初中数学矩形的性质试题

[性质探究]

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$．作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$于点 $H$，分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $F$， $G$．

（1）判断 $\mathit{\Delta AFG}$的形状并说明理由．

（2）求证： $\mathit{BF}=2\mathit{OG}$．

[迁移应用]

（3）记 $\mathit{\Delta DGO}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta DBF}$的面积为 $S_2$，当 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{3}$时，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}$的值．

[拓展延伸]

（4）若 $\mathit{DF}$交射线 $\mathit{AB}$于点 $F$，[性质探究]中的其余条件不变，连结 $\mathit{EF}$，当 $\mathit{\Delta BEF}$的面积为矩形 $\mathit{ABCD}$面积的 $\frac{1}{10}$时，请直接写出 $\tan \angle \mathit{BAE}$的值．

如图1，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，矩形 $\mathit{EFGH}$的一边 $\mathit{EF}$在 $\mathit{AB}$上，顶点 $G$、 $H$分别在 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$上， $\mathit{CD}$是边 $\mathit{AB}$上的高， $\mathit{CD}$交 $\mathit{GH}$于点 $I$．若 $\mathit{CI}=4$， $\mathit{HI}=3$， $\mathit{AD}=\frac{9}{2}$．矩形 $\mathit{DFGI}$恰好为正方形．

（1）求正方形 $\mathit{DFGI}$的边长；

（2）如图2，延长 $\mathit{AB}$至 $P$．使得 $\mathit{AC}=\mathit{CP}$，将矩形 $\mathit{EFGH}$沿 $\mathit{BP}$的方向向右平移，当点 $G$刚好落在 $\mathit{CP}$上时，试判断移动后的矩形与 $\mathit{\Delta CBP}$重叠部分的形状是三角形还是四边形，为什么？

（3）如图3，连接 $\mathit{DG}$，将正方形 $\mathit{DFGI}$绕点 $D$顺时针旋转一定的角度得到正方形 $\mathit{DF}\text{'}G\text{'}I\text{'}$，正方形 $\mathit{DF}\text{'}G\text{'}I\text{'}$分别与线段 $\mathit{DG}$、 $\mathit{DB}$相交于点 $M$、 $N$，求 $\mathit{\Delta MNG}\text{'}$的周长．

已知：如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，四边形 $\mathit{OABC}$是矩形， $\mathit{OA}=4$， $\mathit{OC}=3$，动点 $P$从点 $C$出发，沿射线 $\mathit{CB}$方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点 $Q$从点 $O$出发，沿 $x$轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点 $P$、点 $Q$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）当 $t=1s$时，求经过点 $O$， $P$， $A$三点的抛物线的解析式；

（2）当 $t=2s$时，求 $\tan \angle \mathit{QPA}$的值；

（3）当线段 $\mathit{PQ}$与线段 $\mathit{AB}$相交于点 $M$，且 $\mathit{BM}=2\mathit{AM}$时，求 $t\left(s\right)$的值；

（4）连接 $\mathit{CQ}$，当点 $P$， $Q$在运动过程中，记 $\mathit{\Delta CQP}$与矩形 $\mathit{OABC}$重叠部分的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线相交于点 $O$， $\odot M$为 $\mathit{\Delta BCD}$的内切圆，切点分别为 $N$， $P$， $Q$， $\mathit{DN}=4$， $\mathit{BN}=6$．

（1）求 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$；

（2）点 $H$从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AD}$向点 $D$以每秒3个单位长度的速度运动，当点 $H$运动到点 $D$时停止，过点 $H$作 $\mathit{HI}//\mathit{BD}$交 $\mathit{AC}$于点 $I$，设运动时间为 $t$秒．

①将 $\mathit{\Delta AHI}$沿 $\mathit{AC}$翻折得△ $\mathit{AH}\text{'}I$，是否存在时刻 $t$，使点 $H\text{'}$恰好落在边 $\mathit{BC}$上？若存在，求 $t$的值；若不存在，请说明理由；

②若点 $F$为线段 $\mathit{CD}$上的动点，当 $\mathit{\Delta OFH}$为正三角形时，求 $t$的值．

如图， 在平面直角坐标系中， 把矩形 $\mathit{OABC}$沿对角线 $\mathit{AC}$所在直线折叠， 点 $B$落在点 $D$处， $\mathit{DC}$与 $y$轴相交于点 $E$，矩形 $\mathit{OABC}$的边 $\mathit{OC}$， $\mathit{OA}$的长是关于 $x$的一元二次方程 $x^2-12x+32=0$的两个根， 且 $\mathit{OA}>\mathit{OC}$．

（1） 求线段 $\mathit{OA}$， $\mathit{OC}$的长；

（2） 求证： $\mathit{\Delta ADE}\cong \mathit{\Delta COE}$，并求出线段 $\mathit{OE}$的长；

（3） 直接写出点 $D$的坐标；

（4） 若 $F$是直线 $\mathit{AC}$上一个动点， 在坐标平面内是否存在点 $P$，使以点 $E$， $C$， $P$， $F$为顶点的四边形是菱形？若存在， 请直接写出 $P$点的坐标；若不存在， 请说明理由 ．

如图1，已知矩形 $\mathit{AOCB}$， $\mathit{AB}=6\mathit{cm}$， $\mathit{BC}=16\mathit{cm}$，动点 $P$从点 $A$出发，以 $3\mathit{cm}/s$的速度向点 $O$运动，直到点 $O$为止；动点 $Q$同时从点 $C$出发，以 $2\mathit{cm}/s$的速度向点 $B$运动，与点 $P$同时结束运动．

（1）点 $P$到达终点 $O$的运动时间是　　 $s$，此时点 $Q$的运动距离是　　 $\mathit{cm}$；

（2）当运动时间为 $2s$时， $P$、 $Q$两点的距离为　　 $\mathit{cm}$；

（3）请你计算出发多久时，点 $P$和点 $Q$之间的距离是 $10\mathit{cm}$；

（4）如图2，以点 $O$为坐标原点， $\mathit{OC}$所在直线为 $x$轴， $\mathit{OA}$所在直线为 $y$轴， $1\mathit{cm}$长为单位长度建立平面直角坐标系，连接 $\mathit{AC}$，与 $\mathit{PQ}$相交于点 $D$，若双曲线 $y=\frac{k}{x}$过点 $D$，问 $k$的值是否会变化？若会变化，说明理由；若不会变化，请求出 $k$的值．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=15$ ， $\mathit{BC}=20$ ，把边 $\mathit{AB}$ 沿对角线 $\mathit{BD}$ 平移，点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ 分别对应点 $A$ ， $B$ 给出下列结论：

①顺次连接点 $A\text{'}$ ， $B\text{'}$ ， $C$ ， $D$ 的图形是平行四边形；

②点 $C$ 到它关于直线 $\mathit{AA}\text{'}$ 的对称点的距离为48；

③ $A\text{'}C-B\text{'}C$ 的最大值为15；

④ $A\text{'}C+B\text{'}C$ 的最小值为 $9\sqrt{17}$ ．

其中正确结论的个数是 $($ 　　 $)$

A．

1个

B．

2个

C．

3个

D．

4个

如图1，已知四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形，点 $E$在 $\mathit{BA}$的延长线上， $\mathit{AE}=\mathit{AD}$． $\mathit{EC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $G$，与 $\mathit{AD}$相交于点 $F$， $\mathit{AF}=\mathit{AB}$．

（1）求证： $\mathit{BD}\perp \mathit{EC}$；

（2）若 $\mathit{AB}=1$，求 $\mathit{AE}$的长；

（3）如图2，连接 $\mathit{AG}$，求证： $\mathit{EG}-\mathit{DG}=\sqrt{2}\mathit{AG}$．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BC}=3$，动点 $P$从 $B$出发，以每秒1个单位的速度，沿射线 $\mathit{BC}$方向移动，作 $\mathit{\Delta PAB}$关于直线 $\mathit{PA}$的对称 $\mathit{\Delta PAB}\text{'}$，设点 $P$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$．

①如图2，当点 $B\text{'}$落在 $\mathit{AC}$上时，显然 $\mathit{\Delta PAB}\text{'}$是直角三角形，求此时 $t$的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得 $\mathit{\Delta PCB}\text{'}$是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 $t$的值？若不存在，请说明理由．

（2）当 $P$点不与 $C$点重合时，若直线 $\mathit{PB}\text{'}$与直线 $\mathit{CD}$相交于点 $M$，且当 $t<3$时存在某一时刻有结论 $\angle \mathit{PAM}=45°$成立，试探究：对于 $t>3$的任意时刻，结论“ $\angle \mathit{PAM}=45°$”是否总是成立？请说明理由．

如图，矩形 $\mathit{AOCB}$的顶点 $A$、 $C$分别位于 $x$轴和 $y$轴的正半轴上，线段 $\mathit{OA}$、 $\mathit{OC}$的长度满足方程 $|x-15|+\sqrt{y-13}=0(\mathit{OA}>\mathit{OC})$，直线 $y=\mathit{kx}+b$分别与 $x$轴、 $y$轴交于 $M$、 $N$两点，将 $\mathit{\Delta BCN}$沿直线 $\mathit{BN}$折叠，点 $C$恰好落在直线 $\mathit{MN}$上的点 $D$处，且 $\tan \angle \mathit{CBD}=\frac{3}{4}$

（1）求点 $B$的坐标；

（2）求直线 $\mathit{BN}$的解析式；

（3）将直线 $\mathit{BN}$以每秒1个单位长度的速度沿 $y$轴向下平移，求直线 $\mathit{BN}$扫过矩形 $\mathit{AOCB}$的面积 $S$关于运动的时间 $t(0<t⩽13)$的函数关系式．

如图是一张矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ ，点 $M$ 是对角线 $\mathit{AC}$ 的中点，点 $E$ 在 $\mathit{BC}$ 边上，把 $\mathit{\Delta DCE}$ 沿直线 $\mathit{DE}$ 折叠，使点 $C$ 落在对角线 $\mathit{AC}$ 上的点 $F$ 处，连接 $\mathit{DF}$ ， $\mathit{EF}$ ．若 $\mathit{MF}=\mathit{AB}$ ，则 $\angle \mathit{DAF}=$ 　　度．

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{AD}=8$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 上，且 $\mathit{AE}=3$ ，按以下步骤操作：

第一步，沿直线 $\mathit{EF}$ 翻折，点 $A$ 的对应点 $A\text{'}$ 恰好落在对角线 $\mathit{AC}$ 上，点 $B$ 的对应点为 $B\text{'}$ ，则线段 $\mathit{BF}$ 的长为 　　；

第二步，分别在 $\mathit{EF}$ ， $A\text{'}B\text{'}$ 上取点 $M$ ， $N$ ，沿直线 $\mathit{MN}$ 继续翻折，使点 $F$ 与点 $E$ 重合，则线段 $\mathit{MN}$ 的长为 　　．

在平面直角坐标系中，矩形 $\mathit{ABCD}$的顶点坐标为 $A(0,0)$， $B(6,0)$， $C(6,8)$， $D(0,8)$， $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$交于点 $E$．

（1）如图（1），双曲线 $y=\frac{k_1}{x}$过点 $E$，直接写出点 $E$的坐标和双曲线的解析式；

（2）如图（2），双曲线 $y=\frac{k_2}{x}$与 $\mathit{BC}$， $\mathit{CD}$分别交于点 $M$， $N$，点 $C$关于 $\mathit{MN}$的对称点 $C\text{'}$在 $y$轴上．求证 $\mathit{\Delta CMN}~\mathit{\Delta CBD}$，并求点 $C\text{'}$的坐标；

（3）如图（3），将矩形 $\mathit{ABCD}$向右平移 $m(m>0)$个单位长度，使过点 $E$的双曲线 $y=\frac{k_3}{x}$与 $\mathit{AD}$交于点 $P$．当 $\mathit{\Delta AEP}$为等腰三角形时，求 $m$的值．

如图，矩形纸片 $\mathit{ABCD}$ ， $\mathit{AB}=4$ ， $\mathit{BC}=8$ ，点 $M$ 、 $N$ 分别在矩形的边 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{BC}$ 上，将矩形纸片沿直线 $\mathit{MN}$ 折叠，使点 $C$ 落在矩形的边 $\mathit{AD}$ 上，记为点 $P$ ，点 $D$ 落在 $G$ 处，连接 $\mathit{PC}$ ，交 $\mathit{MN}$ 于点 $Q$ ，连接 $\mathit{CM}$ ．下列结论：①四边形 $\mathit{CMPN}$ 是菱形；②点 $P$ 与点 $A$ 重合时， $\mathit{MN}=5$ ；③ $\mathit{\Delta PQM}$ 的面积 $S$ 的取值范围是 $4⩽S⩽5$ ．其中所有正确结论的序号是 $($ 　　 $)$

A．

①②③

B．

①②

C．

①③

D．

②③

问题提出

（1）如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}>\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}$的平分线交 $\mathit{AB}$于点 $D$．过点 $D$分别作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$．垂足分别为 $E$， $F$，则图1中与线段 $\mathit{CE}$相等的线段是　      　．

问题探究

（2）如图2， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $\mathit{AB}=8$． $P$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$上一点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{PB}}=2\stackrel{̂}{\mathit{PA}}$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$． $\angle \mathit{APB}$的平分线交 $\mathit{AB}$于点 $C$，过点 $C$分别作 $\mathit{CE}\perp \mathit{AP}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BP}$，垂足分别为 $E$， $F$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

问题解决

（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=70m$，点 $C$在 $\odot O$上，且 $\mathit{CA}=\mathit{CB}$． $P$为 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$并延长，交 $\odot O$于点 $D$．连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$．过点 $P$分别作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{PF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$， $F$．按设计要求，四边形 $\mathit{PEDF}$内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设 $\mathit{AP}$的长为 $x\left(m\right)$，阴影部分的面积为 $y\left(m^2\right)$．

①求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当 $\mathit{AP}$的长度为 $30m$时，整体布局比较合理．试求当 $\mathit{AP}=30m$时．室内活动区（四边形 $\mathit{PEDF})$的面积．