初中数学圆心角、弧、弦的关系解答题

如图，在圆 $O$ 中，弦 $\mathit{AB}$ 等于弦 $\mathit{CD}$ ，且相交于点 $P$ ，其中 $E$ 、 $F$ 为 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{CD}$ 中点．

（1）证明： $\mathit{OP}\perp \mathit{EF}$ ；

（2）连接 $\mathit{AF}$ 、 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{CE}$ ，若 $\mathit{AF}//\mathit{OP}$ ，证明：四边形 $\mathit{AFEC}$ 为矩形．

如图，在菱形 $\mathit{ABCD}$ 中，对角线 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{BD}$ 相交于点 $M$ ， $\odot O$ 经过点 $B$ ， $C$ ，交对角线 $\mathit{BD}$ 于点 $E$ ，且 $\stackrel{̂}{\mathit{CE}}=\stackrel{̂}{\mathit{BE}}$ ，连接 $\mathit{OE}$ 交 $\mathit{BC}$ 于点 $F$ ．

（1）试判断 $\mathit{AB}$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{BD}=\frac{32}{5}\sqrt{5}$ ， $\tan \angle \mathit{CBD}=\frac{1}{2}$ ，求 $\odot O$ 的半径．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AC}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\mathit{AC}$ 与 $\mathit{BD}$ 交于点 $E$ ， $\mathit{PB}$ 切 $\odot O$ 于点 $B$ ．

（1）求证： $\angle \mathit{PBA}=\angle \mathit{OBC}$ ；

（2）若 $\angle \mathit{PBA}=20°$ ， $\angle \mathit{ACD}=40°$ ，求证： $\mathit{\Delta OAB}\backsim \mathit{\Delta CDE}$ ．

如图，点 $A$ 在以 $\mathit{BC}$ 为直径的 $\odot O$ 上， $\angle \mathit{ABC}$ 的角平分线与 $\mathit{AC}$ 相交于点 $E$ ，与 $\odot O$ 相交于点 $D$ ，延长 $\mathit{CA}$ 至 $M$ ，连结 $\mathit{BM}$ ，使得 $\mathit{MB}=\mathit{ME}$ ，过点 $A$ 作 $\mathit{BM}$ 的平行线与 $\mathit{CD}$ 的延长线交于点 $N$ ．

（1）求证： $\mathit{BM}$ 与 $\odot O$ 相切；

（2）试给出 $\mathit{AC}$ 、 $\mathit{AD}$ 、 $\mathit{CN}$ 之间的数量关系，并予以证明．

如图，已知 $\mathit{AB}$为 $\odot O$直径， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的切线，连接 $\mathit{BC}$交 $\odot O$于点 $F$，取 $\stackrel{̂}{\mathit{BF}}$的中点 $D$，连接 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EH}\perp \mathit{AB}$于 $H$．

（1）求证： $\mathit{\Delta HBE}\backsim \mathit{\Delta ABC}$；

（2）若 $\mathit{CF}=4$， $\mathit{BF}=5$，求 $\mathit{AC}$和 $\mathit{EH}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$是 $\odot O$上一点， $\mathit{OD}\perp \mathit{BC}$于点 $D$，过点 $C$作 $\odot O$的切线，交 $\mathit{OD}$的延长线于点 $E$，连结 $\mathit{BE}$．

（1）求证： $\mathit{BE}$是 $\odot O$的切线；

（2）设 $\mathit{OE}$交 $\odot O$于点 $F$，若 $\mathit{DF}=2$， $\mathit{BC}=4\sqrt{3}$，求线段 $\mathit{EF}$的长；

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $D$为 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点．过点 $D$作直线 $\mathit{AC}$的垂线，垂足为 $E$，连接 $\mathit{OD}$．

（1）求证： $\angle A=\angle \mathit{DOB}$；

（2） $\mathit{DE}$与 $\odot O$有怎样的位置关系？请说明理由．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $D$是弧 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{BC}$与 $\mathit{AD}$、 $\mathit{OD}$分别交于点 $E$、 $F$．

（1）求证： $\mathit{DO}//\mathit{AC}$；

（2）求证： $\mathit{DE}\cdot \mathit{DA}=D{C}^2$；

（3）若 $\tan \angle \mathit{CAD}=\frac{1}{2}$，求 $\sin \angle \mathit{CDA}$的值．

如图， $\odot O$的弦 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$的延长线相交于点 $P$，且 $\mathit{AB}=\mathit{CD}$．求证： $\mathit{PA}=\mathit{PC}$．

如图，在 $\odot O$中， $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}=2\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$， $\mathit{AD}\perp \mathit{OC}$于 $D$．求证： $\mathit{AB}=2\mathit{AD}$．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\angle \mathit{CBG}=\angle A$， $\mathit{CD}$为直径， $\mathit{OC}$与 $\mathit{AB}$相交于点 $E$，过点 $E$作 $\mathit{EF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $F$，延长 $\mathit{CD}$交 $\mathit{GB}$的延长线于点 $P$，连接 $\mathit{BD}$．

（1）求证： $\mathit{PG}$与 $\odot O$相切；

（2）若 $\frac{\mathit{EF}}{\mathit{AC}}=\frac{5}{8}$，求 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{OC}}$的值；

（3）在（2）的条件下，若 $\odot O$的半径为8， $\mathit{PD}=\mathit{OD}$，求 $\mathit{OE}$的长．

如图，已知 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=12$，弦 $\mathit{AC}=10$， $D$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的中点，过点 $D$作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$，交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）求 $\mathit{AE}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{BC}$是 $\odot O$的直径，点 $A$是 $\odot O$上的定点， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\odot O$于点 $D$， $\mathit{DG}//\mathit{BC}$，交 $\mathit{AC}$延长线于点 $G$．

（1）求证： $\mathit{DG}$与 $\odot O$相切；

（2）作 $\mathit{BE}\perp \mathit{AD}$于点 $E$， $\mathit{CF}\perp \mathit{AD}$于点 $F$，试判断线段 $\mathit{BE}$、 $\mathit{CF}$、 $\mathit{EF}$三者之间的数量关系，并证明你的结论（不用尺规作图的方法补全图形）．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，且点 $E$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}$的中点，连接 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BE}$于点 $F$，连接 $\mathit{EA}$， $\mathit{ED}$．

（1）求证： $\mathit{AC}=\mathit{AF}$；

（2）若 $\mathit{EF}=2$， $\mathit{BF}=8$，求 $\mathit{AF}$的长．

如图，点 $E$在以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$上，点 $C$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BE}}$的中点，过点 $C$作 $\mathit{CD}$垂直于 $\mathit{AE}$，交 $\mathit{AE}$的延长线于点 $D$，连接 $\mathit{BE}$交 $\mathit{AC}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\cos \angle \mathit{CAD}=\frac{4}{5}$， $\mathit{BF}=15$，求 $\mathit{AC}$的长．