初中数学矩形的性质试题

问题提出：如何将边长为 $n(n⩾5$，且 $n$为整数）的正方形分割为一些 $1x5$或 $2\times 3$的矩形（ $\mathit{axb}$的矩形指边长分别为 $a$， $b$的矩形）？

问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题．

探究一：

如图①，当 $n=5$时，可将正方形分割为五个 $1\times 5$的矩形．

如图②，当 $n=6$时，可将正方形分割为六个 $2\times 3$的矩形．

如图③，当 $n=7$时，可将正方形分割为五个 $1\times 5$的矩形和四个 $2\times 3$的矩形

如图④，当 $n=8$时，可将正方形分割为八个 $1\times 5$的矩形和四个 $2\times 3$的矩形

如图⑤，当 $n=9$时，可将正方形分割为九个 $1\times 5$的矩形和六个 $2\times 3$的矩形

探究二：

当 $n=10$，11，12，13，14时，分别将正方形按下列方式分割：

所以，当 $n=10$，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个 $5\times 5$的正方形、一个 $(n-5)\times (n-5)$的正方形和两个 $5\times (n-5)$的矩形．显然， $5\times 5$的正方形和 $5\times (n-5)$的矩形均可分割为 $1\times 5$的矩形，而 $(n-5)\times (n-5)$的正方形是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形．

探究三：

当 $n=15$，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割：

请按照上面的方法，分别画出边长为18，19的正方形分割示意图．

所以，当 $n=15$，16，17，18，19时，均可将正方形分割为一个 $10\times 10$的正方形、一个 $(n-10)\times (n-10)$的正方形和两个 $10\times (n-10)$的矩形．显然， $10\times 10$的正方形和 $10\times (n-10)$的矩形均可分割为 $1x5$的矩形，而 $(n-10)\times (n-10)$的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形．

问题解决：如何将边长为 $n(n⩾5$，且 $n$为整数）的正方形分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明．

实际应用：如何将边长为61的正方形分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可）

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=3$ ， $\mathit{BC}=4$ ，动点 $P$ 沿折线 $\mathit{BCD}$ 从点 $B$ 开始运动到点 $D$ ，设点 $P$ 运动的路程为 $x$ ， $\mathit{\Delta ADP}$ 的面积为 $y$ ，那么 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系的图象大致是 $($ 　　 $)$

A．		B．
C．		D．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $O$，延长 $\mathit{CB}$至点 $E$，使 $\mathit{BE}=\mathit{BC}$，连按 $\mathit{AE}$．

（1）求证：四边形 $\mathit{ADBE}$是平行四边形；

（2）若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{OB}=\frac{5}{2}$，求四边形 $\mathit{ADBE}$的周长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=2$， $E$是 $\mathit{AB}$的中点，直线 $l$平行于直线 $\mathit{EC}$，且直线 $l$与直线 $\mathit{EC}$之间的距离为2，点 $F$在矩形 $\mathit{ABCD}$边上，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠，使点 $A$恰好落在直线 $l$上，则 $\mathit{DF}$的长为　　．

如图，将一矩形纸片 $\mathit{ABCD}$折叠，使两个顶点 $A$， $C$重合，折痕为 $\mathit{FG}$．若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=8$，则 $\mathit{\Delta ABF}$的面积为　      　．

如图，四边形 $\mathit{OABC}$为矩形，点 $A$， $C$分别在 $x$轴和 $y$轴上，连接 $\mathit{AC}$，点 $B$的坐标为 $(4,3)$， $\angle \mathit{CAO}$的平分线与 $y$轴相交于点 $D$，则点 $D$的坐标为　　．

如图，把一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{EF}$折叠后，点 $A$落在 $\mathit{CD}$边上的点 $A\text{'}$处，点 $B$落在点 $B\text{'}$处，若 $\angle 2=40°$，则图中 $\angle 1$的度数为 $($　　 $)$

A． $115°$B． $120°$C． $130°$D． $140°$

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=8\mathit{cm}$， $E$为边 $\mathit{CD}$上一点．将 $\mathit{\Delta BCE}$沿 $\mathit{BE}$所在的直线折叠，点 $C$恰好落在 $\mathit{AD}$边上的点 $F$处，过点 $F$作 $\mathit{FM}\perp \mathit{BE}$，垂足为点 $M$，取 $\mathit{AF}$的中点 $N$，连接 $\mathit{MN}$，则 $\mathit{MN}=$　　 $\mathit{cm}$．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}=2$， $\mathit{AB}=3$，过点 $A$， $C$作相距为2的平行线段 $\mathit{AE}$， $\mathit{CF}$，分别交 $\mathit{CD}$， $\mathit{AB}$于点 $E$， $F$，则 $\mathit{DE}$的长是 $($　　 $)$

A． $\sqrt{5}$B． $\frac{13}{6}$C．1D． $\frac{5}{6}$

已知四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形，延长 $\mathit{CB}$到 $E$，使 $\mathit{CE}=\mathit{CA}$，连接 $\mathit{AE}$， $F$为 $\mathit{AE}$的中点，连接 $\mathit{BF}$， $\mathit{DF}$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，下列结论：

（1） $\mathit{BF}\perp \mathit{DF}$；

（2） $S_{\mathit{\Delta BDG}}=S_{\mathit{\Delta ADF}}$；

（3） $E{F}^2=\mathit{FG}·\mathit{FD}$；

（4） $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{BG}}=\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AC}}$

其中正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

已知四边形 $\mathit{ABCD}$为矩形，延长 $\mathit{CB}$到 $E$，使 $\mathit{CE}=\mathit{CA}$，连接 $\mathit{AE}$， $F$为 $\mathit{AE}$的中点，连接 $\mathit{BF}$， $\mathit{DF}$， $\mathit{DF}$交 $\mathit{AB}$于点 $G$，下列结论：

（1） $\mathit{BF}\perp \mathit{DF}$；

（2） $S_{\mathit{\Delta BDG}}=S_{\mathit{\Delta ADF}}$；

（3） $E{F}^2=\mathit{FG}·\mathit{FD}$；

（4） $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{BG}}=\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AC}}$

其中正确的个数是 $($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{CB}=2$，点 $E$为线段 $\mathit{AB}$上的动点，将 $\mathit{\Delta CBE}$沿 $\mathit{CE}$折叠，使点 $B$落在矩形内点 $F$处，下列结论正确的是　　（写出所有正确结论的序号）

①当 $E$为线段 $\mathit{AB}$中点时， $\mathit{AF}//\mathit{CE}$；

②当 $E$为线段 $\mathit{AB}$中点时， $\mathit{AF}=\frac{9}{5}$；

③当 $A$、 $F$、 $C$三点共线时， $\mathit{AE}=\frac{13-2\sqrt{13}}{3}$；

④当 $A$、 $F$、 $C$三点共线时， $\mathit{\Delta CEF}\cong \mathit{\Delta AEF}$．

在 $▱\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$， $\mathit{BC}=4$，当 $▱\mathit{ABCD}$的面积最大时，下列结论正确的有 $($　　 $)$

① $\mathit{AC}=5$；② $\angle A+\angle C=180°$；③ $\mathit{AC}\perp \mathit{BD}$；④ $\mathit{AC}=\mathit{BD}$．

A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④

如图，折叠矩形 $\mathit{ABCD}$的一边 $\mathit{AD}$，使点 $D$落在 $\mathit{BC}$边的点 $F$处，已知折痕 $\mathit{AE}=5\sqrt{5}\mathit{cm}$，且 $\tan \angle \mathit{EFC}=\frac{3}{4}$，那么矩形 $\mathit{ABCD}$的周长为　    　 $\mathit{cm}$．

如图，在矩形纸片 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=3$，点 $E$在边 $\mathit{BC}$上，将 $\mathit{\Delta ABE}$沿直线 $\mathit{AE}$折叠，点 $B$恰好落在对角线 $\mathit{AC}$上的点 $F$处，若 $\angle \mathit{EAC}=\angle \mathit{ECA}$，则 $\mathit{AC}$的长是 $($　　 $)$

A． $3\sqrt{3}$B．4C．5D．6