初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，是将抛物线 $y=-x^2$平移后得到的抛物线，其对称轴为 $x=1$，与 $x$轴的一个交点为 $A(-1,0)$，另一个交点为 $B$，与 $y$轴的交点为 $C$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $N$为抛物线上一点，且 $\mathit{BC}\perp \mathit{NC}$，求点 $N$的坐标；

（3）点 $P$是抛物线上一点，点 $Q$是一次函数 $y=\frac{3}{2}x+\frac{3}{2}$的图象上一点，若四边形 $\mathit{OAPQ}$为平行四边形，这样的点 $P$、 $Q$是否存在？若存在，分别求出点 $P$、 $Q$的坐标；若不存在，说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{AB}$与抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交于 $A(-1,0)$和 $B(2,3)$两点，抛物线与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求一次函数和二次函数的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图，在等腰直角三角形 $\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $A$在 $x$轴上，点 $B$在 $y$轴上，点 $C(3,1)$，二次函数 $y=\frac{1}{3}{x}^2+\mathit{bx}-\frac{3}{2}$的图象经过点 $C$．

（1）求二次函数的解析式，并把解析式化成 $y=a{(x-h)}^2+k$的形式；

（2）把 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $x$轴正方向平移，当点 $B$落在抛物线上时，求 $\mathit{\Delta ABC}$扫过区域的面积；

（3）在抛物线上是否存在异于点 $C$的点 $P$，使 $\mathit{\Delta ABP}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的等腰直角三角形？如果存在，请求出所有符合条件的点 $P$的坐标；如果不存在，请说明理由．

如图1，抛物线 $y=-x^2+2x-1$的顶点 $A$在 $x$轴上，交 $y$轴于 $B$，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与 $x$轴交于 $C$， $D$，顶点为 $E(1,4)$．

（1）求点 $B$的坐标和平移后抛物线的解析式；

（2）点 $M$在原抛物线上，平移后的对应点为 $N$，若 $\mathit{OM}=\mathit{ON}$，求点 $M$的坐标；

（3）如图2，直线 $\mathit{CB}$与平移后的抛物线交于 $F$．在抛物线的对称轴上是否存在点 $P$，使得以 $C$， $F$， $P$为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线经过原点 $O(0,0)$，点 $A(1,1)$，点 $B(\frac{7}{2},0)$．

（1）求抛物线解析式；

（2）连接 $\mathit{OA}$，过点 $A$作 $\mathit{AC}\perp \mathit{OA}$交抛物线于 $C$，连接 $\mathit{OC}$，求 $\mathit{\Delta AOC}$的面积；

（3）点 $M$是 $y$轴右侧抛物线上一动点，连接 $\mathit{OM}$，过点 $M$作 $\mathit{MN}\perp \mathit{OM}$交 $x$轴于点 $N$．问：是否存在点 $M$，使以点 $O$， $M$， $N$为顶点的三角形与（2）中的 $\mathit{\Delta AOC}$相似，若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，说明理由．

如图，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，以直线 $x=\frac{5}{2}$对称轴的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与直线 $l:y=\mathit{kx}+m(k>0)$交于 $A(1,1)$， $B$两点，与 $y$轴交于 $C(0,5)$，直线 $l$与 $y$轴交于点 $D$．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设直线 $l$与抛物线的对称轴的交点为 $F$， $G$是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{FB}}=\frac{3}{4}$，且 $\mathit{\Delta BCG}$与 $\mathit{\Delta BCD}$面积相等，求点 $G$的坐标；

（3）若在 $x$轴上有且仅有一点 $P$，使 $\angle \mathit{APB}=90°$，求 $k$的值．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+6(a\ne 0)$与 $x$轴交于点 $A(-3,0)$和点 $B(1,0)$，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求抛物线 $y$的函数表达式及点 $C$的坐标；

（2）点 $M$为坐标平面内一点，若 $\mathit{MA}=\mathit{MB}=\mathit{MC}$，求点 $M$的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点 $E$，使 $4\tan \angle \mathit{ABE}=11\tan \angle \mathit{ACB}$？若存在，求出满足条件的所有点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$交 $x$轴于 $A$、 $B$两点 $(A$在 $B$的左侧），且 $\mathit{OA}=3$， $\mathit{OB}=1$，与 $y$轴交于 $C(0,3)$，抛物线的顶点坐标为 $D(-1,4)$．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）过点 $D$作直线 $\mathit{DE}//y$轴，交 $x$轴于点 $E$，点 $P$是抛物线上 $B$、 $D$两点间的一个动点（点 $P$不与 $B$、 $D$两点重合）， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$与直线 $\mathit{DE}$分别交于点 $F$、 $G$，当点 $P$运动时， $\mathit{EF}+\mathit{EG}$是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-2$与 $x$轴交于点 $A$、 $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C(0,-2)$， $\mathit{OB}=4\mathit{OA}$， $\tan \angle \mathit{BCO}=2$．

（1）求 $A$、 $B$两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点 $M$、 $N$分别是线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AB}$上的动点，点 $M$从点 $B$出发以每秒 $\frac{\sqrt{5}}{2}$个单位的速度向点 $C$运动，同时点 $N$从点 $A$出发以每秒2个单位的速度向点 $B$运动，当点 $M$、 $N$中的一点到达终点时，两点同时停止运动．过点 $M$作 $\mathit{MP}\perp x$轴于点 $E$，交抛物线于点 $P$．设点 $M$、点 $N$的运动时间为 $t\left(s\right)$，当 $t$为多少时， $\mathit{\Delta PNE}$是等腰三角形？

抛物线 $y=4x^2-2\mathit{ax}+b$与 $x$轴相交于 $A(x_1$， $0)$， $B(x_2$， $0\left)\right(0<x_1<x_2)$两点，与 $y$轴交于点 $C$．

（1）设 $\mathit{AB}=2$， $\tan \angle \mathit{ABC}=4$，求该抛物线的解析式；

（2）在（1）中，若点 $D$为直线 $\mathit{BC}$下方抛物线上一动点，当 $\mathit{\Delta BCD}$的面积最大时，求点 $D$的坐标；

（3）是否存在整数 $a$， $b$使得 $1<x_1<2$和 $1<x_2<2$同时成立，请证明你的结论．

如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A(-1,0)$ 、 $B(3,0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1） $b=$ 　　， $c=$ 　　；

（2）若点 $D$ 在该二次函数的图象上，且 $S_{\mathit{\Delta ABD}}=2S_{\mathit{\Delta ABC}}$ ，求点 $D$ 的坐标；

（3）若点 $P$ 是该二次函数图象上位于 $x$ 轴上方的一点，且 $S_{\mathit{\Delta APC}}=S_{\mathit{\Delta APB}}$ ，写出点 $P$ 的坐标．

如图，抛物线 $y=a{(x+1)}^2+4(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $C$两点，与直线 $y=x-1$交于 $A$， $B$两点，直线 $\mathit{AB}$与抛物线的对称轴交于点 $E$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$在直线 $\mathit{AB}$上方的抛物线上运动．

①点 $P$在什么位置时， $\mathit{\Delta ABP}$的面积最大，求出此时点 $P$的坐标；

②当点 $P$与点 $C$重合时，连接 $\mathit{PE}$，将 $\mathit{\Delta PEB}$补成矩形，使 $\mathit{\Delta PEB}$上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(\sqrt{3}$， $0)$， $B$两点（点 $B$在点 $A$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，且 $\mathit{OB}=3\mathit{OA}=\sqrt{3}\mathit{OC}$， $\angle \mathit{OAC}$的平分线 $\mathit{AD}$交 $y$轴于点 $D$，过点 $A$且垂直于 $\mathit{AD}$的直线 $l$交 $y$轴于点 $E$，点 $P$是 $x$轴下方抛物线上的一个动点，过点 $P$作 $\mathit{PF}\perp x$轴，垂足为 $F$，交直线 $\mathit{AD}$于点 $H$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点 $P$的横坐标为 $m$，当 $\mathit{FH}=\mathit{HP}$时，求 $m$的值；

（3）当直线 $\mathit{PF}$为抛物线的对称轴时，以点 $H$为圆心， $\frac{1}{2}\mathit{HC}$为半径作 $\odot H$，点 $Q$为 $\odot H$上的一个动点，求 $\frac{1}{4}\mathit{AQ}+\mathit{EQ}$的最小值．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴分别交于 $A(-1,0)$， $B(5,0)$两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在第二象限内取一点 $C$，作 $\mathit{CD}$垂直 $x$轴于点 $D$，连接 $\mathit{AC}$，且 $\mathit{AD}=5$， $\mathit{CD}=8$，将 $\text{Rt}\Delta \text{ACD}$沿 $x$轴向右平移 $m$个单位，当点 $C$落在抛物线上时，求 $m$的值；

（3）在（2）的条件下，当点 $C$第一次落在抛物线上记为点 $E$，点 $P$是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点 $Q$，使以点 $B$、 $E$、 $P$、 $Q$为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 $Q$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象经过点 $A(1,0)$， $B(-3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，抛物线的顶点为 $D$，对称轴与 $x$轴相交于点 $E$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若点 $P$在直线 $\mathit{BD}$上，当 $\mathit{PE}=\mathit{PC}$时，求点 $P$的坐标．

（3）在（2）的条件下，作 $\mathit{PF}\perp x$轴于 $F$，点 $M$为 $x$轴上一动点， $N$为直线 $\mathit{PF}$上一动点， $G$为抛物线上一动点，当以点 $F$， $N$， $G$， $M$四点为顶点的四边形为正方形时，求点 $M$的坐标．