初中数学试题

如图，已知二次函数 $y=\frac{4}{9}{x}^2-4$的图象与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\odot C$的半径为 $\sqrt{5}$， $P$为 $\odot C$上一动点．

（1）点 $B$， $C$的坐标分别为 $B($　    　 $)$， $C($　   　 $)$；

（2）是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PBC}$为直角三角形？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接 $\mathit{PB}$，若 $E$为 $\mathit{PB}$的中点，连接 $\mathit{OE}$，则 $\mathit{OE}$的最大值 $=$　    　．

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=m$，动点 $P$从点 $D$出发，在边 $\mathit{DA}$上以每秒1个单位的速度向点 $A$运动，连接 $\mathit{CP}$，作点 $D$关于直线 $\mathit{PC}$的对称点 $E$，设点 $P$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）若 $m=6$，求当 $P$， $E$， $B$三点在同一直线上时对应的 $t$的值．

（2）已知 $m$满足：在动点 $P$从点 $D$到点 $A$的整个运动过程中，有且只有一个时刻 $t$，使点 $E$到直线 $\mathit{BC}$的距离等于3，求所有这样的 $m$的取值范围．

在平面直角坐标系中，已知 $A(1,4)$、 $B(4,1)$、 $C(m,0)$、 $D(0,n)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的周长的最小值为　    　，此时四边形 $\mathit{ABCD}$的形状为　    　；

（2）在（1）的情况下， $P$为 $\mathit{AB}$的中点， $E$为 $\mathit{AD}$上一动点，连接 $\mathit{PE}$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PE}$交四边形的边于点 $F$，在点 $E$从 $D$运动到 $A$的过程中：

①求 $\tan \angle \mathit{PEF}$的值；

②若 $\mathit{EF}$的中点为 $Q$，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$所经过的路线长．

在平面直角坐标系中，已知 $A(1,4)$、 $B(4,1)$、 $C(m,0)$、 $D(0,n)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的周长的最小值为　    　，此时四边形 $\mathit{ABCD}$的形状为　    　；

（2）在（1）的情况下， $P$为 $\mathit{AB}$的中点， $E$为 $\mathit{AD}$上一动点，连接 $\mathit{PE}$，作 $\mathit{PF}\perp \mathit{PE}$交四边形的边于点 $F$，在点 $E$从 $D$运动到 $A$的过程中：

①求 $\tan \angle \mathit{PEF}$的值；

②若 $\mathit{EF}$的中点为 $Q$，在整个运动过程中，请直接写出点 $Q$所经过的路线长．

平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$的横坐标分别为 $\mathit{a}$、 $\mathit{a}\mathit{+}\mathit{2}$，二次函数 $\mathit{y}\mathit{=}\mathit{-}{\mathit{x}}^{\mathit{2}}\mathit{+}\mathit{(}\mathit{m}\mathit{-}\mathit{2}\mathit{)}\mathit{x}\mathit{+}\mathit{2}\mathit{m}$的图象经过点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$，且 $\mathit{a}$、 $\mathit{m}$满足 $\mathit{2}\mathit{a}\mathit{-}\mathit{m}\mathit{=}\mathit{d}\mathit{(}\mathit{d}$为常数）．

（1）若一次函数 ${\mathit{y}}_{\mathit{1}}\mathit{=}\mathit{kx}\mathit{+}\mathit{b}$的图象经过 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$两点．

①当 $\mathit{a}\mathit{=}\mathit{1}$、 $\mathit{d}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{1}$时，求 $\mathit{k}$的值；

②若 $\mathit{y}$随 $\mathit{x}$的增大而减小，求 $\mathit{d}$的取值范围；

（2）当 $\mathit{d}\mathit{=}\mathit{-}\mathit{4}$且 $\mathit{a}\mathit{\ne }\mathit{-}\mathit{2}$、 $\mathit{a}\mathit{\ne }\mathit{-}\mathit{4}$时，判断直线 $\mathit{AB}$与 $\mathit{x}$轴的位置关系，并说明理由；

（3）点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$的位置随着 $\mathit{a}$的变化而变化，设点 $\mathit{A}$、 $\mathit{B}$运动的路线与 $\mathit{y}$轴分别相交于点 $\mathit{C}$、 $\mathit{D}$，线段 $\mathit{CD}$的长度会发生变化吗？如果不变，求出 $\mathit{CD}$的长；如果变化，请说明理由．

如图，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中，已知 $\mathit{AB}=1$， $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，点 $E$在边 $\mathit{CD}$上移动，连接 $\mathit{AE}$，将多边形 $\mathit{ABCE}$沿直线 $\mathit{AE}$翻折，得到多边形 $\mathit{AB}\text{'}C\text{'}E$，点 $B$、 $C$的对应点分别为点 $B\text{'}$、 $C\text{'}$．

（1）当 $B\text{'}C\text{'}$恰好经过点 $D$时（如图 $1$），求线段 $\mathit{CE}$的长；

（2）若 $B\text{'}C\text{'}$分别交边 $\mathit{AD}$， $\mathit{CD}$于点 $F$， $G$，且 $\angle \mathit{DAE}=22.5°$（如图 $2)$，求 $\mathit{\Delta DFG}$的面积；

（3）在点 $E$从点 $C$移动到点 $D$的过程中，求点 $C\text{'}$运动的路径长．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$， $\mathit{OB}=\mathit{OC}$．点 $D$在函数图象上， $\mathit{CD}//x$轴，且 $\mathit{CD}=2$，直线 $l$是抛物线的对称轴， $E$是抛物线的顶点．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）如图①，连接 $\mathit{BE}$，线段 $\mathit{OC}$上的点 $F$关于直线 $l$的对称点 $F^{\text{'}}$恰好在线段 $\mathit{BE}$上，求点 $F$的坐标；

（3）如图②，动点 $P$在线段 $\mathit{OB}$上，过点 $P$作 $x$轴的垂线分别与 $\mathit{BC}$交于点 $M$，与抛物线交于点 $N$．试问：抛物线上是否存在点 $Q$，使得 $\mathit{\Delta PQN}$与 $\mathit{\Delta APM}$的面积相等，且线段 $\mathit{NQ}$的长度最小？如果存在，求出点 $Q$的坐标；如果不存在，说明理由．

已知直线 $y=\mathit{kx}+b$与抛物线 $y=a{x}^2(a>0)$相交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴正半轴相交于点 $C$，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp x$轴，垂足为 $D$．

（1）若 $\angle \mathit{AOB}=60°$， $\mathit{AB}//x$轴， $\mathit{AB}=2$，求 $a$的值；

（2）若 $\angle \mathit{AOB}=90°$，点 $A$的横坐标为 $-4$， $\mathit{AC}=4\mathit{BC}$，求点 $B$的坐标；

（3）延长 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BO}$相交于点 $E$，求证： $\mathit{DE}=\mathit{CO}$．

折纸的思考．

（操作体验）

用一张矩形纸片折等边三角形．

第一步，对折矩形纸片 $\mathit{ABCD}(\mathit{AB}>\mathit{BC})$（图①），使 $\mathit{AB}$与 $\mathit{DC}$重合，得到折痕 $\mathit{EF}$，把纸片展平（图②）．

第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点 $C$落在 $\mathit{EF}$上的 $P$处，并使折痕经过点 $B$，得到折痕 $\mathit{BG}$，折出 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$，得到 $\mathit{\Delta PBC}$．

（1）说明 $\mathit{\Delta PBC}$是等边三角形．

（数学思考）

（2）如图④，小明画出了图③的矩形 $\mathit{ABCD}$和等边三角形 $\mathit{PBC}$．他发现，在矩形 $\mathit{ABCD}$中把 $\mathit{\Delta PBC}$经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．

（3）已知矩形一边长为 $3\mathit{cm}$，另一边长为 $\mathit{acm}$，对于每一个确定的 $a$的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的 $a$的取值范围．

（问题解决）

（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为 $4\mathit{cm}$和 $1\mathit{cm}$的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为　     　 $\mathit{cm}$．

问题呈现：

如图1，点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别在矩形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$、 $\mathit{DA}$上， $\mathit{AE}=\mathit{DG}$，求证： $2S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}=S_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}$．（ $S$表示面积）

实验探究：

某数学实验小组发现：若图1中 $\mathit{AH}\ne \mathit{BF}$，点 $G$在 $\mathit{CD}$上移动时，上述结论会发生变化，分别过点 $E$、 $G$作 $\mathit{BC}$边的平行线，再分别过点 $F$、 $H$作 $\mathit{AB}$边的平行线，四条平行线分别相交于点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$、 $D_1$，得到矩形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$．

如图2，当 $\mathit{AH}>\mathit{BF}$时，若将点 $G$向点 $C$靠近 $(\mathit{DG}>\mathit{AE})$，经过探索，发现： $2S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}=S_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}+S_{\mathit{矩形}{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$．

如图3，当 $\mathit{AH}>\mathit{BF}$时，若将点 $G$向点 $D$靠近 $(\mathit{DG}<\mathit{AE})$，请探索 $S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}$、 $S_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}$与 $S_{\mathit{矩形}{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1}$之间的数量关系，并说明理由．

迁移应用：

请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：

（1）如图4，点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别是面积为25的正方形 $\mathit{ABCD}$各边上的点，已知 $\mathit{AH}>\mathit{BF}$， $\mathit{AE}>\mathit{DG}$， $S_{\mathit{四边形}\mathit{EFGH}}=11$， $\mathit{HF}=\sqrt{29}$，求 $\mathit{EG}$的长．

（2）如图5，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{AD}=5$，点 $E$、 $H$分别在边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AD}$上， $\mathit{BE}=1$， $\mathit{DH}=2$，点 $F$、 $G$分别是边 $\mathit{BC}$、 $\mathit{CD}$上的动点，且 $\mathit{FG}=\sqrt{10}$，连接 $\mathit{EF}$、 $\mathit{HG}$，请直接写出四边形 $\mathit{EFGH}$面积的最大值．

如图①，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=-\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}+c$的图象与坐标轴交于 $A$， $B$， $C$三点，其中点 $A$的坐标为 $(-3,0)$，点 $B$的坐标为 $(4,0)$，连接 $\mathit{AC}$， $\mathit{BC}$．动点 $P$从点 $A$出发，在线段 $\mathit{AC}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$作匀速运动；同时，动点 $Q$从点 $O$出发，在线段 $\mathit{OB}$上以每秒1个单位长度的速度向点 $B$作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为 $t$秒．连接 $\mathit{PQ}$．

（1）填空： $b=$　     　， $c=$　      　；

（2）在点 $P$， $Q$运动过程中， $\mathit{\Delta APQ}$可能是直角三角形吗？请说明理由；

（3）在 $x$轴下方，该二次函数的图象上是否存在点 $M$，使 $\mathit{\Delta PQM}$是以点 $P$为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间 $t$；若不存在，请说明理由；

（4）如图②，点 $N$的坐标为 $(-\frac{3}{2}$， $0)$，线段 $\mathit{PQ}$的中点为 $H$，连接 $\mathit{NH}$，当点 $Q$关于直线 $\mathit{NH}$的对称点 $Q\text{'}$恰好落在线段 $\mathit{BC}$上时，请直接写出点 $Q\text{'}$的坐标．

如图，已知一次函数 $y=-\frac{4}{3}x+4$的图象是直线 $l$，设直线 $l$分别与 $y$轴、 $x$轴交于点 $A$、 $B$．

（1）求线段 $\mathit{AB}$的长度；

（2）设点 $M$在射线 $\mathit{AB}$上，将点 $M$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $90°$到点 $N$，以点 $N$为圆心， $\mathit{NA}$的长为半径作 $\odot N$．

①当 $\odot N$与 $x$轴相切时，求点 $M$的坐标；

②在①的条件下，设直线 $\mathit{AN}$与 $x$轴交于点 $C$，与 $\odot N$的另一个交点为 $D$，连接 $\mathit{MD}$交 $x$轴于点 $E$，直线 $m$过点 $N$分别与 $y$轴、直线 $l$交于点 $P$、 $Q$，当 $\mathit{\Delta APQ}$与 $\mathit{\Delta CDE}$相似时，求点 $P$的坐标．

如图1，二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点（点 $A$在点 $B$的左侧），其对称轴 $l$与 $x$轴交于点 $C$，它的顶点为点 $D$．

（1）写出点 $D$的坐标　      　．

（2）点 $P$在对称轴 $l$上，位于点 $C$上方，且 $\mathit{CP}=2\mathit{CD}$，以 $P$为顶点的二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象过点 $A$．

①试说明二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象过点 $B$；

②点 $R$在二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象上，到 $x$轴的距离为 $d$，当点 $R$的坐标为　    　时，二次函数 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象上有且只有三个点到 $x$轴的距离等于 $2d$；

③如图2，已知 $0<m<2$，过点 $M(0,m)$作 $x$轴的平行线，分别交二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$、 $y_2=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的图象于点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$（点 $E$、 $G$在对称轴 $l$左侧），过点 $H$作 $x$轴的垂线，垂足为点 $N$，交二次函数 $y_1=(x-2)(x-4)$的图象于点 $Q$，若 $\mathit{\Delta GHN}\backsim \mathit{\Delta EHQ}$，求实数 $m$的值．

如图1，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}$的图象过点 $A(-1,3)$，顶点 $B$的横坐标为1．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）点 $P$在该二次函数的图象上，点 $Q$在 $x$轴上，若以 $A$、 $B$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形，求点 $P$的坐标；

（3）如图3，一次函数 $y=\mathit{kx}(k>0)$的图象与该二次函数的图象交于 $O$、 $C$两点，点 $T$为该二次函数图象上位于直线 $\mathit{OC}$下方的动点，过点 $T$作直线 $\mathit{TM}\perp \mathit{OC}$，垂足为点 $M$，且 $M$在线段 $\mathit{OC}$上（不与 $O$、 $C$重合），过点 $T$作直线 $\mathit{TN}//y$轴交 $\mathit{OC}$于点 $N$．若在点 $T$运动的过程中， $\frac{O{N}^2}{\mathit{OM}}$为常数，试确定 $k$的值．

如图1，已知一次函数 $y=x+3$的图象与 $x$轴、 $y$轴分别交于 $A$、 $B$两点，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$过 $A$、 $B$两点，且与 $x$轴交于另一点 $C$．

（1）求 $b$、 $c$的值；

（2）如图1，点 $D$为 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$在线段 $\mathit{BD}$上，且 $\mathit{BE}=2\mathit{ED}$，连接 $\mathit{CE}$并延长交抛物线于点 $M$，求点 $M$的坐标；

（3）将直线 $\mathit{AB}$绕点 $A$按逆时针方向旋转 $15°$后交 $y$轴于点 $G$，连接 $\mathit{CG}$，如图2， $P$为 $\mathit{\Delta ACG}$内一点，连接 $\mathit{PA}$、 $\mathit{PC}$、 $\mathit{PG}$，分别以 $\mathit{AP}$、 $\mathit{AG}$为边，在他们的左侧作等边 $\mathit{\Delta APR}$，等边 $\mathit{\Delta AGQ}$，连接 $\mathit{QR}$

①求证： $\mathit{PG}=\mathit{RQ}$；

②求 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$的最小值，并求出当 $\mathit{PA}+\mathit{PC}+\mathit{PG}$取得最小值时点 $P$的坐标．