初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$， $b$， $c$是常数， $a\ne 0)$的自变量 $x$与函数值 $y$的部分对应值如下表：

$x$	$\dots$	$-2$	$-1$	0	1	2	$\dots$
$y$	$\dots$	$m$	0	$-3$	$n$	$-3$	$\dots$

（1）根据以上信息，可知抛物线开口向　 　，对称轴为　　；

（2）求抛物线的表达式及 $m$， $n$的值；

（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点 $P$为抛物线上的动点， $\mathit{OP}$的中点为 $P^{\text{'}}$，描出相应的点 $P^{\text{'}}$，再把相应的点 $P^{\text{'}}$用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？

（4）设直线 $y=m(m>-2)$与抛物线及（3）中的点 $P^{\text{'}}$所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为 $A_1$， $A_2$， $A_3$， $A_4$，请根据图象直接写出线段 $A_1{A}_2$， $A_3{A}_4$之间的数量关系　　．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\frac{8}{5}x+c$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且 $A(2,0)$， $C(0,-4)$，直线 $l:y=-\frac{1}{2}x-4$与 $x$轴交于点 $D$，点 $P$是抛物线 $y=a{x}^2+\frac{8}{5}x+c$上的一动点，过点 $P$作 $\mathit{PE}\perp x$轴，垂足为 $E$，交直线 $l$于点 $F$．

（1）试求该抛物线表达式；

（2）如图（1），当点 $P$在第三象限，四边形 $\mathit{PCOF}$是平行四边形，求 $P$点的坐标；

（3）如图（2），过点 $P$作 $\mathit{PH}\perp y$轴，垂足为 $H$，连接 $\mathit{AC}$．

①求证： $\mathit{\Delta ACD}$是直角三角形；

②试问当 $P$点横坐标为何值时，使得以点 $P$、 $C$、 $H$为顶点的三角形与 $\mathit{\Delta ACD}$相似？

如图，已知抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其中点 $A$的坐标为 $(-3,0)$

（1）求 $b$的值及点 $B$的坐标；

（2）试判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状，并说明理由；

（3）一动点 $P$从点 $A$出发，以每秒2个单位的速度向点 $B$运动，同时动点 $Q$从点 $B$出发，以每秒1个单位的速度向点 $C$运动（当点 $P$运动到点 $B$时，点 $Q$随之停止运动），设运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时 $\mathit{\Delta PBQ}$与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？

如图，已知抛物线的对称轴是 $y$轴，且点 $(2,2)$， $(1,\frac{5}{4})$在抛物线上，点 $P$是抛物线上不与顶点 $N$重合的一动点，过 $P$作 $\mathit{PA}\perp x$轴于 $A$， $\mathit{PC}\perp y$轴于 $C$，延长 $\mathit{PC}$交抛物线于 $E$，设 $M$是 $O$关于抛物线顶点 $N$的对称点， $D$是 $C$点关于 $N$的对称点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $N$的坐标；

（2）求证：四边形 $\mathit{PMDA}$是平行四边形；

（3）求证： $\mathit{\Delta DPE}\backsim \mathit{\Delta PAM}$，并求出当它们的相似比为 $\sqrt{3}$时的点 $P$的坐标．

如图1，图形 $\mathit{ABCD}$是由两个二次函数 $y_1=k{x}^2+m(k<0)$与 $y_2=a{x}^2+b(a>0)$的部分图象围成的封闭图形．已知 $A(1,0)$、 $B(0,1)$、 $D(0,-3)$．

（1）直接写出这两个二次函数的表达式；

（2）判断图形 $\mathit{ABCD}$是否存在内接正方形（正方形的四个顶点在图形 $\mathit{ABCD}$上），并说明理由；

（3）如图2，连接 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$， $\mathit{AD}$，在坐标平面内，求使得 $\mathit{\Delta BDC}$与 $\mathit{\Delta ADE}$相似（其中点 $C$与点 $E$是对应顶点）的点 $E$的坐标．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$经过 $A(-1,0)$， $B(1,1)$两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线 $l_1:y=k_{1}x+b_1(k_1$， $b_1$为常数，且 $k_1\ne 0)$，直线 $l_2:y=k_{2}x+b_2(k_2$， $b_2$为常数，且 $k_2\ne 0)$，若 $l_1\perp l_2$，则 $k_1·k_2=-1$．

解决问题：

①若直线 $y=3x-1$与直线 $y=\mathit{mx}+2$互相垂直，求 $m$的值；

②抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PAB}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $M$是抛物线上一动点，且在直线 $\mathit{AB}$的上方（不与 $A$， $B$重合），求点 $M$到直线 $\mathit{AB}$的距离的最大值．

如图1，抛物线的顶点 $A$的坐标为 $(1,4)$，抛物线与 $x$轴相交于 $B$、 $C$两点，与 $y$轴交于点 $E(0,3)$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点 $F(0,-3)$，在抛物线的对称轴上是否存在一点 $G$，使得 $\mathit{EG}+\mathit{FG}$最小，如果存在，求出点 $G$的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $\mathit{AB}$，若点 $P$是线段 $\mathit{OE}$上的一动点，过点 $P$作线段 $\mathit{AB}$的垂线，分别与线段 $\mathit{AB}$、抛物线相交于点 $M$、 $N$（点 $M$、 $N$都在抛物线对称轴的右侧），当 $\mathit{MN}$最大时，求 $\mathit{\Delta PON}$的面积．

如图，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于点 $A(-1,0)$和点 $B(3,0)$，与 $y$轴交于点 $C$，连接 $\mathit{BC}$交抛物线的对称轴于点 $E$， $D$是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）直接写出点 $C$和点 $D$的坐标；

（3）若点 $P$在第一象限内的抛物线上，且 $S_{\mathit{\Delta ABP}}=4S_{\mathit{\Delta COE}}$，求 $P$点坐标．

注：二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

如图，已知点 $A(-1,0)$， $B(3,0)$， $C(0,1)$在抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c$上．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线 $\mathit{BC}$上方的抛物线上求一点 $P$，使 $\mathit{\Delta PBC}$面积为1；

（3）在 $x$轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点 $Q$，使 $\angle \mathit{BQC}=\angle \mathit{BAC}$？若存在，求出 $Q$点坐标；若不存在，说明理由．

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

如图，已知二次函数的图象经过点．

（1）求的值和图象的顶点坐标．

（2）点在该二次函数图象上．

①当时，求的值；

②若点到轴的距离小于2，请根据图象直接写出的取值范围．

在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），，经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点，且与抛物线的另一个交点为，的面积为5．

（1）求抛物线和一次函数的解析式；

（2）抛物线上的动点在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点的坐标；

（3）若点为轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$的直角边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}=2$， $\mathit{AB}=1$，将 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$绕点 $O$逆时针旋转 $90°$得到 $\text{Rt}\Delta \text{COD}$，抛物线 $y=-\frac{5}{6}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $B$、 $D$两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接 $\mathit{BD}$，点 $P$是抛物线上一点，直线 $\mathit{OP}$把 $\mathit{\Delta BOD}$的周长分成相等的两部分，求点 $P$的坐标．

如图，抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与 $y$轴交于点 $A(0,2)$，对称轴为直线 $x=-2$，平行于 $x$轴的直线与抛物线交于 $B$、 $C$两点，点 $B$在对称轴左侧， $\mathit{BC}=6$．

（1）求此抛物线的解析式．

（2）点 $P$在 $x$轴上，直线 $\mathit{CP}$将 $\mathit{\Delta ABC}$面积分成 $2:3$两部分，请直接写出 $P$点坐标．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $\mathit{AB}$与抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$交于 $A(-1,0)$和 $B(2,3)$两点，抛物线与 $y$轴交于点 $C$．

（1）求一次函数和二次函数的解析式；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．