初中数学轴对称的性质解答题

如图，边长为1的正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $E$为 $\mathit{AD}$的中点．连接 $\mathit{BE}$，将 $\mathit{\Delta ABE}$沿 $\mathit{BE}$折叠得到 $\mathit{\Delta FBE}$， $\mathit{BF}$交 $\mathit{AC}$于点 $G$，求 $\mathit{CG}$的长．

如图， $C$， $D$为 $\odot O$上两点，且在直径 $\mathit{AB}$两侧，连结 $\mathit{CD}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$， $G$是 $\stackrel{̂}{\mathit{AC}}$上一点， $\angle \mathit{ADC}=\angle G$．

（1）求证： $\angle 1=\angle 2$．

（2）点 $C$关于 $\mathit{DG}$的对称点为 $F$，连结 $\mathit{CF}$．当点 $F$落在直径 $\mathit{AB}$上时， $\mathit{CF}=10$， $\tan \angle 1=\frac{2}{5}$，求 $\odot O$的半径．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=8$，点 $E$， $F$分别为 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$的中点．

（1）求证：四边形 $\mathit{AEFD}$是矩形；

（2）如图2，点 $P$是边 $\mathit{AD}$上一点， $\mathit{BP}$交 $\mathit{EF}$于点 $O$，点 $A$关于 $\mathit{BP}$的对称点为点 $M$，当点 $M$落在线段 $\mathit{EF}$上时，则有 $\mathit{OB}=\mathit{OM}$．请说明理由；

（3）如图3，若点 $P$是射线 $\mathit{AD}$上一个动点，点 $A$关于 $\mathit{BP}$的对称点为点 $M$，连接 $\mathit{AM}$， $\mathit{DM}$，当 $\mathit{\Delta AMD}$是等腰三角形时，求 $\mathit{AP}$的长．

如图，将矩形 $\mathit{ABCD}$（纸片）折叠，使点 $B$与 $\mathit{AD}$边上的点 $K$重合， $\mathit{EG}$为折痕；点 $C$与 $\mathit{AD}$边上的点 $K$重合， $\mathit{FH}$为折痕．已知 $\angle 1=67.5°$， $\angle 2=75°$， $\mathit{EF}=\sqrt{3}+1$，求 $\mathit{BC}$的长．

我们在学完“平移、轴对称、旋转”三种图形的变化后，可以进行进一步研究，请根据示例图形，完成下表．

图形的变化	示例图形	与对应线段有关的结论	与对应点有关的结论
平移		（1）	$\mathit{AA}\text{'}=\mathit{BB}\text{'}$ $\mathit{AA}\text{'}//\mathit{BB}\text{'}$
轴对称		（2）	（3）
旋转		$\mathit{AB}=A\text{'}B\text{'}$；对应线段 $\mathit{AB}$和 $A\text{'}B\text{'}$所在的直线相交所成的角与旋转角相等或互补．	（4）

如图，在平行四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AE}$是 $\mathit{BC}$边上的高，点 $F$是 $\mathit{DE}$的中点， $\mathit{AB}$与 $\mathit{AG}$关于 $\mathit{AE}$对称， $\mathit{AE}$与 $\mathit{AF}$关于 $\mathit{AG}$对称．

（1）求证： $\mathit{\Delta AEF}$是等边三角形；

（2）若 $\mathit{AB}=2$，求 $\mathit{\Delta AFD}$的面积．

如图1，在平面直角坐标系中， $O$ 是坐标原点，抛物线 $y=\frac{1}{2}{x}^2+\mathit{bx}+c$ 经过点 $B(6,0)$ 和点 $C(0,-3)$ ．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图2，线段 $\mathit{OC}$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转 $30°$ 得到线段 $\mathit{OD}$ ．过点 $B$ 作射线 $\mathit{BD}$ ，点 $M$ 是射线 $\mathit{BD}$ 上一点（不与点 $B$ 重合），点 $M$ 关于 $x$ 轴的对称点为点 $N$ ，连接 $\mathit{NM}$ ， $\mathit{NB}$ ．

①直接写出 $\mathit{\Delta MBN}$ 的形状为 　 　；

②设 $\mathit{\Delta MBN}$ 的面积为 $S_1$ ， $\mathit{\Delta ODB}$ 的面积为是 $S_2$ ．当 $S_1=\frac{2}{3}{S}_2$ 时，求点 $M$ 的坐标；

（3）如图3，在（2）的结论下，过点 $B$ 作 $\mathit{BE}\perp \mathit{BN}$ ，交 $\mathit{NM}$ 的延长线于点 $E$ ，线段 $\mathit{BE}$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，旋转角为 $\alpha (0°<\alpha <120°)$ 得到线段 $\mathit{BF}$ ，过点 $F$ 作 $\mathit{FK}//x$ 轴，交射线 $\mathit{BE}$ 于点 $K$ ， $\angle \mathit{KBF}$ 的角平分线和 $\angle \mathit{KFB}$ 的角平分线相交于点 $G$ ，当 $\mathit{BG}=2\sqrt{3}$ 时，请直接写出点 $G$ 的坐标为 　　．

图①、图②、图③都是 $3\times 3$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点． $A$ ， $B$ ， $C$ 均为格点．在给定的网格中，按下列要求画图：

（1）在图①中，画一条不与 $\mathit{AB}$ 重合的线段 $\mathit{MN}$ ，使 $\mathit{MN}$ 与 $\mathit{AB}$ 关于某条直线对称，且 $M$ ， $N$ 为格点．

（2）在图②中，画一条不与 $\mathit{AC}$ 重合的线段 $\mathit{PQ}$ ，使 $\mathit{PQ}$ 与 $\mathit{AC}$ 关于某条直线对称，且 $P$ ， $Q$ 为格点．

（3）在图③中，画一个 $\mathit{\Delta DEF}$ ，使 $\mathit{\Delta DEF}$ 与 $\mathit{\Delta ABC}$ 关于某条直线对称，且 $D$ ， $E$ ， $F$ 为格点．

如图，二次函数的图象与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，抛物线过点，且顶点为，连接、、、．

（1）填空：　 　；

（2）点是抛物线上一点，点的横坐标大于1，直线交直线于点．若，求点的坐标；

（3）点在直线上，点关于直线对称的点为，点关于直线对称的点为，连接．当点在轴上时，直接写出的长．

在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$ 中，等腰直角 $\mathit{\Delta ABC}$ 的直角顶点 $C$ 在 $y$ 轴上，另两个顶点 $A$ ， $B$ 在 $x$ 轴上，且 $\mathit{AB}=4$ ，抛物线经过 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点，如图1所示．

（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．

（2）过原点任作直线 $l$ 交抛物线于 $M$ ， $N$ 两点，如图2所示．

①求 $\mathit{\Delta CMN}$ 面积的最小值．

②已知 $Q(1,-\frac{3}{2})$ 是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点 $P$ ，使得点 $P$ 与点 $Q$ 关于直线 $l$ 对称，若存在，求出点 $P$ 的坐标及直线 $l$ 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．

如图1，抛物线与抛物线相交轴于点，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），直线交轴负半轴于点，交轴于点，且．

（1）求抛物线的解析式与的值；

（2）抛物线的对称轴交轴于点，连接，在轴上方的对称轴上找一点，使以点，，为顶点的三角形与相似，求出的长；

（3）如图2，过抛物线上的动点作轴于点，交直线于点，若点是点关于直线的对称点，是否存在点（不与点重合），使点落在轴上？若存在，请直接写出点的横坐标，若不存在，请说明理由．

如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限的点和点，过点作轴的垂线，垂足为点，的面积为4．

（1）分别求出和的值；

（2）结合图象直接写出中的取值范围；

（3）在轴上取点，使取得最大值时，求出点的坐标．

如图， $\odot O$ 为等边 $\mathit{\Delta ABC}$ 的外接圆，半径为2，点 $D$ 在劣弧 $\stackrel{̂}{\mathit{AB}}$ 上运动（不与点 $A$ ， $B$ 重合），连接 $\mathit{DA}$ ， $\mathit{DB}$ ， $\mathit{DC}$ ．

（1）求证： $\mathit{DC}$ 是 $\angle \mathit{ADB}$ 的平分线；

（2）四边形 $\mathit{ADBC}$ 的面积 $S$ 是线段 $\mathit{DC}$ 的长 $x$ 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

（3）若点 $M$ ， $N$ 分别在线段 $\mathit{CA}$ ， $\mathit{CB}$ 上运动（不含端点），经过探究发现，点 $D$ 运动到每一个确定的位置， $\mathit{\Delta DMN}$ 的周长有最小值 $t$ ，随着点 $D$ 的运动， $t$ 的值会发生变化，求所有 $t$ 值中的最大值．

如图，抛物线经过点，与轴相交于，两点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点在抛物线的对称轴上，且位于轴的上方，将沿直线翻折得到△，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点的坐标；

（3）设是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点在抛物线的对称轴上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴与轴交于点，点在抛物线上．

（1）求直线的解析式；

（2）点为直线下方抛物线上的一点，连接，．当的面积最大时，连接，，点是线段的中点，点是上的一点，点是上的一点，求的最小值；

（3）点是线段的中点，将抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点，的顶点为点．在新抛物线的对称轴上，是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．