初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C(0,3)$，且此抛物线的顶点坐标为 $M(-1,4)$．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）设点 $D$为已知抛物线对称轴上的任意一点，当 $\mathit{\Delta ACD}$与 $\mathit{\Delta ACB}$面积相等时，求点 $D$的坐标；

（3）点 $P$在线段 $\mathit{AM}$上，当 $\mathit{PC}$与 $y$轴垂直时，过点 $P$作 $x$轴的垂线，垂足为 $E$，将 $\mathit{\Delta PCE}$沿直线 $\mathit{CE}$翻折，使点 $P$的对应点 $P\text{'}$与 $P$、 $E$、 $C$处在同一平面内，请求出点 $P\text{'}$坐标，并判断点 $P\text{'}$是否在该抛物线上．

在平面直角坐标系中，已知点 $A(1,2)$， $B(2,3)$， $C(2,1)$，直线 $y=x+m$经过点 $A$，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$恰好经过 $A$， $B$， $C$三点中的两点．

（1）判断点 $B$是否在直线 $y=x+m$上，并说明理由；

（2）求 $a$， $b$的值；

（3）平移抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$，使其顶点仍在直线 $y=x+m$上，求平移后所得抛物线与 $y$轴交点纵坐标的最大值．

已知抛物线 $y＝a{x}^2+\mathit{bx}-3$经过 $\mathit{（﹣}1，0）$， $（3，0）$两点，与y轴交于点C，直线 $y＝\mathit{kx}$与抛物线交于A，B两点．

（1）写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；

（2）当原点O为线段AB的中点时，求k的值及A，B两点的坐标；

（3）是否存在实数k使得△ABC的面积为 $\frac{3\sqrt{10}}{2}$？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

已知二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $y$轴交于点 $C(0,-6)$，与 $x$轴的一个交点坐标是 $A(-2,0)$．

（1）求二次函数的解析式，并写出顶点 $D$的坐标；

（2）将二次函数的图象沿 $x$轴向左平移 $\frac{5}{2}$个单位长度，当 $y<0$时，求 $x$的取值范围．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$的直角边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}=2$， $\mathit{AB}=1$，将 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$绕点 $O$逆时针旋转 $90°$得到 $\text{Rt}\Delta \text{COD}$，抛物线 $y=-\frac{5}{6}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $B$、 $D$两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）连接 $\mathit{BD}$，点 $P$是抛物线上一点，直线 $\mathit{OP}$把 $\mathit{\Delta BOD}$的周长分成相等的两部分，求点 $P$的坐标．

如图，已知抛物线的对称轴是 $y$轴，且点 $(2,2)$， $(1,\frac{5}{4})$在抛物线上，点 $P$是抛物线上不与顶点 $N$重合的一动点，过 $P$作 $\mathit{PA}\perp x$轴于 $A$， $\mathit{PC}\perp y$轴于 $C$，延长 $\mathit{PC}$交抛物线于 $E$，设 $M$是 $O$关于抛物线顶点 $N$的对称点， $D$是 $C$点关于 $N$的对称点．

（1）求抛物线的解析式及顶点 $N$的坐标；

（2）求证：四边形 $\mathit{PMDA}$是平行四边形；

（3）求证： $\mathit{\Delta DPE}\backsim \mathit{\Delta PAM}$，并求出当它们的相似比为 $\sqrt{3}$时的点 $P$的坐标．

如图，顶点为 $A(\sqrt{3},1)$的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证： $△\mathit{OCD}≌△\mathit{OAB}$；

（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与直线 $\mathit{AB}$相交于 $A$， $B$两点，其中 $A(-3,-4)$， $B(0,-1)$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点 $P$为直线 $\mathit{AB}$下方抛物线上的任意一点，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，求 $\mathit{\Delta PAB}$面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1(a_1\ne 0)$，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 $C$，点 $D$为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $E$，使以点 $B$， $C$， $D$， $E$为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=-\frac{\sqrt{3}}{3}{x}^2+\mathit{bx}+\sqrt{3}$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，其中点 $A$的坐标为 $(-3,0)$

（1）求 $b$的值及点 $B$的坐标；

（2）试判断 $\mathit{\Delta ABC}$的形状，并说明理由；

（3）一动点 $P$从点 $A$出发，以每秒2个单位的速度向点 $B$运动，同时动点 $Q$从点 $B$出发，以每秒1个单位的速度向点 $C$运动（当点 $P$运动到点 $B$时，点 $Q$随之停止运动），设运动时间为 $t$秒，当 $t$为何值时 $\mathit{\Delta PBQ}$与 $\mathit{\Delta ABC}$相似？

已知抛物线 $y=a{x}^2-2\mathit{ax}-8(a\ne 0)$ 经过点 $(-2,0)$ ．

（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线 $l$ 交抛物线于点 $A(-4,m)$ ， $B(n,7)$ ， $n$ 为正数．若点 $P$ 在抛物线上且在直线 $l$ 下方（不与点 $A$ ， $B$ 重合），分别求出点 $P$ 横坐标与纵坐标的取值范围．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，关于 $x$ 的二次函数 $y=x^2+\mathit{px}+q$ 的图象过点 $(-1,0)$ ， $(2,0)$ ．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求当 $-2⩽x⩽1$ 时， $y$ 的最大值与最小值的差；

（3）一次函数 $y=(2-m)x+2-m$ 的图象与二次函数 $y=x^2+\mathit{px}+q$ 的图象交点的横坐标分别是 $a$ 和 $b$ ，且 $a<3<b$ ，求 $m$ 的取值范围．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，等腰直角 $\mathit{\Delta ABC}$ 的直角顶点 $C$ 在 $y$ 轴上，另两个顶点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴上，且 $\mathit{AB}=4$ ，抛物线经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．

（2）过原点任作直线 $l$ 交抛物线于 $M$ ， $N$ 两点，如图2所示．

①求 $\mathit{\Delta CMN}$ 面积的最小值．

②已知 $Q(1,-\frac{3}{2})$ 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 $P$ ，使得点 $P$ 与点 $Q$ 关于直线 $l$ 对称，若存在，求出点 $P$ 的坐标及直线 $l$ 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

如图1，已知抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$与 $x$轴交于 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，与 $y$轴交于 $C$点，点 $P$是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 $P$的横坐标为 $t$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）设抛物线的对称轴为 $l$， $l$与 $x$轴的交点为 $D$．在直线 $l$上是否存在点 $M$，使得四边形 $\mathit{CDPM}$是平行四边形？若存在，求出点 $M$的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $\mathit{BC}$， $\mathit{PB}$， $\mathit{PC}$，设 $\mathit{\Delta PBC}$的面积为 $S$．

①求 $S$关于 $t$的函数表达式；

②求 $P$点到直线 $\mathit{BC}$的距离的最大值，并求出此时点 $P$的坐标．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的图象与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，且关于直线 $x=1$对称，点 $A$的坐标为 $(-1,0)$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接 $\mathit{BC}$，若点 $P$在 $y$轴上时， $\mathit{BP}$和 $\mathit{BC}$的夹角为 $15°$，求线段 $\mathit{CP}$的长度；

（3）当 $a⩽x⩽a+1$时，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+c$的最小值为 $2a$，求 $a$的值．

如图，已知二次函数的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $D$为顶点，其中点 $B$的坐标为 $(5,0)$，点 $D$的坐标为 $(1,3)$．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）点 $E$是线段 $\mathit{BD}$上的一点，过点 $E$作 $x$轴的垂线，垂足为 $F$，且 $\mathit{ED}=\mathit{EF}$，求点 $E$的坐标．

（3）试问在该二次函数图象上是否存在点 $G$，使得 $\mathit{\Delta ADG}$的面积是 $\mathit{\Delta BDG}$的面积的 $\frac{3}{5}$？若存在，求出点 $G$的坐标；若不存在，请说明理由．