初中数学圆周角定理解答题

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$ 中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 与 $\mathit{BC}$ 相交于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $\odot O$ 的切线交 $\mathit{AC}$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$ ；

（2）若 $\odot O$ 的半径为5， $\mathit{BC}=16$ ，求 $\mathit{DE}$ 的长．

如图，点 $C$ 在以 $\mathit{AB}$ 为直径的 $\odot O$ 上，点 $D$ 是半圆 $\mathit{AB}$ 的中点，连接 $\mathit{AC}$ ， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BD}$ ．过点 $D$ 作 $\mathit{DH}//\mathit{AB}$ 交 $\mathit{CB}$ 的延长线于点 $H$ ．

（1）求证：直线 $\mathit{DH}$ 是 $\odot O$ 的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=10$ ， $\mathit{BC}=6$ ，求 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BH}$ 的长．

如图， $C$， $D$为 $\odot O$上两点，且在直径 $\mathit{AB}$两侧，连结 $\mathit{CD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$， $G$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$上一点， $\angle \mathit{ADC}=\angle G$．

（1）求证： $\angle 1=\angle 2$．

（2）点 $C$关于 $\mathit{DG}$的对称点为 $F$，连结 $\mathit{CF}$．当点 $F$落在直径 $\mathit{AB}$上时， $\mathit{CF}=10$， $\tan \angle 1=\frac{2}{5}$，求 $\odot O$的半径．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$，将 $\mathit{\Delta ABC}$沿直线 $\mathit{AB}$翻折得到 $\mathit{\Delta ABD}$，连接 $\mathit{CD}$交 $\mathit{AB}$于点 $M$． $E$是线段 $\mathit{CM}$上的点，连接 $\mathit{BE}$． $F$是 $\mathit{\Delta BDE}$的外接圆与 $\mathit{AD}$的另一个交点，连接 $\mathit{EF}$， $\mathit{BF}$．

（1）求证： $\mathit{\Delta BEF}$是直角三角形；

（2）求证： $\mathit{\Delta BEF}\backsim \mathit{\Delta BCA}$；

（3）当 $\mathit{AB}=6$， $\mathit{BC}=m$时，在线段 $\mathit{CM}$上存在点 $E$，使得 $\mathit{EF}$和 $\mathit{AB}$互相平分，求 $m$的值．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$内接于 $\odot O$， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $\mathit{AB}=10$， $\mathit{AC}=6$，连结 $\mathit{OC}$，弦 $\mathit{AD}$分别交 $\mathit{OC}$， $\mathit{BC}$于点 $E$， $F$，其中点 $E$是 $\mathit{AD}$的中点．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{CBA}$．

（2）求 $\mathit{OE}$的长．

定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1， $\angle E$是 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\angle A$的遥望角，若 $\angle A=\alpha$，请用含 $\alpha$的代数式表示 $\angle E$．

（2）如图2，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}=\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$，四边形 $\mathit{ABCD}$的外角平分线 $\mathit{DF}$交 $\odot O$于点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $E$．求证： $\angle \mathit{BEC}$是 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\angle \mathit{BAC}$的遥望角．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 $\mathit{AE}$， $\mathit{AF}$，若 $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径．

①求 $\angle \mathit{AED}$的度数；

②若 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=5$，求 $\mathit{\Delta DEF}$的面积．

如图，已知 $\mathit{\Delta ABC}$是 $\odot O$的内接三角形， $\mathit{AD}$是 $\odot O$的直径，连结 $\mathit{BD}$， $\mathit{BC}$平分 $\angle \mathit{ABD}$．

（1）求证： $\angle \mathit{CAD}=\angle \mathit{ABC}$；

（2）若 $\mathit{AD}=6$，求 $\stackrel{̂}{\mathit{CD}}$的长．

如图，已知 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$为 $\odot O$的两条直径，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，点 $F$是半径 $\mathit{OC}$的中点，连接 $\mathit{EF}$．

（1）设 $\odot O$的半径为1，若 $\angle \mathit{BAC}=30°$，求线段 $\mathit{EF}$的长．

（2）连接 $\mathit{BF}$， $\mathit{DF}$，设 $\mathit{OB}$与 $\mathit{EF}$交于点 $P$，

①求证： $\mathit{PE}=\mathit{PF}$．

②若 $\mathit{DF}=\mathit{EF}$，求 $\angle \mathit{BAC}$的度数．

如图， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $C$， $D$是半圆 $O$上不同于 $A$， $B$的两点， $\mathit{AD}=\mathit{BC}$， $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $F$． $\mathit{BE}$是半圆 $O$所在圆的切线，与 $\mathit{AC}$的延长线相交于点 $E$．

（1）求证： $\mathit{\Delta CBA}\cong \mathit{\Delta DAB}$；

（2）若 $\mathit{BE}=\mathit{BF}$，求证： $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAB}$．

如图， $\mathit{AB}$与 $\odot O$相切于点 $B$， $\mathit{AO}$交 $\odot O$于点 $C$， $\mathit{AO}$的延长线交 $\odot O$于点 $D$， $E$是 $\stackrel{̂}{\mathit{BCD}}$上不与 $B$， $D$重合的点， $\sin A=\frac{1}{2}$．

（1）求 $\angle \mathit{BED}$的大小；

（2）若 $\odot O$的半径为3，点 $F$在 $\mathit{AB}$的延长线上，且 $\mathit{BF}=3\sqrt{3}$，求证： $\mathit{DF}$与 $\odot O$相切．

在 $\odot O$中，弦 $\mathit{CD}$与直径 $\mathit{AB}$相交于点 $P$， $\angle \mathit{ABC}=63°$．

（Ⅰ）如图①，若 $\angle \mathit{APC}=100°$，求 $\angle \mathit{BAD}$和 $\angle \mathit{CDB}$的大小；

（Ⅱ）如图②，若 $\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$，过点 $D$作 $\odot O$的切线，与 $\mathit{AB}$的延长线相交于点 $E$，求 $\angle E$的大小．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\mathit{AD}\perp \mathit{CE}$，垂足为 $D$， $\mathit{AC}$平分 $\angle \mathit{DAB}$．

（1）求证： $\mathit{CE}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AD}=4$， $\cos \angle \mathit{CAB}=\frac{4}{5}$，求 $\mathit{AB}$的长．

如图所示， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AD}$和 $\mathit{BC}$分别切 $\odot O$于 $A$， $B$两点， $\mathit{CD}$与 $\odot O$有公共点 $E$，且 $\mathit{AD}=\mathit{DE}$．

（1）求证： $\mathit{CD}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{AB}=12$， $\mathit{BC}=4$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，四边形 $\mathit{OABC}$是平行四边形，以点 $O$为圆心， $\mathit{OC}$为半径的 $\odot O$与 $\mathit{AB}$相切于点 $B$，与 $\mathit{AO}$相交于点 $D$， $\mathit{AO}$的延长线交 $\odot O$于点 $E$，连接 $\mathit{EB}$交 $\mathit{OC}$于点 $F$．求 $\angle C$和 $\angle E$的度数．

问题提出

（1）如图1，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}>\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ACB}$的平分线交 $\mathit{AB}$于点 $D$．过点 $D$分别作 $\mathit{DE}\perp \mathit{AC}$， $\mathit{DF}\perp \mathit{BC}$．垂足分别为 $E$， $F$，则图1中与线段 $\mathit{CE}$相等的线段是　      　．

问题探究

（2）如图2， $\mathit{AB}$是半圆 $O$的直径， $\mathit{AB}=8$． $P$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$上一点，且 $\stackrel{̂}{\mathit{PB}}=2\stackrel{̂}{\mathit{PA}}$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BP}$． $\angle \mathit{APB}$的平分线交 $\mathit{AB}$于点 $C$，过点 $C$分别作 $\mathit{CE}\perp \mathit{AP}$， $\mathit{CF}\perp \mathit{BP}$，垂足分别为 $E$， $F$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

问题解决

（3）如图3，是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图．已知 $\odot O$的直径 $\mathit{AB}=70m$，点 $C$在 $\odot O$上，且 $\mathit{CA}=\mathit{CB}$． $P$为 $\mathit{AB}$上一点，连接 $\mathit{CP}$并延长，交 $\odot O$于点 $D$．连接 $\mathit{AD}$， $\mathit{BD}$．过点 $P$分别作 $\mathit{PE}\perp \mathit{AD}$， $\mathit{PF}\perp \mathit{BD}$，垂足分别为 $E$， $F$．按设计要求，四边形 $\mathit{PEDF}$内部为室内活动区，阴影部分是户外活动区，圆内其余部分为绿化区．设 $\mathit{AP}$的长为 $x\left(m\right)$，阴影部分的面积为 $y\left(m^2\right)$．

①求 $y$与 $x$之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当 $\mathit{AP}$的长度为 $30m$时，整体布局比较合理．试求当 $\mathit{AP}=30m$时．室内活动区（四边形 $\mathit{PEDF})$的面积．