初中数学菱形的判定试题

已知，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $E$是对角线 $\mathit{AC}$上一点， $\mathit{DE}=\mathit{EC}$，以 $\mathit{AE}$为直径的 $\odot O$与边 $\mathit{CD}$相切于点 $D$． $B$点在 $\odot O$上，连接 $\mathit{OB}$．

（1）求证： $\mathit{DE}=\mathit{OE}$；

（2）若 $\mathit{CD}//\mathit{AB}$，求证：四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$是平行四边形， $\mathit{DE}//\mathit{BF}$，且分别交对角线 $\mathit{AC}$于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{BE}$， $\mathit{DF}$．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{CF}$；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{DE}$，求证：四边形 $\mathit{EBFD}$为菱形．

如图， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的角平分线．

（1）作线段 $\mathit{AD}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$，分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$于点 $E$、 $F$；（用直尺和圆规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法． $)$

（2）连接 $\mathit{DE}$、 $\mathit{DF}$，四边形 $\mathit{AEDF}$是　    　形．（直接写出答案）

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AD}$， $\mathit{AD}//\mathit{BC}$．

（1）在图中，用尺规作线段 $\mathit{BD}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$，分别交 $\mathit{BD}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $F$．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）连接 $\mathit{DF}$，证明四边形 $\mathit{ABFD}$为菱形．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$的垂直平分线 $\mathit{EF}$分别交 $\mathit{AD}$、 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $E$、 $O$、 $F$，连接 $\mathit{CE}$和 $\mathit{AF}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AECF}$为菱形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，求菱形 $\mathit{AECF}$的周长．

已知 $\angle \mathit{MPN}$的两边分别与 $\odot O$相切于点 $A$， $B$， $\odot O$的半径为 $r$．

（1）如图1，点 $C$在点 $A$， $B$之间的优弧上， $\angle \mathit{MPN}=80°$，求 $\angle \mathit{ACB}$的度数；

（2）如图2，点 $C$在圆上运动，当 $\mathit{PC}$最大时，要使四边形 $\mathit{APBC}$为菱形， $\angle \mathit{APB}$的度数应为多少？请说明理由；

（3）若 $\mathit{PC}$交 $\odot O$于点 $D$，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含 $r$的式子表示）．

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中，添加一个条件　　使平行四边形 $\mathit{ABCD}$是菱形．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\angle \mathit{AOB}=60°$ ，对角线 $\mathit{AC}$ 所在的直线绕点 $O$ 顺时针旋转角 $\alpha (0°<\alpha <120°)$ ，所得的直线 $l$ 分别交 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 于点 $E$ ， $F$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta AOE}\cong \mathit{\Delta COF}$ ；

（2）当旋转角 $\alpha$ 为多少度时，四边形 $\mathit{AFCE}$ 为菱形？试说明理由．

如图，在边长为1的正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是边 $\mathit{CD}$ 的中点，点 $P$ 是边 $\mathit{AD}$ 上一点（与点 $A$ 、 $D$ 不重合），射线 $\mathit{PE}$ 与 $\mathit{BC}$ 的延长线交于点 $Q$ ．

（1）求证： $\mathit{\Delta PDE}\cong \mathit{\Delta QCE}$ ；

（2）过点 $E$ 作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$ 交 $\mathit{PB}$ 于点 $F$ ，连接 $\mathit{AF}$ ，当 $\mathit{PB}=\mathit{PQ}$ 时，

①求证：四边形 $\mathit{AFEP}$ 是平行四边形；

②请判断四边形 $\mathit{AFEP}$ 是否为菱形，并说明理由．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$是 $\mathit{AB}$上一点， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$于点 $E$， $F$是 $\mathit{AD}$的中点， $\mathit{FG}\perp \mathit{BC}$于点 $G$，与 $\mathit{DE}$交于点 $H$，若 $\mathit{FG}=\mathit{AF}$， $\mathit{AG}$平分 $\angle \mathit{CAB}$，连接 $\mathit{GE}$， $\mathit{GD}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta ECG}\cong \mathit{\Delta GHD}$；

（2）小亮同学经过探究发现： $\mathit{AD}=\mathit{AC}+\mathit{EC}$．请你帮助小亮同学证明这一结论．

（3）若 $\angle B=30°$，判定四边形 $\mathit{AEGF}$是否为菱形，并说明理由．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$ 中， $\angle \mathit{BAC}=90°$ ， $O$ 是 $\mathit{AB}$ 边上的一点，以 $\mathit{OA}$ 为半径的 $\odot O$ 与边 $\mathit{BC}$ 相切于点 $E$ ．

（1）若 $\mathit{AC}=5$ ， $\mathit{BC}=13$ ，求 $\odot O$ 的半径；

（2）过点 $E$ 作弦 $\mathit{EF}\perp \mathit{AB}$ 于 $M$ ，连接 $\mathit{AF}$ ，若 $\angle F=2\angle B$ ，求证：四边形 $\mathit{ACEF}$ 是菱形．

将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是 $($ 　　 $)$

A．

等腰三角形

B．

直角三角形

C．

矩形

D．

菱形

如图， $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是 $\mathit{\Delta ABC}$ 各边的中点，连接 $\mathit{DE}$ 、 $\mathit{EF}$ 、 $\mathit{AE}$ ．

（1）求证：四边形 $\mathit{ADEF}$ 为平行四边形；

（2）加上条件 　　后，能使得四边形 $\mathit{ADEF}$ 为菱形，请从① $\angle \mathit{BAC}=90°$ ；② $\mathit{AE}$ 平分 $\angle \mathit{BAC}$ ；③ $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ 这三个条件中选择1个条件填空（写序号），并加以证明．

如图，点 $O$为矩形 $\mathit{ABCD}$的对称中心，点 $E$从点 $A$出发沿 $\mathit{AB}$向点 $B$运动，移动到点 $B$停止，延长 $\mathit{EO}$交 $\mathit{CD}$于点 $F$，则四边形 $\mathit{AECF}$形状的变化依次为 $($　　 $)$

A．平行四边形 $\to$正方形 $\to$平行四边形 $\to$矩形

B．平行四边形 $\to$菱形 $\to$平行四边形 $\to$矩形

C．平行四边形 $\to$正方形 $\to$菱形 $\to$矩形

D．平行四边形 $\to$菱形 $\to$正方形 $\to$矩形

如图，在 $▱\mathit{ABCD}$中， $E$， $F$分别是 $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$上的点，且 $\mathit{DE}=\mathit{BF}$， $\mathit{AC}\perp \mathit{EF}$．求证：四边形 $\mathit{AECF}$是菱形．