初中数学矩形的性质试题

如图，在平面直角坐标系中，矩形的边长是的根，连接，，并过点作，垂足为，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿方向匀速运动到点为止；点沿线段以每秒个单位长度的速度由点向点匀速运动，到点为止，点与点同时出发，设运动时间为秒．

（1）线段　　；

（2）连接和，求的面积与运动时间的函数关系式；

（3）在整个运动过程中，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出点的坐标．

如图1，在矩形中，，，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点．

（1）求线段的长；

（2）如图2，，分别是线段，上的动点（与端点不重合），且，设，．

①写出关于的函数解析式，并求出的最小值；

②是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 中，点 $P$ 为对角线 $\mathit{AC}$ 所在直线上的一个动点，连接 $\mathit{PD}$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PE}\perp \mathit{PD}$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $E$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{MN}\perp \mathit{AB}$ ，交直线 $\mathit{CD}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{AB}$ 于点 $N$ ． $\mathit{AB}=4\sqrt{3}$ ， $\mathit{AD}=4$ ．

（1）如图1，①当点 $P$ 在线段 $\mathit{AC}$ 上时， $\angle \mathit{PDM}$ 和 $\angle \mathit{EPN}$ 的数量关系为： $\angle \mathit{PDM}$    $\angle \mathit{EPN}$ ；

② $\frac{\mathit{DP}}{\mathit{PE}}$ 的值是 　　；

（2）如图2，当点 $P$ 在 $\mathit{CA}$ 延长线上时，（1）中的结论②是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由；

（3）如图3，以线段 $\mathit{PD}$ ， $\mathit{PE}$ 为邻边作矩形 $\mathit{PEFD}$ ．设 $\mathit{PM}$ 的长为 $x$ ，矩形 $\mathit{PEFD}$ 的面积为 $y$ ．请直接写出 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式及 $y$ 的最小值．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+\frac{3}{2}$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$ ，且点 $A$ 的坐标为 $(3,0)$ ，过点 $A$ 作垂直于 $x$ 轴的直线 $l$ ． $P$ 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $\mathit{PQ}\perp l$ 于点 $Q$ ， $M$ 是直线 $l$ 上的一点，其纵坐标为 $-m+\frac{3}{2}$ ．以 $\mathit{PQ}$ ， $\mathit{QM}$ 为边作矩形 $\mathit{PQMN}$ ．

（1）求 $b$ 的值．

（2）当点 $Q$ 与点 $M$ 重合时，求 $m$ 的值．

（3）当矩形 $\mathit{PQMN}$ 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求 $m$ 的值．

（4）当抛物线在矩形 $\mathit{PQMN}$ 内的部分所对应的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时，直接写出 $m$ 的取值范围．

如图，矩形中，，，点，分别在边，上，点，分别在边，上，，交于点，记．

（1）若的值为1，当时，求的值．

（2）若的值为，求的最大值和最小值．

（3）若的值为3，当点是矩形的顶点，，时，求的值．

如图，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为（ $4\sqrt{3},4$），点D在CB上，且CD：DB＝2：1，OB交AD于点E．平行于x轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上平移，到C点时停止；l与线段OB，AD分别相交与M，N两点，以MN为边作等边△MNP（点P在线段MN的下方）．设直线l的运动时间为t（秒），△MNP与△OAB重叠部分的面积为S（平分单位）．

（1）直接写出点E的坐标；

（2）求S与t的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使得 $S=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ABD}}$成立？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

如图1，矩形 $\mathit{DEFG}$中， $\mathit{DG}=2$， $\mathit{DE}=3$， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CA}=\mathit{CB}=2$， $\mathit{FG}$， $\mathit{BC}$的延长线相交于点 $O$，且 $\mathit{FG}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{OG}=2$， $\mathit{OC}=4$．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $O$逆时针旋转 $\alpha (0°⩽\alpha <180°)$得到△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$．

（1）当 $\alpha =30°$时，求点 $C\text{'}$到直线 $\mathit{OF}$的距离．

（2）在图1中，取 $A\text{'}B\text{'}$的中点 $P$，连结 $C\text{'}P$，如图2．

①当 $C\text{'}P$与矩形 $\mathit{DEFG}$的一条边平行时，求点 $C\text{'}$到直线 $\mathit{DE}$的距离．

②当线段 $A\text{'}P$与矩形 $\mathit{DEFG}$的边有且只有一个交点时，求该交点到直线 $\mathit{DG}$的距离的取值范围．

如图1，在△ ABC中，∠ ACB＝90°，∠ B＝30°， AC＝4， D是 AB的中点， EF是△ ACD的中位线，矩形 EFGH的顶点都在△ ACD的边上．

（1）求线段 EF、 FG的长；

（2）如图2，将矩形 EFGH沿 AB向右平移，点 F落在 BC上时停止移动，设矩形移动的距离为 x，矩形与△ CBD重叠部分的面积为 S，求出 S关于 x的函数解析式；

（3）如图3，矩形 EFGH平移停止后，再绕点 G按顺时针方向旋转，当点 H落在 CD边上时停止旋转，此时矩形记作 E ₁ F ₁ GH ₁，设旋转角为α，求cosα的值．

问题提出

（1）如图①，已知直线及外一点，试在直线上确定、两点，使，并画出这个．

问题探究

（2）如图②，是边长为28的正方形的对称中心，是边上的中点，连接．试在正方形的边上确定点，使线段和将正方形分割成面积之比为的两部分．求点到点的距离．

问题解决

（3）如图③，有一个矩形花园，，．根据设计要求，点、在对角线上，且，并在四边形区域内种植一种红色花卉，在矩形内其他区域均种植一种黄色花卉．已知种植这种红色花卉每平方米需210元，种植这种黄色花卉每平方米需180元．试求按设计要求，完成这两种花卉的种植至少需费用多少元？（结果保留整数．参考数据：，

如图1，在矩形中，为边上一点，．将沿翻折得到△，的延长线交边于点，过点作交于点．

（1）求证：；

（2）请判断四边形的形状，并说明理由；

（3）如图2，连接，分别交，于点，．若，求的值．

如图，已知矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=m$，动点 $P$从点 $D$出发，在边 $\mathit{DA}$上以每秒1个单位的速度向点 $A$运动，连接 $\mathit{CP}$，作点 $D$关于直线 $\mathit{PC}$的对称点 $E$，设点 $P$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）若 $m=6$，求当 $P$， $E$， $B$三点在同一直线上时对应的 $t$的值．

（2）已知 $m$满足：在动点 $P$从点 $D$到点 $A$的整个运动过程中，有且只有一个时刻 $t$，使点 $E$到直线 $\mathit{BC}$的距离等于3，求所有这样的 $m$的取值范围．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，点 $O$为坐标原点，点 $B$的坐标为 $(4,3)$，点 $A$、 $C$在坐标轴上，点 $P$在 $\mathit{BC}$边上，直线 $l_1:y=2x+3$，直线 $l_2:y=2x-3$．

（1）分别求直线 $l_1$与 $x$轴，直线 $l_2$与 $\mathit{AB}$的交点坐标；

（2）已知点 $M$在第一象限，且是直线 $l_2$上的点，若 $\mathit{\Delta APM}$是等腰直角三角形，求点 $M$的坐标；

（3）我们把直线 $l_1$和直线 $l_2$上的点所组成的图形为图形 $F$．已知矩形 $\mathit{ANPQ}$的顶点 $N$在图形 $F$上， $Q$是坐标平面内的点，且 $N$点的横坐标为 $x$，请直接写出 $x$的取值范围（不用说明理由）．

在直角坐标系中，过原点 $O$及点 $A(8,0)$， $C(0,6)$作矩形 $\mathit{OABC}$、连接 $\mathit{OB}$，点 $D$为 $\mathit{OB}$的中点，点 $E$是线段 $\mathit{AB}$上的动点，连接 $\mathit{DE}$，作 $\mathit{DF}\perp \mathit{DE}$，交 $\mathit{OA}$于点 $F$，连接 $\mathit{EF}$．已知点 $E$从 $A$点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段 $\mathit{AB}$上移动，设移动时间为 $t$秒．

（1）如图1，当 $t=3$时，求 $\mathit{DF}$的长．

（2）如图2，当点 $E$在线段 $\mathit{AB}$上移动的过程中， $\angle \mathit{DEF}$的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出 $\tan \angle \mathit{DEF}$的值．

（3）连接 $\mathit{AD}$，当 $\mathit{AD}$将 $\mathit{\Delta DEF}$分成的两部分的面积之比为 $1:2$时，求相应的 $t$的值．

问题提出

（1）如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}>\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}$的平分线交 $\mathit{AB}$于点 $D$．过点 $D$分别作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$．垂足分别为 $E$， $F$，则图1中与线段 $\mathit{CE}$相等的线段是　      　．

问题探究

（2）如图2， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $\mathit{AB}=8$． $P$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$上一点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{PB}}=2\stackrel{̂}{\mathit{PA}}$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$． $\angle \mathit{APB}$的平分线交 $\mathit{AB}$于点 $C$，过点 $C$分别作 $\mathit{CE}\perp \mathit{AP}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BP}$，垂足分别为 $E$， $F$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

问题解决

（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=70m$，点 $C$在 $\odot O$上，且 $\mathit{CA}=\mathit{CB}$． $P$为 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$并延长，交 $\odot O$于点 $D$．连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$．过点 $P$分别作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{PF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$， $F$．按设计要求，四边形 $\mathit{PEDF}$内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设 $\mathit{AP}$的长为 $x\left(m\right)$，阴影部分的面积为 $y\left(m^2\right)$．

①求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当 $\mathit{AP}$的长度为 $30m$时，整体布局比较合理．试求当 $\mathit{AP}=30m$时．室内活动区（四边形 $\mathit{PEDF})$的面积．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{OABC}$的 $\mathit{OA}$边在 $x$轴的正半轴上， $\mathit{OC}$边在 $y$轴的正半轴上，点 $B$的坐标为 $(4,2)$，反比例函数 $y=\frac{2}{x}(x>0)$的图象与 $\mathit{BC}$交于点 $D$，与对角线 $\mathit{OB}$交于点 $E$，与 $\mathit{AB}$交于点 $F$，连接 $\mathit{OD}$， $\mathit{DE}$， $\mathit{EF}$， $\mathit{DF}$．下列结论：

① $\sin \angle \mathit{DOC}=\cos \angle \mathit{BOC}$；② $\mathit{OE}=\mathit{BE}$；③ $S_{\mathit{\Delta DOE}}=S_{\mathit{\Delta BEF}}$；④ $\mathit{OD}:\mathit{DF}=2:3$．

其中正确的结论有 $($　　 $)$

A．4个B．3个C．2个D．1个