初中数学圆周角定理解答题

如图， $\mathit{AB}$是以 $\mathit{BC}$为直径的半圆 $O$的切线， $D$为半圆上一点， $\mathit{AD}=\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是半圆 $O$的切线；

（2）连接 $\mathit{CD}$，求证： $\angle A=2\angle \mathit{CDE}$；

（3）若 $\angle \mathit{CDE}=27°$， $\mathit{OB}=2$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的长．

如图， $\mathit{AB}$是以 $\mathit{BC}$为直径的半圆 $O$的切线， $D$为半圆上一点， $\mathit{AD}=\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{BC}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是半圆 $O$的切线；

（2）连接 $\mathit{CD}$，求证： $\angle A=2\angle \mathit{CDE}$；

（3）若 $\angle \mathit{CDE}=27°$， $\mathit{OB}=2$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$的长．

如图，已知四边形 $\mathit{ABCD}$内接于圆 $O$，连接 $\mathit{BD}$， $\angle \mathit{BAD}=105°$， $\angle \mathit{DBC}=75°$．

（1）求证： $\mathit{BD}=\mathit{CD}$；

（2）若圆 $O$的半径为3，求 $\stackrel{̂}{\mathit{BC}}$的长．

已知：如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，点 $P$是底边 $\mathit{BC}$上一点且满足 $\mathit{PA}=\mathit{PB}$， $\odot O$是 $\mathit{\Delta PAB}$的外接圆，过点 $P$作 $\mathit{PD}//\mathit{AB}$交 $\mathit{AC}$于点 $D$．

（1）求证： $\mathit{PD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=8$， $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $\odot O$的半径．

如图，过 $\odot O$外一点 $P$作 $\odot O$的切线 $\mathit{PA}$切 $\odot O$于点 $A$，连接 $\mathit{PO}$并延长，与 $\odot O$交于 $C$、 $D$两点， $M$是半圆 $\mathit{CD}$的中点，连接 $\mathit{AM}$交 $\mathit{CD}$于点 $N$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{CM}$．

（1）求证： $C{M}^2=\mathit{MN}\cdot \mathit{MA}$；

（2）若 $\angle P=30°$， $\mathit{PC}=2$，求 $\mathit{CM}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$分别与 $\mathit{BC}$、 $\mathit{AC}$交于点 $D$、 $E$，过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AC}$于点 $F$．

（1）若 $\odot O$的半径为3， $\angle \mathit{CDF}=15°$，求阴影部分的面积；

（2）求证： $\mathit{DF}$是 $\odot O$的切线；

（3）求证： $\angle \mathit{EDF}=\angle \mathit{DAC}$．

如图， $C$是 $\odot O$上一点，点 $P$在直径 $\mathit{AB}$的延长线上， $\odot O$的半径为3， $\mathit{PB}=2$， $\mathit{PC}=4$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线．

（2）求 $\tan \angle \mathit{CAB}$的值．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，作 $\mathit{EG}\perp \mathit{AB}$于 $H$，交 $\mathit{BC}$于 $F$，延长 $\mathit{GE}$交直线 $\mathit{MC}$于 $D$，且 $\angle \mathit{MCA}=\angle B$，求证：

（1） $\mathit{MC}$是 $\odot O$的切线；

（2） $\mathit{\Delta DCF}$是等腰三角形．

如图， $P$是 $\odot O$外的一点， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PB}$是 $\odot O$的两条切线， $A$、 $B$是切点， $\mathit{PO}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，延长 $\mathit{BO}$交 $\odot O$于点 $C$，交 $\mathit{PA}$的延长交于点 $Q$，连接 $\mathit{AC}$．

（1）求证： $\mathit{AC}//\mathit{PO}$；

（2）设 $D$为 $\mathit{PB}$的中点， $\mathit{QD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，若 $\odot O$的半径为3， $\mathit{CQ}=2$，求 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{BE}}$的值．

如图，已知 $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $P$是 $\mathit{BA}$延长线上一点， $\mathit{PC}$切 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{CG}$是 $\odot O$的弦， $\mathit{CG}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $D$．

（1）求证： $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABC}$．

（2）过点 $A$作 $\mathit{AE}//\mathit{PC}$交 $\odot O$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$，连接 $\mathit{BE}$，若 $\cos \angle P=\frac{4}{5}$， $\mathit{CF}=10$，求 $\mathit{BE}$的长．

如图， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的外接圆 $\odot O$的直径，点 $P$在 $\mathit{BC}$延长线上，且满足 $\angle \mathit{PAC}=\angle B$．

（1）求证： $\mathit{PA}$是 $\odot O$的切线；

（2）弦 $\mathit{CE}\perp \mathit{AD}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$，若 $\mathit{AF}·\mathit{AB}=12$，求 $\mathit{AC}$的长．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{BC}$，以 $\mathit{AB}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{BC}$于点 $D$，交 $\mathit{AC}$于点 $F$，过点 $C$作 $\mathit{CE}//\mathit{AB}$，与过点 $A$的切线相交于点 $E$，连接 $\mathit{AD}$．

（1）求证： $\mathit{AD}=\mathit{AE}$；

（2）若 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{AC}=4$，求 $\mathit{AE}$的长．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中，以 $\mathit{BC}$为直径的 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$交 $\mathit{BC}$于点 $E$，交 $\mathit{CD}$于点 $F$．且 $\mathit{CE}=\mathit{CF}$．

（1）求证：直线 $\mathit{CA}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BD}=\frac{4}{3}\mathit{DC}$，求 $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{CF}}$的值．

如图， 在 $\text{Rt}\Delta \text{ACB}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，以 $\mathit{AC}$为直径作 $\odot O$交 $\mathit{AB}$于点 $D$， $E$为 $\mathit{BC}$的中点， 连接 $\mathit{DE}$并延长交 $\mathit{AC}$的延长线于点 $F$．

（1） 求证： $\mathit{DE}$是 $\odot O$的切线；

（2） 若 $\mathit{CF}=2$， $\mathit{DF}=4$，求 $\odot O$直径的长 ．

如图，已知 $\mathit{AB}$是圆 $O$的直径，弦 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，垂足为 $H$，与 $\mathit{AC}$平行的圆 $O$的一条切线交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $M$，交 $\mathit{AB}$的延长线于点 $E$，切点为 $F$，连接 $\mathit{AF}$交 $\mathit{CD}$于点 $N$．

（1）求证： $\mathit{CA}=\mathit{CN}$；

（2）连接 $\mathit{DF}$，若 $\cos \angle \mathit{DFA}=\frac{4}{5}$， $\mathit{AN}=2\sqrt{10}$，求圆 $O$的直径的长度．