初中数学圆周角定理解答题

如图，直线 $\mathit{AB}$经过 $\odot O$上的点 $C$，直线 $\mathit{BO}$与 $\odot O$交于点 $F$和点 $D$， $\mathit{OA}$与 $\odot O$交于点 $E$，与 $\mathit{DC}$交于点 $G$， $\mathit{OA}=\mathit{OB}$， $\mathit{CA}=\mathit{CB}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{FC}//\mathit{OA}$， $\mathit{CD}=6$，求图中阴影部分面积．

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$， $D$是 $\odot O$上两点， $C$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的中点，过点 $C$作 $\mathit{AD}$的垂线，垂足是 $E$．连接 $\mathit{AC}$交 $\mathit{BD}$于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\frac{\mathit{DC}}{\mathit{DF}}=\sqrt{6}$，求 $\cos \angle \mathit{ABD}$的值．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\angle \mathit{OCB}$的角平分线交 $\odot O$于点 $D$， $F$在直线 $\mathit{AB}$上，且 $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$，垂足为 $E$，连接 $\mathit{AD}$、 $\mathit{BD}$．

（1）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\tan \angle A=\frac{1}{2}$， $\odot O$的半径为3，求 $\mathit{EF}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°$，点 $E$在 $\mathit{BC}$边上，过 $A$， $C$， $E$三点的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$边于另一点 $F$，且 $F$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AE}}$的中点， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的一条直径，连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AB}$边于 $M$点．

（1）求证：四边形 $\mathit{CDMF}$为平行四边形；

（2）当 $\mathit{CD}=\frac{2}{5}\mathit{AB}$时，求 $\sin \angle \mathit{ACF}$的值．

如图， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的切线， $A$、 $B$是切点， $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{OP}$，交 $\odot O$于点 $D$，交 $\mathit{AB}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{BC}//\mathit{OP}$；

（2）若 $E$恰好是 $\mathit{OD}$的中点，且四边形 $\mathit{OAPB}$的面积是 $16\sqrt{3}$，求阴影部分的面积；

（3）若 $\sin \angle \mathit{BAC}=\frac{1}{3}$，且 $\mathit{AD}=2\sqrt{3}$，求切线 $\mathit{PA}$的长．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ABC}=90°$， $O$为 $\mathit{BC}$边上一点，以 $O$为圆心， $\mathit{OB}$长为半径的 $\odot O$与 $\mathit{AC}$边相切于点 $D$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AB}=\mathit{AD}$；

（2）连接 $\mathit{DE}$，若 $\tan \angle \mathit{EDC}=\frac{1}{2}$， $\mathit{DE}=2$，求线段 $\mathit{EC}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相交于点 $D$， $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$，垂足为 $E$．

（1）求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若弦 $\mathit{MN}$垂直于 $\mathit{AB}$，垂足为 $G$， $\frac{\mathit{AG}}{\mathit{AB}}=\frac{1}{4}$， $\mathit{MN}=\sqrt{3}$，求 $\odot O$的半径；

（3）在（2）的条件下，当 $\angle \mathit{BAC}=36°$时，求线段 $\mathit{CE}$的长．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $\mathit{AB}$ 是 $\odot O$ 的直径， $\angle \mathit{CAB}$ 的平分线交 $\mathit{BC}$ 于点 $D$ ，交 $\odot O$ 于点 $E$ ，连接 $\mathit{EB}$ ，作 $\angle \mathit{BEF}=\angle \mathit{CAE}$ ，交 $\mathit{AB}$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）求证： $\mathit{EF}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{BF}=10$ ， $\mathit{EF}=20$ ，求 $\odot O$ 的半径和 $\mathit{AD}$ 的长．

如图，在 $\odot O$中， $\mathit{AC}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的弦，点 $E$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$的中点，过点 $E$作 $\mathit{AB}$的垂线，交 $\mathit{AB}$于点 $M$，交 $\odot O$于点 $N$，分别连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{CN}$．

（1） $\mathit{EM}$与 $\mathit{BE}$的数量关系是 　　；

（2）求证： $\stackrel{̂}{\mathit{EB}}=\stackrel{̂}{\mathit{CN}}$；

（3）若 $\mathit{AM}=\sqrt{3}$， $\mathit{MB}=1$，求阴影部分图形的面积．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $D$是 $\mathit{AB}$上的一点，以 $\mathit{AD}$为直径的 $\odot O$与 $\mathit{BC}$相切于点 $E$，连接 $\mathit{AE}$， $\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$；

（2）若 $\angle B=30°$，求 $\frac{\mathit{CE}}{\mathit{DE}}$的值．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的直径， $F$是 $\mathit{AD}$延长线上一点，连接 $\mathit{CD}$， $\mathit{CF}$，且 $\angle \mathit{DCF}=\angle \mathit{CAD}$．

（1）求证： $\mathit{CF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\cos B=\frac{3}{5}$， $\mathit{AD}=2$，求 $\mathit{FD}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$ 内接于 $\odot O$ ， $D$ 是 $\odot O$ 的直径 $\mathit{AB}$ 的延长线上一点， $\angle \mathit{DCB}=\angle \mathit{OAC}$ ．过圆心 $O$ 作 $\mathit{BC}$ 的平行线交 $\mathit{DC}$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{CD}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{CD}=4$ ， $\mathit{CE}=6$ ，求 $\odot O$ 的半径及 $\tan \angle \mathit{OCB}$ 的值．

如图， $\odot O$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $E$．

（1）求证： $\angle \mathit{BAD}=\angle \mathit{CAD}$；

（2）连接 $\mathit{BO}$并延长，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，交 $\odot O$于点 $G$，连接 $\mathit{GC}$．若 $\odot O$的半径为5， $\mathit{OE}=3$，求 $\mathit{GC}$和 $\mathit{OF}$的长．

如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O经过 $\mathit{Rt}△\mathit{ACD}$的直角边DC上的点F，交AC边于点E，点F是弧EB的中点， $\angle C＝90°$，连接AF．

（1）求证：直线CD是⊙O切线．

（2）若 $\mathit{BD}＝2$， $\mathit{OB}＝4$，求 $\mathit{tan}\angle \mathit{AFC}$的值．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$于点 $D$、 $E$，点 $F$在 $\mathit{AC}$的延长线上，且 $\angle \mathit{BAC}=2\angle \mathit{CBF}$．

（1）求证： $\mathit{BF}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\odot O$的直径为4， $\mathit{CF}=6$，求 $\tan \angle \mathit{CBF}$．