初中数学二次函数的应用解答题

某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的 $60\%$．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量 $y$（件 $)$与销售单价 $x$（元 $)$满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式．

（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？

某游乐场的圆形喷水池中心 $O$ 有一雕塑 $\mathit{OA}$ ，从 $A$ 点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为 $x$ 轴，点 $O$ 为原点建立直角坐标系，点 $A$ 在 $y$ 轴上， $x$ 轴上的点 $C$ ， $D$ 为水柱的落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 $y=-\frac{1}{6}{(x-5)}^2+6$ ．

（1）求雕塑高 $\mathit{OA}$ ．

（2）求落水点 $C$ ， $D$ 之间的距离．

（3）若需要在 $\mathit{OD}$ 上的点 $E$ 处竖立雕塑 $\mathit{EF}$ ， $\mathit{OE}=10m$ ， $\mathit{EF}=1.8m$ ， $\mathit{EF}\perp \mathit{OD}$ ．问：顶部 $F$ 是否会碰到水柱？请通过计算说明．

某服装超市购进单价为30元的童装若干件，物价部门规定其销售单价不低于每件30元，不高于每件60元．销售一段时间后发现：当销售单价为60元时，平均每月销售量为80件，而当销售单价每降低10元时，平均每月能多售出20件．同时，在销售过程中，每月还要支付其他费用450元．设销售单价为 $x$元，平均月销售量为 $y$件．

（1）求出 $y$与 $x$的函数关系式，并写出自变量 $x$的取值范围．

（2）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月可获利1800元？

（3）当销售单价为多少元时，销售这种童装每月获得利润最大？最大利润是多少？

网络销售是一种重要的销售方式．某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品．其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克10元．公司在试销售期间，调查发现，每天销售量 $y\left(\mathit{kg}\right)$与销售单价 $x$（元 $)$满足如图所示的函数关系（其中 $10<x⩽30)$．

（1）直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式及自变量的取值范围．

（2）若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元，则销售单价 $x$应定为多少元？

（3）设每天销售该特产的利润为 $W$元，若 $14<x⩽30$，求：销售单价 $x$为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨 $\frac{1}{3}$ ．据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4000元．

（1）该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金多少元？

（2）经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其它因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？

某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入．已知某种土特产每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价 $x$（元 $)$与该土特产的日销售量 $y$（袋 $)$之间的关系如表：

$x$（元 $)$	15	20	30	$\dots$
$y$（袋 $)$	25	20	10	$\dots$

若日销售量 $y$是销售价 $x$的一次函数，试求：

（1）日销售量 $y$（袋 $)$与销售价 $x$（元 $)$的函数关系式；

（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？

工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）

（1）请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求当长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？

（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍（长大于宽），并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？

某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价 $y$（元 $)$与一次性批发量 $x$（件 $\left)\right(x$为正整数）之间满足如图所示的函数关系．

（1）直接写出 $y$与 $x$之间所满足的函数关系式，并写出自变量 $x$的取值范围；

（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？

把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为 $t$（秒 $)$时该足球距离地面的高度 $h$（米 $)$适用公式 $h=20t-5t^2(0⩽t⩽4)$．

（1）当 $t=3$时，求足球距离地面的高度；

（2）当足球距离地面的高度为10米时，求 $t$；

（3）若存在实数 $t_1$， $t_2(t_1\ne t_2)$当 $t=t_1$或 $t_2$时，足球距离地面的高度都为 $m$（米 $)$，求 $m$的取值范围．

某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量 $y$（件 $)$与销售单价 $x$（元 $)$之间的关系如图所示．

（1）根据图象直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式．

（2）设这种商品月利润为 $W$（元 $)$，求 $W$与 $x$之间的函数关系式．

（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？

某商场销售一种商品的进价为每件30元，销售过程中发现月销售量 $y$（件 $)$与销售单价 $x$（元 $)$之间的关系如图所示．

（1）根据图象直接写出 $y$与 $x$之间的函数关系式．

（2）设这种商品月利润为 $W$（元 $)$，求 $W$与 $x$之间的函数关系式．

（3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？

对于三个数 $a$， $b$， $c$，用 $M\{a$， $b$， $c\}$表示这三个数的中位数，用 $\mathit{max}\{a$， $b$， $c\}$表示这三个数中最大数，例如： $M\{-2$， $-1$， $0\}=-1$， $\mathit{max}\{-2$， $-1$， $0\}=0$， $\mathit{max}\{-2$， $-1$， $a\}=\left\{\begin{array}{c}a(a⩾-1)\\ -1(a<-1)\end{array}\right.$

解决问题：

（1）填空： $M\{\sin 45°$， $\cos 60°$， $\tan 60°\}=$　　，如果 $\mathit{max}\{3$， $5-3x$， $2x-6\}=3$，则 $x$的取值范围为　　；

（2）如果 $2·M\{2$， $x+2$， $x+4\}=\mathit{max}\{2$， $x+2$， $x+4\}$，求 $x$的值；

（3）如果 $M\{9$， $x^2$， $3x-2\}=\mathit{max}\{9$， $x^2$， $3x-2\}$，求 $x$的值．

某商场销售 $A$， $B$两款书包，已知 $A$， $B$两款书包的进货价格分别为每个30元，50元，商场用3600元的资金购进 $A$， $B$两款书包共100个．

（1）求 $A$， $B$两款书包分别购进多少个．

（2）市场调查发现， $B$款书包每天的销售量 $y$（个 $)$与销售单价 $x$（元 $)$有如下关系： $y=-x+90(60⩽x⩽90)$．设 $B$款书包每天的销售利润为 $w$元，当 $B$款书包的销售单价为多少元时，商场每天 $B$款书包的销售利润最大？最大利润是多少元？

铁岭市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 $y$（千克）与每千克降价 $x$（元 $\left)\right(0<x<20)$之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

（1）求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？

（3）该干果每千克降价多少元时，商贸公司获利最大？最大利润是多少元？

传统的端午节即将来临，某企业接到一批粽子生产任务，约定这批粽子的出厂价为每只4元，按要求在20天内完成．为了按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李明第 $x$天生产的粽子数量为 $y$只， $y$与 $x$满足如下关系：

$y=\left\{\begin{array}{c}34x(0⩽x⩽6)\\ 20x+80(6<x⩽20)\end{array}\right.$

（1）李明第几天生产的粽子数量为280只？

（2）如图，设第 $x$天生产的每只粽子的成本是 $p$元， $p$与 $x$之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第 $x$天创造的利润为 $w$元，求 $w$与 $x$之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润 $=$出厂价 $-$成本）