初中数学完全平方公式的几何背景解答题

有一张边长为 $a$厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 $b$厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式： $a^2+2\mathit{ab}+b^2={(a+b)}^2$，

对于方案一，小明是这样验证的：

$a^2+\mathit{ab}+\mathit{ab}+b^2=a^2+2\mathit{ab}+b^2={(a+b)}^2$

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．

方案二：

方案三：

如图甲是一个长2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图乙的形状拼成一个正方形．
（1）求图乙中阴影部分的面积．
（2）观察图乙，请你写出三个代数式、、之间的等量关系式．
（3）根据（2）中的结论，若，，求的值．
（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示．如图丙，它表示了．
试画一个几何图形，使它的面积能表示：．

如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．

（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：
方法一：      ；      方法二：      ；
（2）观察图②，试写出，，2ab，这四个代数式之间的等量关系；
（3）请利用（2）中等量关系解决问题：
已知图①中一个三角形面积是6，图②的大正方形面积是49，求+的值．
（4）利用你发现的结论，求：的值．

（1）在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积．
①             ②         ③              ④        
（2）通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表示         ；
（3）利用（2）的结论计算997²+6×997+9的值．

如图①所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

（1）认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于        ．
（2）请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积，
方法①                  ；方法②                   ．
（3）观察图②，你能写出（m＋n）²，（m－n）²，4mn这三个代数式之间的等量关系吗？
（4）根据⑶题中的等量关系，解决如下问题：若a＋b＝6，ab＝4，则求（a－b）²的值．

图1是一个长为2，宽为2的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形．

（1）求出图1的长方形面积；
（2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形．利用阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（）²、（）²、之间的等量关系；
（3）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示．求两块阴影部分的周长和（用含、的代数式表示）．

图①是一个长为、宽为的长方形，用这样四个全等的长方形，拼成如图②的正方形．

（1）按要求填空：
ⅰ．请用含字母、的代数式表示图②中的阴影部分的正方形的边长：              ；
ⅱ．请用含字母、的代数式，用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1：                     
方法2：                     
ⅲ．观察图②，请写出代数式、、之间的等量关系：                  ；
（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
若，，求的值．

阅读材料并回答问题：（本题8分）
我们知道，乘法公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：，就可以用图1或图2等图形的面积表示．

（1）请写出图3所表示的代数恒等式：                                 ；
（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：；
（3）请仿照上述方法另写一个含有，的代数恒等式，并画出与它对应的几何图形．

图a是一个长为2 m、宽为2 n的长方形，现在沿图中虚线剪开，平均分成四块全等的小长方形，然后按图b的形状拼成一个正方形。

你认为图b中的阴影部分的正方形的边长等于多少?

观察图b你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
代数式:                  
根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
若，求的值。
如右图，现有正方形甲2张，正方形乙2张，长方形丙5张，请你将它们组合拼成一个大长方形（画出图示），并运用面积之间的关系，将多项式2a²+5ab+2b²分解因式．