初中数学二次函数图象上点的坐标特征解答题

已知抛物线 $y=-x^2+2x+8$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求点 $B$、 $C$的坐标；

（2）设点 $C\text{'}$与点 $C$关于该抛物线的对称轴对称．在 $y$轴上是否存在点 $P$，使 $\mathit{\Delta PCC}\text{'}$与 $\mathit{\Delta POB}$相似，且 $\mathit{PC}$与 $\mathit{PO}$是对应边？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，二次函数 $y=x^2-(m+1)x+m(m$ 是实数，且 $-1<m<0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），其对称轴与 $x$ 轴交于点 $C$ ．已知点 $D$ 位于第一象限，且在对称轴上， $\mathit{OD}\perp \mathit{BD}$ ，点 $E$ 在 $x$ 轴的正半轴上， $\mathit{OC}=\mathit{EC}$ ，连接 $\mathit{ED}$ 并延长交 $y$ 轴于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ ．

（1）求 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的坐标（用数字或含 $m$ 的式子表示）；

（2）已知点 $Q$ 在抛物线的对称轴上，当 $\mathit{\Delta AFQ}$ 的周长的最小值等于 $\frac{12}{5}$ 时，求 $m$ 的值．

如图， 点 $A$， $B$， $C$都在抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{amx}+a{m}^2+2m-5$（其 中 $-\frac{1}{4}<a<0)$上， $\mathit{AB}//x$轴， $\angle \mathit{ABC}=135°$，且 $\mathit{AB}=4$．

（1） 填空： 抛物线的顶点坐标为　　（用 含 $m$的代数式表示） ；

（2） 求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积 （用 含 $a$的代数式表示） ；

（3） 若 $\mathit{\Delta ABC}$的面积为 2 ，当 $2m-5⩽x⩽2m-2$时， $y$的最大值为 2 ，求 $m$的值 ．

如图，二次函数的图象过原点，与轴的另一个交点为

（1）求该二次函数的解析式；

（2）在轴上方作轴的平行线，交二次函数图象于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求的值；

（3）在（2）的条件下，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒．过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，问：以、、、四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出的值；若不能，请说明理由．

已知抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；

（2）点是线段上一个动点．

①如图1，设，当为何值时，？

②如图2，以，，为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点的坐标；若不相似，请说明理由．

两条抛物线与的顶点相同．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是抛物线在第四象限内图象上的一动点，过点作轴，为垂足，求的最大值；

（3）设抛物线的顶点为点，点的坐标为，问在的对称轴上是否存在点，使线段绕点顺时针旋转得到线段，且点恰好落在抛物线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线与轴交于点，（点在点的左边），与轴交于点，点是该抛物线的顶点．

（1）如图1，连接，求线段的长；

（2）如图2，点是直线上方抛物线上一点，轴于点，与线段交于点；将线段沿轴左右平移，线段的对应线段是，当的值最大时，求四边形周长的最小值，并求出对应的点的坐标；

（3）如图3，点是线段的中点，连接，将沿直线翻折至△的位置，再将△绕点旋转一周，在旋转过程中，点，的对应点分别是点，，直线分别与直线，轴交于点，．那么，在△的整个旋转过程中，是否存在恰当的位置，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的线段的长；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为．

（1）求线段的长；

（2）点为线段上方抛物线上的任意一点，过点作的垂线交于点，点为轴上一点，当的面积最大时，求的最小值；

（3）在（2）中，取得最小值时，将绕点顺时针旋转后得到△，过点作的垂线与直线交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．

已知抛物线，为常数，经过点，点是轴正半轴上的动点．

（Ⅰ）当时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）点在抛物线上，当，时，求的值；

（Ⅲ）点，在抛物线上，当的最小值为时，求的值．

如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，．

（1）求点的坐标和抛物线的解析式；

（2）为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点，．

①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；

②点在轴上自由运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”．请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值．