初中数学等腰三角形的性质解答题

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形， $G$是对角线 $\mathit{BD}$的中点．连接 $\mathit{GC}$并延长至 $F$，使 $\mathit{CF}=\mathit{GC}$，以 $\mathit{DC}$， $\mathit{CF}$为邻边作菱形 $\mathit{DCFE}$，连接 $\mathit{CE}$．

（1）判断四边形 $\mathit{CEDG}$的形状，并证明你的结论．

（2）连接 $\mathit{DF}$，若 $\mathit{BC}=\sqrt{3}$，求 $\mathit{DF}$的长．

如图，把 $\mathit{\Delta ABC}$沿 $\mathit{BC}$翻折得 $\mathit{\Delta DBC}$．

（1）连接 $\mathit{AD}$，则 $\mathit{BC}$与 $\mathit{AD}$的位置关系是　　．

（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形 $\mathit{ABDC}$是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由．

问题背景：如图1，等腰 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $\angle \mathit{BAC}=120°$，作 $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，则 $D$为 $\mathit{BC}$的中点， $\angle \mathit{BAD}=\frac{1}{2}\angle \mathit{BAC}=60°$，于是 $\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AB}}=\frac{2\mathit{BD}}{\mathit{AB}}=\sqrt{3}$；

迁移应用：如图2， $\mathit{\Delta ABC}$和 $\mathit{\Delta ADE}$都是等腰三角形， $\angle \mathit{BAC}=\angle \mathit{DAE}=120°$， $D$， $E$， $C$三点在同一条直线上，连接 $\mathit{BD}$．

①求证： $\mathit{\Delta ADB}\cong \mathit{\Delta AEC}$；

②请直接写出线段 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{CD}$之间的等量关系式；

拓展延伸：如图3，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=120°$，在 $\angle \mathit{ABC}$内作射线 $\mathit{BM}$，作点 $C$关于 $\mathit{BM}$的对称点 $E$，连接 $\mathit{AE}$并延长交 $\mathit{BM}$于点 $F$，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{CF}$．

①证明 $\mathit{\Delta CEF}$是等边三角形；

②若 $\mathit{AE}=5$， $\mathit{CE}=2$，求 $\mathit{BF}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$ ，以 $\mathit{BC}$ 为直径的半圆 $O$ 交 $\mathit{AB}$ 于点 $D$ ，过点 $D$ 作半圆 $O$ 的切线，交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{ACB}=2\angle \mathit{ADE}$ ；

（2）若 $\mathit{DE}=3$ ， $\mathit{AE}=\sqrt{3}$ ，求 $\widehat{\mathit{CD}}$ 的长．

已知：如图， $\angle \mathit{ABC}$，射线 $\mathit{BC}$上一点 $D$．

求作：等腰 $\mathit{\Delta PBD}$，使线段 $\mathit{BD}$为等腰 $\mathit{\Delta PBD}$的底边，点 $P$在 $\angle \mathit{ABC}$内部，且点 $P$到 $\angle \mathit{ABC}$两边的距离相等．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以点 $B$为圆心， $\mathit{BC}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AB}$于点 $D$；以点 $A$为圆心， $\mathit{AD}$长为半径画弧，交线段 $\mathit{AC}$于点 $E$，连接 $\mathit{CD}$．

（1）若 $\angle A=28°$，求 $\angle \mathit{ACD}$的度数．

（2）设 $\mathit{BC}=a$， $\mathit{AC}=b$．

①线段 $\mathit{AD}$的长是方程 $x^2+2\mathit{ax}-b^2=0$的一个根吗？说明理由．

②若 $\mathit{AD}=\mathit{EC}$，求 $\frac{a}{b}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$是 $\mathit{BC}$边长一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AB}$，垂足为点 $E$，点 $O$在线段 $\mathit{ED}$的延长线上，且 $\odot O$经过 $C$， $D$两点．

（1）判断直线 $\mathit{AC}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\odot O$的半径为2， $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$的长为 $\frac{10}{9}\pi$，请求出 $\angle A$的度数．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $P$ 在 $\mathit{BC}$ 上．

（1）求作： $\mathit{\Delta PCD}$ ，使点 $D$ 在 $\mathit{AC}$ 上，且 $\mathit{\Delta PCD}\backsim \mathit{\Delta ABP}$ ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）的条件下，若 $\angle \mathit{APC}=2\angle \mathit{ABC}$ ．求证： $\mathit{PD}//\mathit{AB}$ ．

如图， $\mathit{AE}//\mathit{BF}$， $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{BAE}$，且交 $\mathit{BF}$于点 $C$， $\mathit{BD}$平分 $\angle \mathit{ABF}$，且交 $\mathit{AE}$于点 $D$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，连接 $\mathit{CD}$

（1）求 $\angle \mathit{AOD}$的度数；

（2）求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形．

已知 $\mathit{\Delta ABC}$， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$， $D$为直线 $\mathit{BC}$上一点， $E$为直线 $\mathit{AC}$上一点， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$，设 $\angle \mathit{BAD}=\alpha$， $\angle \mathit{CDE}=\beta$．

（1）如图，若点 $D$在线段 $\mathit{BC}$上，点 $E$在线段 $\mathit{AC}$上．

①如果 $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\angle \mathit{ADE}=70°$，那么 $\alpha =$　　 $°$， $\beta =$　　 $°$．

②求 $\alpha$， $\beta$之间的关系式．

（2）是否存在不同于以上②中的 $\alpha$， $\beta$之间的关系式？若存在，求出这个关系式（求出一个即可）；若不存在，说明理由．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 为平行四边形，连接 $\mathit{AC}$ ，且 $\mathit{AC}=2\mathit{AB}$ ．请用尺规完成基本作图：作出 $\angle \mathit{BAC}$ 的角平分线与 $\mathit{BC}$ 交于点 $E$ ．连接 $\mathit{BD}$ 交 $\mathit{AE}$ 于点 $F$ ，交 $\mathit{AC}$ 于点 $O$ ，猜想线段 $\mathit{BF}$ 和线段 $\mathit{DF}$ 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\angle A=40°$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{BD}=\mathit{BC}=\mathit{CE}$ ，连结 $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BE}$ ．

（1）若 $\angle \mathit{ABC}=80°$ ，求 $\angle \mathit{BDC}$ ， $\angle \mathit{ABE}$ 的度数；

（2）写出 $\angle \mathit{BEC}$ 与 $\angle \mathit{BDC}$ 之间的关系，并说明理由．

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}＝\mathit{AC}$，点D，E分别是AC和AB的中点．求证： $\mathit{BD}＝\mathit{CE}$．

如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，顶点 $A$， $B$都在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(x>0)$的图象上，直线 $\mathit{AC}\perp x$轴，垂足为 $D$，连结 $\mathit{OA}$， $\mathit{OC}$，并延长 $\mathit{OC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，当 $\mathit{AB}=2\mathit{OA}$时，点 $E$恰为 $\mathit{AB}$的中点，若 $\angle \mathit{AOD}=45°$， $\mathit{OA}=2\sqrt{2}$．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）求 $\angle \mathit{EOD}$的度数．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $D$、 $E$分别是线段 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AD}$的中点，过点 $A$作 $\mathit{BC}$的平行线交 $\mathit{BE}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{CF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BDE}\cong \mathit{\Delta FAE}$；

（2）求证：四边形 $\mathit{ADCF}$为矩形．