初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图①，在平面直角坐标系中，已知，，，四点，动点以每秒个单位长度的速度沿运动不与点、点重合），设运动时间为（秒．

（1）求经过、、三点的抛物线的解析式；

（2）点在（1）中的抛物线上，当为的中点时，若，求点的坐标；

（3）当在上运动时，如图②．过点作轴，垂足为，，垂足为．设矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并求出的最大值；

（4）点为轴上一点，直线与直线交于点，与轴交于点．是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线的图象经过点，顶点的坐标为，与轴交于、两点．

（1）求抛物线的解析式．

（2）连接，为直线上一点，当时，求点的坐标和的值．

（3）点是轴上一动点，当为何值时，的值最小．并求出这个最小值．

（4）点关于轴的对称点为，当取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $\mathit{AB}=4$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，对称轴是直线 $x=1$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $C$ 的坐标；

（2）连接 $\mathit{BC}$ ， $E$ 是线段 $\mathit{OC}$ 上一点， $E$ 关于直线 $x=1$ 的对称点 $F$ 正好落在 $\mathit{BC}$ 上，求点 $F$ 的坐标；

（3）动点 $M$ 从点 $O$ 出发，以每秒2个单位长度的速度向点 $B$ 运动，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $N$ ，交线段 $\mathit{BC}$ 于点 $Q$ ．设运动时间为 $t(t>0)$ 秒．

①若 $\mathit{\Delta AOC}$ 与 $\mathit{\Delta BMN}$ 相似，请直接写出 $t$ 的值；

② $\mathit{\Delta BOQ}$ 能否为等腰三角形？若能，求出 $t$ 的值；若不能，请说明理由．

已知抛物线过点，两点，与轴交于点，．

（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；

（2）过点作，垂足为，求证：四边形为正方形；

（3）点为抛物线在直线下方图形上的一动点，当面积最大时，求点的坐标；

（4）若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线过点，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点、在抛物线上，的平分线交于点，点是的中点，已知，且．

（1）求抛物线的解析式；

（2）、分别为轴，轴上的动点，顺次连接、、、构成四边形，求四边形周长的最小值；

（3）在轴下方且在抛物线上是否存在点，使中边上的高为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）矩形不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点、，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．

如图，二次函数的图象过原点，与轴的另一个交点为

（1）求该二次函数的解析式；

（2）在轴上方作轴的平行线，交二次函数图象于、两点，过、两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求的值；

（3）在（2）的条件下，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，、两点同时停止运动，设运动时间为秒．过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，问：以、、、四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出的值；若不能，请说明理由．

如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点．

（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；

（2）过定点的直线与二次函数图象相交于，两点．

①若，求的值；

②证明：无论为何值，恒为直角三角形；

③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

已知抛物线与轴分别交于，两点，与轴交于点．

（1）求抛物线的表达式及顶点的坐标；

（2）点是线段上一个动点．

①如图1，设，当为何值时，？

②如图2，以，，为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点的坐标；若不相似，请说明理由．

如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点，满足，过作轴于点，设的内心为，试求的最小值．

已知抛物线的对称轴是直线，与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式和，两点的坐标；

（2）如图1，若点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合），是否存在点，使四边形的面积最大？若存在，求点的坐标及四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，若点是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点，当时，求点的坐标．

如图，顶点为的抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作轴交抛物线于另一点，作轴，垂足为点，双曲线经过点，连接，．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点，分别是轴，轴上的两点，当以，，，为顶点的四边形周长最小时，求出点，的坐标；

（3）动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，运动时间为秒，当为何值时，的度数最大？（请直接写出结果）

如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，点，的中线与轴交于点，且经过，，三点．

（1）求圆心的坐标；

（2）若直线与相切于点，交轴于点，求直线的函数表达式；

（3）在（2）的条件下，在过点且以圆心为顶点的抛物线上有一动点，过点作轴，交直线于点．若以为半径的与直线相交于另一点．当时，求点的坐标．

如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为．

（1）求抛物线解析式及点坐标；

（2）若点为轴下方抛物线上一动点，连接、、，当点运动到某一位置时，四边形面积最大，求此时点的坐标及四边形的面积；

（3）如图2，若点是半径为2的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接．又已知位于轴右侧且垂直于轴的动直线，沿轴正方向从运动到（不含点和点），且分别交抛物线、线段以及轴于点，，．

（1）求抛物线的表达式；

（2）连接，，当直线运动时，求使得和相似的点的坐标；

（3）作，垂足为，当直线运动时，求面积的最大值．

如图1，抛物线经过点、两点，是其顶点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线．

（1）求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；

（2）如图2，直线经过点，是抛物线上的一点，设点的横坐标为，连接并延长，交抛物线于点，交直线于点，若，求的值；

（3）如图3，在（2）的条件下，连接、，在直线下方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．