m$．对于函数 $y_1$，当 $x=2$时，该函数取最小值．

（1）求 $b$的值；

（2）若函数 $y_1$的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；

（3）若函数 $y_1$、 $y_2$的图象都经过点 $(1,-2)$，过点 $(0$， $a-3\left)\right(a$为实数）作 $x$轴的平行线，与函数 $y_1$、 $y_2$的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是 $x_1$、 $x_2$、 $x_3$、 $x_4$，且 $x_1<x_2<x_3<x_4$，求 $x_4-x_3+x_2-x_1$的最大值．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，将二次函数 $y=x^2-1$的图象 $M$沿 $x$轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象 $N$．

（1）求 $N$的函数表达式；

（2）设点 $P(m,n)$是以点 $C(1,4)$为圆心、1为半径的圆上一动点，二次函数的图象 $M$与 $x$轴相交于两点 $A$、 $B$，求 $P{A}^2+P{B}^2$的最大值；

（3）若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点．求 $M$与 $N$所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数．

如图，直线 $l:y=-3x+3$与 $x$轴、 $y$轴分别相交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}+a+4(a<0)$经过点 $B$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点 $M$是抛物线上的一个动点，并且点 $M$在第一象限内，连接 $\mathit{AM}$、 $\mathit{BM}$，设点 $M$的横坐标为 $m$， $\mathit{\Delta ABM}$的面积为 $S$，求 $S$与 $m$的函数表达式，并求出 $S$的最大值；

（3）在（2）的条件下，当 $S$取得最大值时，动点 $M$相应的位置记为点 $M\text{'}$．

①写出点 $M\text{'}$的坐标；

②将直线 $l$绕点 $A$按顺时针方向旋转得到直线 $l\text{'}$，当直线 $l\text{'}$与直线 $\mathit{AM}\text{'}$重合时停止旋转，在旋转过程中，直线 $l\text{'}$与线段 $\mathit{BM}\text{'}$交于点 $C$，设点 $B$、 $M\text{'}$到直线 $l\text{'}$的距离分别为 $d_1$、 $d_2$，当 $d_1+d_2$最大时，求直线 $l\text{'}$旋转的角度（即 $\angle \mathit{BAC}$的度数）．

如图，平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $C(3,0)$，函数 $y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象经过 $▱\mathit{OABC}$的顶点 $A(m,n)$和边 $\mathit{BC}$的中点 $D$．

（1）求 $m$的值；

（2）若 $\mathit{\Delta OAD}$的面积等于6，求 $k$的值；

（3）若 $P$为函数 $y==\frac{k}{x}(k>0,x>0)$的图象上一个动点，过点 $P$作直线 $l\perp x$轴于点 $M$，直线 $l$与 $x$轴上方的 $▱\mathit{OABC}$的一边交于点 $N$，设点 $P$的横坐标为 $t$，当 $\frac{\mathit{PN}}{\mathit{PM}}=\frac{1}{4}$时，求 $t$的值．

如图，把函数 $y=x$的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数 $y=2x$的图象；也可以把函数 $y=x$的图象上各点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变，得到函数 $y=2x$的图象．

类似地，我们可以认识其他函数．

（1）把函数 $y=\frac{1}{x}$的图象上各点的纵坐标变为原来的　　倍，横坐标不变，得到函数 $y=\frac{6}{x}$的图象；也可以把函数 $y=\frac{1}{x}$的图象上各点的横坐标变为原来的　　倍，纵坐标不变，得到函数 $y=\frac{6}{x}$的图象．

（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移 $\frac{1}{2}$个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．

（Ⅰ）函数 $y=x^2$的图象上所有的点经过④ $\to$② $\to$①，得到函数　　的图象；

（Ⅱ）为了得到函数 $y=-\frac{1}{4}{(x-1)}^2-2$的图象，可以把函数 $y=-x^2$的图象上所有的点　　．

$A$．① $\to$⑤ $\to$③ $B$．① $\to$⑥ $\to$③ $C$．① $\to$② $\to$⑥ $D$．① $\to$③ $\to$⑥

（3）函数 $y=\frac{1}{x}$的图象可以经过怎样的变化得到函数 $y=-\frac{2x+1}{2x+4}$的图象？（写出一种即可）

我们知道：光反射时，反射光线、入射光线和法线在同一平面内，反射光线、入射光线分别在法线两侧，反射角等于入射角．如右图， $\mathit{AO}$为入射光线，入射点为 $O$， $\mathit{ON}$为法线（过入射点 $O$且垂直于镜面的直线）， $\mathit{OB}$为反射光线，此时反射角 $\angle \mathit{BON}$等于入射角 $\angle \mathit{AON}$．

问题思考：

（1）如图1，一束光线从点 $A$处入射到平面镜上，反射后恰好过点 $B$，请在图中确定平面镜上的入射点 $P$，保留作图痕迹，并简要说明理由；

（2）如图2，两平面镜 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$相交于点 $O$，且 $\mathit{OM}\perp \mathit{ON}$，一束光线从点 $A$出发，经过平面镜反射后，恰好经过点 $B$．小昕说，光线可以只经过平面镜 $\mathit{OM}$反射后过点 $B$，也可以只经过平面镜 $\mathit{ON}$反射后过点 $B$．除了小昕的两种做法外，你还有其它做法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由；

问题拓展：

（3）如图3，两平面镜 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$相交于点 $O$，且 $\angle \mathit{MON}=30°$，一束光线从点 $S$出发，且平行于平面镜 $\mathit{OM}$，第一次在点 $A$处反射，经过若干次反射后又回到了点 $S$，如果 $\mathit{SA}$和 $\mathit{AO}$的长均为 $1m$，求这束光线经过的路程；

（4）如图4，两平面镜 $\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$相交于点 $O$，且 $\angle \mathit{MON}=15°$，一束光线从点 $P$出发，经过若干次反射后，最后反射出去时，光线平行于平面镜 $\mathit{OM}$．设光线出发时与射线 $\mathit{PM}$的夹角为 $\theta (0°<\theta <180°)$，请直接写出满足条件的所有 $\theta$的度数（注 $:\mathit{OM}$、 $\mathit{ON}$足够长）

问题背景：

如图①，在四边形 $\mathit{ADBC}$中， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ADB}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{BD}$，探究线段 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：将 $\mathit{\Delta BCD}$绕点 $D$，逆时针旋转 $90°$到 $\mathit{\Delta AED}$处，点 $B$， $C$分别落在点 $A$， $E$处（如图② $)$，易证点 $C$， $A$， $E$在同一条直线上，并且 $\mathit{\Delta CDE}$是等腰直角三角形，所以 $\mathit{CE}=\sqrt{2}\mathit{CD}$，从而得出结论： $\mathit{AC}+\mathit{BC}=\sqrt{2}\mathit{CD}$．

简单应用：

（1）在图①中，若 $\mathit{AC}=\sqrt{2}$， $\mathit{BC}=2\sqrt{2}$，则 $\mathit{CD}=$　　．

（2）如图③， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$、 $D$在 $\odot$上， $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}=\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$，若 $\mathit{AB}=13$， $\mathit{BC}=12$，求 $\mathit{CD}$的长．

拓展规律：

（3）如图④， $\angle \mathit{ACB}=\angle \mathit{ADB}=90°$， $\mathit{AD}=\mathit{BD}$，若 $\mathit{AC}=m$， $\mathit{BC}=n(m<n)$，求 $\mathit{CD}$的长（用含 $m$， $n$的代数式表示）

（4）如图⑤， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $P$为 $\mathit{AB}$的中点，若点 $E$满足 $\mathit{AE}=\frac{1}{3}\mathit{AC}$， $\mathit{CE}=\mathit{CA}$，点 $Q$为 $\mathit{AE}$的中点，则线段 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{AC}$的数量关系是　　．

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为1，点 $P$在射线 $\mathit{BC}$上（异于点 $B$、 $C)$，直线 $\mathit{AP}$与对角线 $\mathit{BD}$及射线 $\mathit{DC}$分别交于点 $F$、 $Q$

（1）若 $\mathit{BP}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，求 $\angle \mathit{BAP}$的度数；

（2）若点 $P$在线段 $\mathit{BC}$上，过点 $F$作 $\mathit{FG}\perp \mathit{CD}$，垂足为 $G$，当 $\mathit{\Delta FGC}\cong \mathit{\Delta QCP}$时，求 $\mathit{PC}$的长；

（3）以 $\mathit{PQ}$为直径作 $\odot M$．

①判断 $\mathit{FC}$和 $\odot M$的位置关系，并说明理由；

②当直线 $\mathit{BD}$与 $\odot M$相切时，直接写出 $\mathit{PC}$的长．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，抛物线经过点 $D(-2,-3)$和点 $E(3,2)$，点 $P$是第一象限抛物线上的一个动点．

（1）求直线 $\mathit{DE}$和抛物线的表达式；

（2）在 $y$轴上取点 $F(0,1)$，连接 $\mathit{PF}$， $\mathit{PB}$，当四边形 $\mathit{OBPF}$的面积是7时，求点 $P$的坐标；

（3）在（2）的条件下，当点 $P$在抛物线对称轴的右侧时，直线 $\mathit{DE}$上存在两点 $M$， $N$（点 $M$在点 $N$的上方），且 $\mathit{MN}=2\sqrt{2}$，动点 $Q$从点 $P$出发，沿 $P\to M\to N\to A$的路线运动到终点 $A$，当点 $Q$的运动路程最短时，请直接写出此时点 $N$的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(-1,0)$和点 $C(0,4)$，交 $x$轴正半轴于点 $B$，连接 $\mathit{AC}$，点 $E$是线段 $\mathit{OB}$上一动点（不与点 $O$， $B$重合），以 $\mathit{OE}$为边在 $x$轴上方作正方形 $\mathit{OEFG}$，连接 $\mathit{FB}$，将线段 $\mathit{FB}$绕点 $F$逆时针旋转 $90°$，得到线段 $\mathit{FP}$，过点 $P$作 $\mathit{PH}//y$轴， $\mathit{PH}$交抛物线于点 $H$，设点 $E(a,0)$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若 $\mathit{\Delta AOC}$与 $\mathit{\Delta FEB}$相似，求 $a$的值．

（3）当 $\mathit{PH}=2$时，求点 $P$的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=-\frac{3}{4}x+3$的图象与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于 $B$点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$， $B$两点，在第一象限的抛物线上取一点 $D$，过点 $D$作 $\mathit{DC}\perp x$轴于点 $C$，交直线 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta BDE}$和 $\mathit{\Delta ACE}$相似？若存在，请求出点 $D$的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）如图2， $F$是第一象限内抛物线上的动点（不与点 $D$重合），点 $G$是线段 $\mathit{AB}$上的动点．连接 $\mathit{DF}$， $\mathit{FG}$，当四边形 $\mathit{DEGF}$是平行四边形且周长最大时，请直接写出点 $G$的坐标．

如图，直线 $y=-x+4$与 $x$轴交于点 $B$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $B$， $C$两点，与 $x$轴另一交点为 $A$．点 $P$以每秒 $\sqrt{2}$个单位长度的速度在线段 $\mathit{BC}$上由点 $B$向点 $C$运动（点 $P$不与点 $B$和点 $C$重合），设运动时间为 $t$秒，过点 $P$作 $x$轴垂线交 $x$轴于点 $E$，交抛物线于点 $M$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，过点 $P$作 $y$轴垂线交 $y$轴于点 $N$，连接 $\mathit{MN}$交 $\mathit{BC}$于点 $Q$，当 $\frac{\mathit{MQ}}{\mathit{NQ}}=\frac{1}{2}$时，求 $t$的值；

（3）如图②，连接 $\mathit{AM}$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，当 $\mathit{\Delta PDM}$是等腰三角形时，直接写出 $t$的值．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+2$交 $x$轴于点 $A(-3,0)$和点 $B(1,0)$，交 $y$轴于点 $C$．

（1）求这个抛物线的函数表达式．

（2）点 $D$的坐标为 $(-1,0)$，点 $P$为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形 $\mathit{ADCP}$面积的最大值．

（3）点 $M$为抛物线对称轴上的点，问：在抛物线上是否存在点 $N$，使 $\mathit{\Delta MNO}$为等腰直角三角形，且 $\angle \mathit{MNO}$为直角？若存在，请直接写出点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．