初中数学平行线分线段成比例试题

如图，正方形中，，点是边的中点，连接，与交于点，点在上，点在上，且．若，则　　．

如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．

（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形， $\mathit{AF}$经过点 $C$，连接 $\mathit{DE}$交 $\mathit{AF}$于点 $M$，观察发现：点 $M$是 $\mathit{DE}$的中点．

下面是两位学生有代表性的证明思路：

思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；

思路2：不证三角形全等，连接 $\mathit{BD}$交 $\mathit{AF}$于点 $H$． $\dots$

请参考上面的思路，证明点 $M$是 $\mathit{DE}$的中点（只需用一种方法证明）；

（2）如图2，在（1）的前提下，当 $\angle \mathit{ABE}=135°$时，延长 $\mathit{AD}$、 $\mathit{EF}$交于点 $N$，求 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{NE}}$的值；

（3）在（2）的条件下，若 $\frac{\mathit{AF}}{\mathit{AB}}=k(k$为大于 $\sqrt{2}$的常数），直接用含 $k$的代数式表示 $\frac{\mathit{AM}}{\mathit{MF}}$的值．

在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、 $A4$的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为 $\sqrt{2}:1$，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形” $\mathit{ABCD}$中， $P$为 $\mathit{DC}$边上一定点，且 $\mathit{CP}=\mathit{BC}$，如图所示．

（1）如图①，求证： $\mathit{BA}=\mathit{BP}$；

（2）如图②，点 $Q$在 $\mathit{DC}$上，且 $\mathit{DQ}=\mathit{CP}$，若 $G$为 $\mathit{BC}$边上一动点，当 $\mathit{\Delta AGQ}$的周长最小时，求 $\frac{\mathit{CG}}{\mathit{GB}}$的值；

（3）如图③，已知 $\mathit{AD}=1$，在（2）的条件下，连接 $\mathit{AG}$并延长交 $\mathit{DC}$的延长线于点 $F$，连接 $\mathit{BF}$， $T$为 $\mathit{BF}$的中点， $M$、 $N$分别为线段 $\mathit{PF}$与 $\mathit{AB}$上的动点，且始终保持 $\mathit{PM}=\mathit{BN}$，请证明： $\mathit{\Delta MNT}$的面积 $S$为定值，并求出这个定值．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle C=90°$， $\mathit{DF}//\mathit{BC}$， $\angle \mathit{ABC}$的平分线 $\mathit{BE}$交 $\mathit{DF}$于点 $G$， $\mathit{GH}\perp \mathit{DF}$，点 $E$恰好为 $\mathit{DH}$的中点，若 $\mathit{AE}=3$， $\mathit{CD}=2$，则 $\mathit{GH}=($　　 $)$

A．1B．2C．3D．4

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{AC}=4$，若进行以下操作，在边 $\mathit{BC}$上从左到右依次取点 $D_1$、 $D_2$、 $D_3$、 $D_4$、 $\dots$；过点 $D_1$作 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的平行线分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$于点 $E_1$、 $F_1$；过点 $D_2$作 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的平行线分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$于点 $E_2$、 $F_2$；过点 $D_3$作 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的平行线分别交 $\mathit{AC}$、 $\mathit{AB}$于点 $E_3$、 $F_3\dots$，则 $4(D_1{E}_1+D_2{E}_2+\dots +D_{2019}{E}_{2019})+5(D_1{F}_1+D_2{F}_2+\dots +D_{2019}{F}_{2019})=$　        　．

如图， $l_1//l_2//l_3$，直线 $a$、 $b$与 $l_1$、 $l_2$、 $l_3$分别相交于点 $A$、 $B$、 $C$和点 $D$、 $E$、 $F$．若 $\mathit{AB}=3$， $\mathit{DE}=2$， $\mathit{BC}=6$，则 $\mathit{EF}=$　    　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $D$、 $E$分别是 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$的中点，下列说法中不正确的是 $($　　 $)$

A． $\mathit{DE}=\frac{1}{2}\mathit{BC}$B． $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}=\frac{\mathit{AE}}{\mathit{AC}}$

C． $\mathit{\Delta ADE}\backsim \mathit{\Delta ABC}$D． $S_{\mathit{\Delta ADE}}:S_{\mathit{\Delta ABC}}=1:2$

如图，直线 $l_1//l_2//l_3$，直线 $\mathit{AC}$和 $\mathit{DF}$被 $l_1$， $l_2$， $l_3$所截， $\mathit{AB}=5$， $\mathit{BC}=6$， $\mathit{EF}=4$，则 $\mathit{DE}$的长为 $($　　 $)$

A．2B．3C．4D． $\frac{10}{3}$

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$在 $\mathit{BC}$边上，连接 $\mathit{AD}$，点 $G$在线段 $\mathit{AD}$上， $\mathit{GE}//\mathit{BD}$，且交 $\mathit{AB}$于点 $E$， $\mathit{GF}//\mathit{AC}$，且交 $\mathit{CD}$于点 $F$，则下列结论一定正确的是 $($　　 $)$

A． $\frac{\mathit{AB}}{\mathit{AE}}=\frac{\mathit{AG}}{\mathit{AD}}$B． $\frac{\mathit{DF}}{\mathit{CF}}=\frac{\mathit{DG}}{\mathit{AD}}$C． $\frac{\mathit{FG}}{\mathit{AC}}=\frac{\mathit{EG}}{\mathit{BD}}$D． $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{BE}}=\frac{\mathit{CF}}{\mathit{DF}}$

已知正方形 $\mathit{ABCD}$， $P$为射线 $\mathit{AB}$上的一点，以 $\mathit{BP}$为边作正方形 $\mathit{BPEF}$，使点 $F$在线段 $\mathit{CB}$的延长线上，连接 $\mathit{EA}$， $\mathit{EC}$．

（1）如图1，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$的延长线上，求证： $\mathit{EA}=\mathit{EC}$；

（2）如图2，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$的中点，连接 $\mathit{AC}$，判断 $\mathit{\Delta ACE}$的形状，并说明理由；

（3）如图3，若点 $P$在线段 $\mathit{AB}$上，连接 $\mathit{AC}$，当 $\mathit{EP}$平分 $\angle \mathit{AEC}$时，设 $\mathit{AB}=a$， $\mathit{BP}=b$，求 $a:b$及 $\angle \mathit{AEC}$的度数．

如图，菱形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AC}=12\mathit{cm}$， $\mathit{BD}=16\mathit{cm}$，动点 $N$从点 $D$出发，沿线段 $\mathit{DB}$以 $2\mathit{cm}/s$的速度向点 $B$运动，同时动点 $M$从点 $B$出发，沿线段 $\mathit{BA}$以 $1\mathit{cm}/s$的速度向点 $A$运动，当其中一个动点停止运动时另一个动点也随之停止．设运动时间为 $t\left(s\right)(t>0)$，以点 $M$为圆心， $\mathit{MB}$长为半径的 $\odot M$与射线 $\mathit{BA}$，线段 $\mathit{BD}$分别交于点 $E$， $F$，连接 $\mathit{EN}$．

（1）求 $\mathit{BF}$的长（用含有 $t$的代数式表示），并求出 $t$的取值范围；

（2）当 $t$为何值时，线段 $\mathit{EN}$与 $\odot M$相切？

（3）若 $\odot M$与线段 $\mathit{EN}$只有一个公共点，求 $t$的取值范围．

如图，已知 $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$相交于点 $O$．若 $\frac{\mathit{BO}}{\mathit{OC}}=\frac{2}{3}$， $\mathit{AD}=10$，则 $\mathit{AO}=$　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中，点 $D$为 $\mathit{AC}$上一点，且 $\frac{\mathit{CD}}{\mathit{AD}}=\frac{1}{2}$，过点 $D$作 $\mathit{DE}//\mathit{BC}$交 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{CE}$，过点 $D$作 $\mathit{DF}//\mathit{CE}$交 $\mathit{AB}$于点 $F$．若 $\mathit{AB}=15$，则 $\mathit{EF}=$　　．

如图， $\mathit{AB}//\mathit{CD}$， $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$交于点 $O$，已知 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{CD}=3$， $\mathit{OD}=2$，那么线段 $\mathit{OA}$的长为　　．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AC}=\mathit{BC}$，点 $F$从点 $B$向点 $C$运动，点 $E$从点 $A$沿射线 $\mathit{CA}$方向运动，且 $\mathit{BF}=\mathit{AE}$，连接 $\mathit{EF}$交 $\mathit{AB}$于 $D$．

（1）如图1，当 $\mathit{AB}=\mathit{BC}$时，求证： $\mathit{AB}=2\mathit{AD}+\mathit{BF}$；

（2）如图2，当 $\mathit{AB}=\frac{2}{3}\mathit{BC}$时，① $\mathit{AD}=6$， $\mathit{BF}=\frac{15}{2}$，则 $\mathit{AB}=$　　；

②过点 $F$作 $\mathit{FP}\perp \mathit{AB}$于点 $P$，探究线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{AD}$， $\mathit{FP}$之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．