初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴的负半轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，、两点的坐标分别为，，．点为直线下方的抛物线上的一个动点（不与、两点重合）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）如图1，连接、得到，问是否存在着这样的点，使得的面积最大？如果存在，求出面积的最大值和此时点的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接交线段于点，点为线段的中点，过点作于点，于点，连接、，则在点的运动过程中，的大小是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．

如图1，已知抛物线过点，．

（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；

（2）设点是轴上一点，当时，求点的坐标；

（3）如图2．抛物线与轴交于点，点是该抛物线上位于第二象限的点，线段交于点，交轴于点，和的面积分别为、，求的最大值．

如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；

（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式．

如图，抛物线经过轴上的点和点及轴上的点，经过、两点的直线为．

①求抛物线的解析式．

②点从出发，在线段上以每秒1个单位的速度向运动，同时点从出发，在线段上以每秒2个单位的速度向运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为秒，求为何值时，的面积最大并求出最大值．

③过点作于点，过抛物线上一动点（不与点、重合）作直线的平行线交直线于点．若点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的横坐标．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过原点，顶点为．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）设点为抛物线的对称轴上的一点，点在该抛物线上，当四边

形为菱形时，求出点的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线在第一象限的图象上是否存在一点，使得点到直线的距离与其到轴的距离相等？若存在，求出直线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

如图：在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，经过点的抛物线的对称轴是．

（1）求抛物线的解析式；

（2）平移直线经过原点，得到直线，点是直线上任意一点，轴于点，轴于点，若点在线段上，点在线段的延长线上，连接，，且．求证：；

（3）若（2）中的点坐标为，点是轴上的点，点是轴上的点，当时，抛物线上是否存在点，使四边形是矩形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．

已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点是线段上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线解析式；

（2）当点运动到什么位置时，的面积最大？

（3）过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴交抛物线于点，连接，请问是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．

抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，已知点的坐标为，为抛物线第一象限上一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接，，若，求的面积；

（3）如图2，连接，，若，求点的坐标．

如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小．并求出点坐标；

（3）在第二象限内的抛物线上，是否存在点，使得的面积是面积的一半？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

已知：如图，抛物线 $y=a{x}^2+4x+c$ 经过原点 $O(0,0)$ 和点 $A(3,3)$ ， $P$ 为抛物线上的一个动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $B(m,0)$ ，并与直线 $\mathit{OA}$ 交于点 $C$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $P$ 在直线 $\mathit{OA}$ 上方时，求线段 $\mathit{PC}$ 的最大值；

（3）过点 $A$ 作 $\mathit{AD}\perp x$ 轴于点 $D$ ，在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得以 $P$ 、 $A$ 、 $C$ 、 $D$ 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，点，点．已知抛物线是常数），顶点为．

（Ⅰ）当抛物线经过点时，求顶点的坐标；

（Ⅱ）若点在轴下方，当时，求抛物线的解析式；

（Ⅲ）无论取何值，该抛物线都经过定点．当时，求抛物线的解析式．

已知抛物线是常数）经过点．

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）为抛物线上的一个动点，关于原点的对称点为．

①当点落在该抛物线上时，求的值；

②当点落在第二象限内，取得最小值时，求的值．

已知抛物线 $C:y=x^2-2x+1$ 的顶点为 $P$ ，与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，点 $F(1,\frac{1}{2})$ ．

（Ⅰ） 求点 $P$ ， $Q$ 的坐标；

（Ⅱ） 将抛物线 $C$ 向上平移得到抛物线 $C\text{'}$ ，点 $Q$ 平移后的对应点为 $Q\text{'}$ ，且 $\mathit{FQ}\text{'}=\mathit{OQ}\text{'}$ ．

①求抛物线 $C\text{'}$ 的解析式；

②若点 $P$ 关于直线 $Q\text{'}F$ 的对称点为 $K$ ，射线 $\mathit{FK}$ 与抛物线 $C\text{'}$ 相交于点 $A$ ，求点 $A$ 的坐标 ．

综合与探究

如图，抛物线经过点，两点，与轴交于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为．连接，，，．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）的面积等于的面积的时，求的值；

（3）在（2）的条件下，若点是轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-8$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，直线 $l$ 经过坐标原点 $O$ ，与抛物线的一个交点为 $D$ ，与抛物线的对称轴交于点 $E$ ，连接 $\mathit{CE}$ ，已知点 $A$ ， $D$ 的坐标分别为 $(-2,0)$ ， $(6,-8)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点 $B$ 和点 $E$ 的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点 $F$ ，使 $\mathit{\Delta FOE}\cong \mathit{\Delta FCE}$ ？若存在，请直接写出点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点 $P$ 是 $y$ 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为 $(0,m)$ ，直线 $\mathit{PB}$ 与直线 $l$ 交于点 $Q$ ，试探究：当 $m$ 为何值时， $\mathit{\Delta OPQ}$ 是等腰三角形．