初中数学相似多边形的性质解答题

在图①至图③中，△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90º，∠A＝30º，点P在AC上，∠MPN＝90º．

当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上，且PM⊥AB，
PN⊥BC（如图①）时，则PN和PM的数量关系是：PN=________PM；
当点P为线段AC的中点，点M、N分别在线段AB、BC上（如图②）时，求的值
当PC＝PA，点M、N分别在线段AB、BC上（如图③）时，求的值；

如图①，梯形ABCD中，DC∥AB，DE⊥AB于点E．
阅读理解：
在图①中，延长梯形ABCD的两腰AD、BC交于点P，过点D作DF∥CB交AB于点F，得到图②；四边形BCDF的面积为，△ADF的面积，△PDC的面积．

在图②中，若DC=2，AB=8，DE=3，则     ，______，     ；
在图②中，若，，，则=__________，并写出理由；
如图③，□DEFC的四个顶点在△PAB的三边上，若△PDC、△ADE、△CFB的面积分别为2、3、5，试利用（2）中的结论求△PAB的面积．

在边长为10的正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，如图①，E是半圆上一动点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连结DE.

当DE=10时，求证：DE与圆O相切；
求DE的最长距离和最短距离；
如图②，建立平面直角坐标系，当DE =10时，试求直线DE的解析式.

如图，在直角坐标系中，抛物线与轴交于点D（0，3）．

直接写出的值；
若抛物线与轴交于A、B两点（点B在点A的右边），顶点为C点，求直线BC的解析式；
已知点P是直线BC上一个动点，
①当点P在线段BC上运动时（点P不与B、C重合），过点P作PE⊥轴，垂足为E，连结BE．设点P的坐标为（），△PBE的面积为，求与的函数关系式，写出自变量的取值范围，并求出的最大值；
②试探索：在直线BC上是否存在着点P，使得以点P为圆心，半径为的⊙P，既与抛物线的对称轴相切，又与以点C为圆心，半径为1的⊙C相切？如果存在，试求的值，并直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上，且OA>OB,以AB为直径的圆过点C，若C的坐标为(0,2),AB="5," A,B两点的横坐标X_A,X_B是关于X的方程的两根:

求m，n的值;
若∠ACB的平分线所在的直线交x轴于点D，试求直线对应的一次函数的解析式;
过点D任作一直线分别交射线CA，CB（点C除外）于点M，N，则的值是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由

已知：如图①，在中，，，，点 由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题

当为何值时，？
设的面积为（），求与之间的函数关系式；
是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；
如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．

正方形ABCD中，点P是AD上的一动点（与点D、点A不重合），DE⊥CP，垂足为E，EF⊥BE与DC交于点F．

求证：△DEF∽△CEB；
当点P运动到DA的中点时，求证：点F为DC的中点.

在图11的方格纸中，△OAB的顶点坐标分别为O(0,0)、A(-2,-1)、B(-1,-3)，△O₁A₁B₁与△OAB是关于点P为位似中心的位似图形.

在图中标出位似中心P的位置，并写出点P及点B的对应点B₁的坐标；
以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出△OAB的一个位似△OA₂B₂，使它与△OAB的相似比为2:1. 并写出点B的对应点B₂的坐标；
△OAB内部一点M的坐标为(a,b),写出M在△OA₂B₂中的对应点M₂的坐标
判断△OA₂B₂能否看作是由△O₁A₁B₁经过某种变换后得到的图形，若是，请指出是怎样变换得到的（直接写答案）

、（本题12分）如图,设抛物线C₁:, C₂:,C₁与C₂的交点为A, B,点A的坐标是,点B的横坐标是－2.
 
（1）求的值及点B的坐标； 
（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG.记过C₂顶点Ｍ的直线为,且与x轴交于点N.
① 若过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2)，求点N的横坐标；
② 若与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.

、（本题8分）如图，在△ABC中，DE//BC，AD:DB="3:2 "

(1)求的值 (2)求的值

（本小题满分14分）
如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。设抛物线的顶点为D，求解下列问题：

（1）求抛物线的解析式和D点的坐标；
（2）过点D作DF∥轴，交直线BC于点F，求线段DF的长，并求△BCD的面积；
（3）能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？若能找到，试写出Q点的坐标；若不能，请说明理由。

．（本小题满分12分）
如图，已知在⊙O中，直径AB=10，点E是OA上任意一点，过E作弦CD⊥AB，点F是弧BC上一点，连结AF交CE于H，连结AC、CF、BF。

（1）请你找出图中的相似三角形，并对其中的一对相似三角形进行证明；
（2）若AE:BE=1:4，求CD长。
（3）在（2）的条件下，求的值。

在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点M在BC上。
 
（1）若BM=3时，求点D到直线AM的距离；
（2）若AM⊥DM，求BM的长。

（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C、P的坐标分别为（0，1）、（－1，0）、（1，0）、（－1，－1）。

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的表达式；
（2）以P为位似中心，将△ABC放大，使得放大后的△A₁B₁C₁
与△OAB对应线段的比为3：1，请在右图网格中画出放大
后的△A₁B₁C₁；（所画△A₁B₁C₁与△ABC在点P同侧）；
（3）经过A₁、B₁、C₁三点的抛物线能否由（1）中的抛物线平
移得到？请说明理由。

（本小题满分6分）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE。

（1）写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；
（2）请分别说明两对三角形相似的理由。