初中数学待定系数法求二次函数解析式解答题

已知函数 $y=m{x}^2-(2m-5)x+m-2$的图象与 $x$轴有两个公共点．

（1）求 $m$的取值范围，并写出当 $m$取值范围内取最大整数时函数的解析式；

（2）题（1）中求得的函数记为 $C_1$．

①当 $n⩽x⩽-1$时， $y$的取值范围是 $1⩽y⩽-3n$，求 $n$的值；

②函数 $C_2:y=m{(x-h)}^2+k$的图象由函数 $C_1$的图象平移得到，其顶点 $P$落在以原点为圆心，半径为 $\sqrt{5}$的圆内或圆上．设函数 $C_1$的图象顶点为 $M$，求点 $P$与点 $M$距离最大时函数 $C_2$的解析式．

如图，抛物线 $y=a{x}^2-3\mathit{ax}-4a$ 的图象经过点 $C(0,2)$ ，交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 左侧），连接 $\mathit{BC}$ ，直线 $y=\mathit{kx}+1(k>0)$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ，与 $\mathit{BC}$ 上方的抛物线交于点 $E$ ，与 $\mathit{BC}$ 交于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式及点 $A$ 、 $B$ 的坐标；

（2） $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{DF}}$ 是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点 $E$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过 $A(-1,0)$， $B(3,0)$两点，交 $y$轴于点 $C$，点 $D$为抛物线的顶点，连接 $\mathit{BD}$，点 $H$为 $\mathit{BD}$的中点．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式及顶点 $D$的坐标；

（2）在 $y$轴上找一点 $P$，使 $\mathit{PD}+\mathit{PH}$的值最小，则 $\mathit{PD}+\mathit{PH}$的最小值为　　．

（注：抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的对称轴是直线 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标为 $(-\frac{b}{2a}$， $\frac{4\mathit{ac}-b^2}{4a})$

如图，抛物线 $y=-x^2+2x+c$与 $x$轴正半轴， $y$轴正半轴分别交于点 $A$， $B$，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}$，点 $G$为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及点 $G$的坐标；

（2）点 $M$， $N$为抛物线上两点（点 $M$在点 $N$的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点 $Q$为抛物线上点 $M$， $N$之间（含点 $M$， $N)$的一个动点，求点 $Q$的纵坐标 $y_Q$的取值范围．

如图1，抛物线的顶点 $A$的坐标为 $(1,4)$，抛物线与 $x$轴相交于 $B$、 $C$两点，与 $y$轴交于点 $E(0,3)$．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点 $F(0,-3)$，在抛物线的对称轴上是否存在一点 $G$，使得 $\mathit{EG}+\mathit{FG}$最小，如果存在，求出点 $G$的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接 $\mathit{AB}$，若点 $P$是线段 $\mathit{OE}$上的一动点，过点 $P$作线段 $\mathit{AB}$的垂线，分别与线段 $\mathit{AB}$、抛物线相交于点 $M$、 $N$（点 $M$、 $N$都在抛物线对称轴的右侧），当 $\mathit{MN}$最大时，求 $\mathit{\Delta PON}$的面积．

阅读以下材料，并解决相应问题：

小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1(a_1\ne 0$， $a_1$、 $b_1$、 $c_1$是常数）与 $y=a_2{x}^2+b_{2}x+c_2(a_2\ne 0$， $a_2$、 $b_2$、 $c_2$是常数）满足 $a_1+a_2=0$， $b_1=b_2$， $c_1+c_2=0$，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数 $y=2x^2-3x+1$的旋转函数，小明是这样思考的，由函数 $y=2x^2-3x+1$可知， $a_1=2$， $b_1=-3$， $c_1=1$，根据 $a_1+a_2=0$， $b_1=b_2$， $c_1+c_2=0$，求出 $a_2$， $b_2$， $c_2$就能确定这个函数的旋转函数．

请思考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数 $y=x^2-4x+3$的旋转函数．

（2）若函数 $y=5x^2+(m-1)x+n$与 $y=-5x^2-\mathit{nx}-3$互为旋转函数，求 ${(m+n)}^{2020}$的值．

（3）已知函数 $y=2(x-1)(x+3)$的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点，与 $y$轴交于点 $C$，点 $A$、 $B$、 $C$关于原点的对称点分别是 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$，试求证：经过点 $A_1$、 $B_1$、 $C_1$的二次函数与 $y=2(x-1)(x+3)$互为“旋转函数”．

如图，抛物线过点 $A(0,1)$和 $C$，顶点为 $D$，直线 $\mathit{AC}$与抛物线的对称轴 $\mathit{BD}$的交点为 $B(\sqrt{3}$， $0)$，平行于 $y$轴的直线 $\mathit{EF}$与抛物线交于点 $E$，与直线 $\mathit{AC}$交于点 $F$，点 $F$的横坐标为 $\frac{4\sqrt{3}}{3}$，四边形 $\mathit{BDEF}$为平行四边形．

（1）求点 $F$的坐标及抛物线的解析式；

（2）若点 $P$为抛物线上的动点，且在直线 $\mathit{AC}$上方，当 $\mathit{\Delta PAB}$面积最大时，求点 $P$的坐标及 $\mathit{\Delta PAB}$面积的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上取一点 $Q$，同时在抛物线上取一点 $R$，使以 $\mathit{AC}$为一边且以 $A$， $C$， $Q$， $R$为顶点的四边形为平行四边形，求点 $Q$和点 $R$的坐标．

已知函数 $y_1=a{x}^2+\mathit{bx}$， $y_2=\mathit{ax}+b(\mathit{ab}\ne 0)$．在同一平面直角坐标系中．

（1）若函数 $y_1$的图象过点 $(-1,0)$，函数 $y_2$的图象过点 $(1,2)$，求 $a$， $b$的值．

（2）若函数 $y_2$的图象经过 $y_1$的顶点．

①求证： $2a+b=0$；

②当 $1<x<\frac{3}{2}$时，比较 $y_1$， $y_2$的大小．

如图，已知二次函数的图象与 $x$轴交于 $A$、 $B$两点， $D$为顶点，其中点 $B$的坐标为 $(5,0)$，点 $D$的坐标为 $(1,3)$．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）点 $E$是线段 $\mathit{BD}$上的一点，过点 $E$作 $x$轴的垂线，垂足为 $F$，且 $\mathit{ED}=\mathit{EF}$，求点 $E$的坐标．

（3）试问在该二次函数图象上是否存在点 $G$，使得 $\mathit{\Delta ADG}$的面积是 $\mathit{\Delta BDG}$的面积的 $\frac{3}{5}$？若存在，求出点 $G$的坐标；若不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中，点 $O$为原点，平行于 $x$轴的直线与抛物线 $L:y=a{x}^2$相交于 $A$， $B$两点（点 $B$在第一象限），点 $D$在 $\mathit{AB}$的延长线上．

（1）已知 $a=1$，点 $B$的纵坐标为2．

①如图1，向右平移抛物线 $L$使该抛物线过点 $B$，与 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $C$，求 $\mathit{AC}$的长．

②如图2，若 $\mathit{BD}=\frac{1}{2}\mathit{AB}$，过点 $B$， $D$的抛物线 $L_2$，其顶点 $M$在 $x$轴上，求该抛物线的函数表达式．

（2）如图3，若 $\mathit{BD}=\mathit{AB}$，过 $O$， $B$， $D$三点的抛物线 $L_3$，顶点为 $P$，对应函数的二次项系数为 $a_3$，过点 $P$作 $\mathit{PE}//x$轴，交抛物线 $L$于 $E$， $F$两点，求 $\frac{a_3}{a}$的值，并直接写出 $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{EF}}$的值．

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y=x^2+\mathit{bx}+c$与直线 $\mathit{AB}$相交于 $A$， $B$两点，其中 $A(-3,-4)$， $B(0,-1)$．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点 $P$为直线 $\mathit{AB}$下方抛物线上的任意一点，连接 $\mathit{PA}$， $\mathit{PB}$，求 $\mathit{\Delta PAB}$面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线 $y=a_1{x}^2+b_{1}x+c_1(a_1\ne 0)$，平移后的抛物线与原抛物线相交于点 $C$，点 $D$为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点 $E$，使以点 $B$， $C$， $D$， $E$为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点 $E$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+1$经过 $A(-1,0)$， $B(1,1)$两点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解：

在同一平面直角坐标系中，直线 $l_1:y=k_{1}x+b_1(k_1$， $b_1$为常数，且 $k_1\ne 0)$，直线 $l_2:y=k_{2}x+b_2(k_2$， $b_2$为常数，且 $k_2\ne 0)$，若 $l_1\perp l_2$，则 $k_1·k_2=-1$．

解决问题：

①若直线 $y=3x-1$与直线 $y=\mathit{mx}+2$互相垂直，求 $m$的值；

②抛物线上是否存在点 $P$，使得 $\mathit{\Delta PAB}$是以 $\mathit{AB}$为直角边的直角三角形？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由；

（3） $M$是抛物线上一动点，且在直线 $\mathit{AB}$的上方（不与 $A$， $B$重合），求点 $M$到直线 $\mathit{AB}$的距离的最大值．

如图，已知二次函数的图象过点 $O(0,0)$， $A(8,4)$，与 $x$轴交于另一点 $B$，且对称轴是直线 $x=3$．

（1）求该二次函数的解析式；

（2）若 $M$是 $\mathit{OB}$上的一点，作 $\mathit{MN}//\mathit{AB}$交 $\mathit{OA}$于 $N$，当 $\mathit{\Delta ANM}$面积最大时，求 $M$的坐标；

（3） $P$是 $x$轴上的点，过 $P$作 $\mathit{PQ}\perp x$轴与抛物线交于 $Q$．过 $A$作 $\mathit{AC}\perp x$轴于 $C$，当以 $O$， $P$， $Q$为顶点的三角形与以 $O$， $A$， $C$为顶点的三角形相似时，求 $P$点的坐标．

定义：如图1，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，点 $P$在该抛物线上 $(P$点与 $A$、 $B$两点不重合），如果 $\mathit{\Delta ABP}$的三边满足 $A{P}^2+B{P}^2=A{B}^2$，则称点 $P$为抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a\ne 0)$的勾股点．

（1）直接写出抛物线 $y=-x^2+1$的勾股点的坐标．

（2）如图2，已知抛物线 $C:y=a{x}^2+\mathit{bx}(a\ne 0)$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点，点 $P(1,\sqrt{3})$是抛物线 $C$的勾股点，求抛物线 $C$的函数表达式．

（3）在（2）的条件下，点 $Q$在抛物线 $C$上，求满足条件 $S_{\mathit{\Delta ABQ}}=S_{\mathit{\Delta ABP}}$的 $Q$点（异于点 $P)$的坐标．

已知抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a$， $b$， $c$是常数， $a\ne 0)$的自变量 $x$与函数值 $y$的部分对应值如下表：

$x$	$\dots$	$-2$	$-1$	0	1	2	$\dots$
$y$	$\dots$	$m$	0	$-3$	$n$	$-3$	$\dots$

（1）根据以上信息，可知抛物线开口向　 　，对称轴为　　；

（2）求抛物线的表达式及 $m$， $n$的值；

（3）请在图1中画出所求的抛物线．设点 $P$为抛物线上的动点， $\mathit{OP}$的中点为 $P^{\text{'}}$，描出相应的点 $P^{\text{'}}$，再把相应的点 $P^{\text{'}}$用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？

（4）设直线 $y=m(m>-2)$与抛物线及（3）中的点 $P^{\text{'}}$所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为 $A_1$， $A_2$， $A_3$， $A_4$，请根据图象直接写出线段 $A_1{A}_2$， $A_3{A}_4$之间的数量关系　　．