初中数学矩形的性质试题

问题提出：如何将边长为 $n(n⩾5$，且 $n$为整数）的正方形分割为一些 $1x5$或 $2\times 3$的矩形（ $\mathit{axb}$的矩形指边长分别为 $a$， $b$的矩形）？

问题探究：我们先从简单的问题开始研究解决，再把复杂问题转化为已解决的问题．

探究一：

如图①，当 $n=5$时，可将正方形分割为五个 $1\times 5$的矩形．

如图②，当 $n=6$时，可将正方形分割为六个 $2\times 3$的矩形．

如图③，当 $n=7$时，可将正方形分割为五个 $1\times 5$的矩形和四个 $2\times 3$的矩形

如图④，当 $n=8$时，可将正方形分割为八个 $1\times 5$的矩形和四个 $2\times 3$的矩形

如图⑤，当 $n=9$时，可将正方形分割为九个 $1\times 5$的矩形和六个 $2\times 3$的矩形

探究二：

当 $n=10$，11，12，13，14时，分别将正方形按下列方式分割：

所以，当 $n=10$，11，12，13，14时，均可将正方形分割为一个 $5\times 5$的正方形、一个 $(n-5)\times (n-5)$的正方形和两个 $5\times (n-5)$的矩形．显然， $5\times 5$的正方形和 $5\times (n-5)$的矩形均可分割为 $1\times 5$的矩形，而 $(n-5)\times (n-5)$的正方形是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形．

探究三：

当 $n=15$，16，17，18，19时，分别将正方形按下列方式分割：

请按照上面的方法，分别画出边长为18，19的正方形分割示意图．

所以，当 $n=15$，16，17，18，19时，均可将正方形分割为一个 $10\times 10$的正方形、一个 $(n-10)\times (n-10)$的正方形和两个 $10\times (n-10)$的矩形．显然， $10\times 10$的正方形和 $10\times (n-10)$的矩形均可分割为 $1x5$的矩形，而 $(n-10)\times (n-10)$的正方形又是边长分别为5，6，7，8，9的正方形，用探究一的方法可分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形．

问题解决：如何将边长为 $n(n⩾5$，且 $n$为整数）的正方形分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形？请按照上面的方法画出分割示意图，并加以说明．

实际应用：如何将边长为61的正方形分割为一些 $1\times 5$或 $2\times 3$的矩形？（只需按照探究三的方法画出分割示意图即可）

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=2$ ， $\mathit{BC}=3$ ，动点 $P$ 沿折线 $\mathit{BCD}$ 从点 $B$ 开始运动到点 $D$ ．设运动的路程为 $x$ ， $\mathit{\Delta ADP}$ 的面积为 $y$ ，那么 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系的图象大致是 $($ 　　 $)$

A．		B．
C．		D．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{BC}=2$， $E$是 $\mathit{AB}$的中点，直线 $l$平行于直线 $\mathit{EC}$，且直线 $l$与直线 $\mathit{EC}$之间的距离为2，点 $F$在矩形 $\mathit{ABCD}$边上，将矩形 $\mathit{ABCD}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠，使点 $A$恰好落在直线 $l$上，则 $\mathit{DF}$的长为　　．

如图，矩形中，，，为中点，为上一点，将沿折叠后，点恰好落到上的点处，则折痕的长是　　．

如图，把一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$沿 $\mathit{EF}$折叠后，点 $A$落在 $\mathit{CD}$边上的点 $A\text{'}$处，点 $B$落在点 $B\text{'}$处，若 $\angle 2=40°$，则图中 $\angle 1$的度数为 $($　　 $)$

A． $115°$B． $120°$C． $130°$D． $140°$

如图，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点，分别交，于点、．若四边形的面积为12，则的值为　　．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4$， $\mathit{AD}=3$，矩形内部有一动点 $P$满足 $S_{\mathit{\Delta PAB}}=\frac{1}{3}{S}_{\mathit{矩形ABCD}}$，则点 $P$到 $A$、 $B$两点的距离之和 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$的最小值为　　．

如图， 矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}\mathit{=}\sqrt{\mathit{3}}$， $\mathit{BC}\mathit{=}\sqrt{\mathit{6}}$，点 $\mathit{E}$在对角线 $\mathit{BD}$上， 且 $\mathit{BE}\mathit{=}\mathit{1}\mathit{.}\mathit{8}$，连接 $\mathit{AE}$并延长交 $\mathit{DC}$于点 $\mathit{F}$，则 $\frac{\mathit{CF}}{\mathit{CD}}\mathit{=}$　      　．

如图，矩形 $\mathit{OABC}$中， $A(1,0)$， $C(0,2)$，双曲线 $y=\frac{k}{x}(0<k<2)$的图象分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{CB}$于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{OE}$， $\mathit{OF}$， $\mathit{EF}$， $S_{\mathit{\Delta OEF}}=2S_{\mathit{\Delta BEF}}$，则 $k$值为 $($　　 $)$

A． $\frac{2}{3}$B．1C． $\frac{4}{3}$D． $\sqrt{2}$

如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，点恰落在边上的点处；点在上，将沿折叠，点恰落在线段上的点处，有下列结论：

①；②；③；④．

其中正确的是　　．（把所有正确结论的序号都选上）

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{AD}=3$ ，动点 $P$ 满足 $S_{\mathit{\Delta PAB}}=\frac{1}{3}{S}_{\mathit{矩形}\mathit{ABCD}}$ ，则点 $P$ 到 $A$ 、 $B$ 两点距离之和 $\mathit{PA}+\mathit{PB}$ 的最小值为 $($ 　　 $)$

A．

$\sqrt{29}$

B．

$\sqrt{34}$

C．

$5\sqrt{2}$

D．

$\sqrt{41}$

综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形中，，是延长线上一点，且，连接，交于点，以为一边在的左下方作正方形，连接．试判断线段与的位置关系．

探究展示：勤奋小组发现，垂直平分，并展示了如下的证明方法：

证明：，．

，．

四边形是矩形，．

．（依据

，．．

即是的边上的中线，

又，．（依据

垂直平分．

反思交流：

（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

②试判断图1中的点是否在线段的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；

（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接，以为一边在的左下方作正方形，发现点在线段的垂直平分线上，请你给出证明；

探索发现：

（3）如图3，连接，以为一边在的右上方作正方形，可以发现点，点都在线段的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形和正方形的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．

有一块形状如图的五边形余料，，，，，，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在上，并使所截矩形材料的面积尽可能大．

（1）若所截矩形材料的一条边是或，求矩形材料的面积．

（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=6$ ， $\mathit{BC}=8$ ，过对角线交点 $O$ 作 $\mathit{EF}\perp \mathit{AC}$ 交 $\mathit{AD}$ 于点 $E$ ，交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ，则 $\mathit{DE}$ 的长是 $($ 　　 $)$

A．

1

B．

$\frac{7}{4}$

C．

2

D．

$\frac{12}{5}$

已知：如图，矩形 $\mathit{ABCD}$ 的对角线 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BD}$ 相交于点 $O$ ， $\angle \mathit{BOC}=120°$ ， $\mathit{AB}=2$ ．

（1）求矩形对角线的长；

（2）过 $O$ 作 $\mathit{OE}\perp \mathit{AD}$ 于点 $E$ ，连结 $\mathit{BE}$ ．记 $\angle \mathit{ABE}=\alpha$ ，求 $\tan \alpha$ 的值．