初中数学解直角三角形试题

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle C=90°$， $\mathit{AD}$是 $\mathit{\Delta ABC}$的角平分线，点 $O$在边 $\mathit{AB}$上．过点 $A$、 $D$的圆的圆心 $O$在边 $\mathit{AB}$上，它与边 $\mathit{AB}$交于另一点 $E$．

（1）试判断 $\mathit{BC}$与圆 $O$的位置关系，并说明理由；

（2）若 $\mathit{AC}=6$， $\sin B=\frac{3}{5}$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图， $\mathit{AB}$为 $\odot O$的直径， $C$为 $\odot O$上一点， $\angle \mathit{ABC}$的平分线交 $\odot O$于点 $D$， $\mathit{DE}\perp \mathit{BC}$于点 $E$．

（1）试判断 $\mathit{DE}$与 $\odot O$的位置关系，并说明理由；

（2）过点 $D$作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AB}$于点 $F$，若 $\mathit{BE}=3\sqrt{3}$， $\mathit{DF}=3$，求图中阴影部分的面积．

如图， $\mathit{\Delta ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\sin A=\frac{5}{13}$， $\mathit{AC}=12$，将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $C$顺时针旋转 $90°$得到△ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}C$， $P$为线段 $A\text{'}{B}^{\text{'}}$上的动点， 以点 $P$为圆心， $\mathit{PA}\text{'}$长为半径作 $\odot P$，当 $\odot P$与 $\mathit{\Delta ABC}$的边相切时， $\odot P$的半径为　　．

如图， $\mathit{AB}$、 $\mathit{AC}$分别是 $\odot O$的直径和弦， $\mathit{OD}\perp \mathit{AC}$于点 $D$．过点 $A$作 $\odot O$的切线与 $\mathit{OD}$的延长线交于点 $P$， $\mathit{PC}$、 $\mathit{AB}$的延长线交于点 $F$．

（1）求证： $\mathit{PC}$是 $\odot O$的切线；

（2）若 $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{AB}=10$，求线段 $\mathit{CF}$的长．

如图，矩形 $\mathit{ABCD}$的顶点 $A$， $B$在 $x$轴的正半轴上，反比例函数 $y=\frac{k}{x}$在第一象限内的图象经过点 $D$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$．若 $\mathit{AB}=4$， $\mathit{CE}=2\mathit{BE}$， $\tan \angle \mathit{AOD}=\frac{3}{4}$，则 $k$的值为 $($　　 $)$

A．3B． $2\sqrt{3}$C．6D．12

【定义】如图1， $A$， $B$为直线 $l$同侧的两点，过点 $A$作直线 $l$的对称点 $A\text{'}$，连接 $A\text{'}B$交直线 $l$于点 $P$，连接 $\mathit{AP}$，则称点 $P$为点 $A$， $B$关于直线 $l$的“等角点”．

【运用】如图2，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知 $A(2,\sqrt{3})$， $B(-2,-\sqrt{3})$两点．

（1） $C(4,\frac{\sqrt{3}}{2})$， $D(4,\frac{\sqrt{2}}{2})$， $E(4,\frac{1}{2})$三点中，点　 $C$　是点 $A$， $B$关于直线 $x=4$的等角点；

（2）若直线 $l$垂直于 $x$轴，点 $P(m,n)$是点 $A$， $B$关于直线 $l$的等角点，其中 $m>2$， $\angle \mathit{APB}=\alpha$，求证： $\tan \frac{\alpha }{2}=\frac{n}{2}$；

（3）若点 $P$是点 $A$， $B$关于直线 $y=\mathit{ax}+b(a\ne 0)$的等角点，且点 $P$位于直线 $\mathit{AB}$的右下方，当 $\angle \mathit{APB}=60°$时，求 $b$的取值范围（直接写出结果）．

结果如此巧合 $!$

下面是小颖对一道题目的解答．

题目：如图， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$的内切圆与斜边 $\mathit{AB}$相切于点 $D$， $\mathit{AD}=3$， $\mathit{BD}=4$，求 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

解：设 $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆分别与 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$相切于点 $E$、 $F$， $\mathit{CE}$的长为 $x$．

根据切线长定理，得 $\mathit{AE}=\mathit{AD}=3$， $\mathit{BF}=\mathit{BD}=4$， $\mathit{CF}=\mathit{CE}=x$．

根据勾股定理，得 ${(x+3)}^2+{(x+4)}^2={(3+4)}^2$．

整理，得 $x^2+7x=12$．

所以 $S_{\mathit{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}\mathit{AC}·\mathit{BC}$

$=\frac{1}{2}(x+3)(x+4)$

$=\frac{1}{2}(x^2+7x+12)$

$=\frac{1}{2}\times (12+12)$

$=12$．

小颖发现12恰好就是 $3\times 4$，即 $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BD}$的积．这仅仅是巧合吗？

请你帮她完成下面的探索．

已知： $\mathit{\Delta ABC}$的内切圆与 $\mathit{AB}$相切于点 $D$， $\mathit{AD}=m$， $\mathit{BD}=n$．

可以一般化吗？

（1）若 $\angle C=90°$，求证： $\mathit{\Delta ABC}$的面积等于 $\mathit{mn}$．

倒过来思考呢？

（2）若 $\mathit{AC}·\mathit{BC}=2\mathit{mn}$，求证 $\angle C=90°$．

改变一下条件 $\dots \dots$

（3）若 $\angle C=60°$，用 $m$、 $n$表示 $\mathit{\Delta ABC}$的面积．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y=-\frac{2}{3}x+4$的图象与 $x$轴和 $y$轴分别相交于 $A$、 $B$两点．动点 $P$从点 $A$出发，在线段 $\mathit{AO}$上以每秒3个单位长度的速度向点 $O$作匀速运动，到达点 $O$停止运动，点 $A$关于点 $P$的对称点为点 $Q$，以线段 $\mathit{PQ}$为边向上作正方形 $\mathit{PQMN}$．设运动时间为 $t$秒．

（1）当 $t=\frac{1}{3}$秒时，点 $Q$的坐标是　　；

（2）在运动过程中，设正方形 $\mathit{PQMN}$与 $\mathit{\Delta AOB}$重叠部分的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数表达式；

（3）若正方形 $\mathit{PQMN}$对角线的交点为 $T$，请直接写出在运动过程中 $\mathit{OT}+\mathit{PT}$的最小值．

在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=60°$，点 $P$是射线 $\mathit{BD}$上一动点，以 $\mathit{AP}$为边向右侧作等边 $\mathit{\Delta APE}$，点 $E$的位置随着点 $P$的位置变化而变化．

（1）如图1，当点 $E$在菱形 $\mathit{ABCD}$内部或边上时，连接 $\mathit{CE}$， $\mathit{BP}$与 $\mathit{CE}$的数量关系是　　， $\mathit{CE}$与 $\mathit{AD}$的位置关系是　　；

（2）当点 $E$在菱形 $\mathit{ABCD}$外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；

（3）如图4，当点 $P$在线段 $\mathit{BD}$的延长线上时，连接 $\mathit{BE}$，若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$， $\mathit{BE}=2\sqrt{19}$，求四边形 $\mathit{ADPE}$的面积．

如图，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $O$为 $\mathit{AC}$上一点，以点 $O$为圆心， $\mathit{OC}$为半径做圆，与 $\mathit{BC}$相切于点 $C$，过点 $A$作 $\mathit{AD}\perp \mathit{BO}$交 $\mathit{BO}$的延长线于点 $D$，且 $\angle \mathit{AOD}=\angle \mathit{BAD}$．

（1）求证： $\mathit{AB}$为 $\odot O$的切线；

（2）若 $\mathit{BC}=6$， $\tan \angle \mathit{ABC}=\frac{4}{3}$，求 $\mathit{AD}$的长．

如图，已知 $P$为锐角 $\angle \mathit{MAN}$内部一点，过点 $P$作 $\mathit{PB}\perp \mathit{AM}$于点 $B$， $\mathit{PC}\perp \mathit{AN}$于点 $C$，以 $\mathit{PB}$为直径作 $\odot O$，交直线 $\mathit{CP}$于点 $D$，连接 $\mathit{AP}$， $\mathit{BD}$， $\mathit{AP}$交 $\odot O$于点 $E$．

（1）求证： $\angle \mathit{BPD}=\angle \mathit{BAC}$．

（2）连接 $\mathit{EB}$， $\mathit{ED}$，当 $\tan \angle \mathit{MAN}=2$， $\mathit{AB}=2\sqrt{5}$时，在点 $P$的整个运动过程中．

①若 $\angle \mathit{BDE}=45°$，求 $\mathit{PD}$的长．

②若 $\mathit{\Delta BED}$为等腰三角形，求所有满足条件的 $\mathit{BD}$的长．

（3）连接 $\mathit{OC}$， $\mathit{EC}$， $\mathit{OC}$交 $\mathit{AP}$于点 $F$，当 $\tan \angle \mathit{MAN}=1$， $\mathit{OC}//\mathit{BE}$时，记 $\mathit{\Delta OFP}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta CFE}$的面积为 $S_2$，请写出 $\frac{S_1}{S_2}$的值．

如图， $D$是 $\mathit{\Delta ABC}$的 $\mathit{BC}$边上一点，连接 $\mathit{AD}$，作 $\mathit{\Delta ABD}$的外接圆，将 $\mathit{\Delta ADC}$沿直线 $\mathit{AD}$折叠，点 $C$的对应点 $E$落在 $\odot O$上．

（1）求证： $\mathit{AE}=\mathit{AB}$．

（2）若 $\angle \mathit{CAB}=90°$， $\cos \angle \mathit{ADB}=\frac{1}{3}$， $\mathit{BE}=2$，求 $\mathit{BC}$的长．

如图1，直线 $l:y=-\frac{3}{4}x+b$与 $x$轴交于点 $A(4,0)$，与 $y$轴交于点 $B$，点 $C$是线段 $\mathit{OA}$上一动点 $(0<\mathit{AC}<\frac{16}{5})$．以点 $A$为圆心， $\mathit{AC}$长为半径作 $\odot A$交 $x$轴于另一点 $D$，交线段 $\mathit{AB}$于点 $E$，连接 $\mathit{OE}$并延长交 $\odot A$于点 $F$．

（1）求直线 $l$的函数表达式和 $\tan \angle \mathit{BAO}$的值；

（2）如图2，连接 $\mathit{CE}$，当 $\mathit{CE}=\mathit{EF}$时，

①求证： $\mathit{\Delta OCE}\backsim \mathit{\Delta OEA}$；

②求点 $E$的坐标；

（3）当点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上运动时，求 $\mathit{OE}\cdot \mathit{EF}$的最大值．

在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{AC}=12$．点 $D$在直线 $\mathit{CB}$上，以 $\mathit{CA}$， $\mathit{CD}$为边作矩形 $\mathit{ACDE}$，直线 $\mathit{AB}$与直线 $\mathit{CE}$， $\mathit{DE}$的交点分别为 $F$， $G$．

（1）如图，点 $D$在线段 $\mathit{CB}$上，四边形 $\mathit{ACDE}$是正方形．

①若点 $G$为 $\mathit{DE}$的中点，求 $\mathit{FG}$的长．

②若 $\mathit{DG}=\mathit{GF}$，求 $\mathit{BC}$的长．

（2）已知 $\mathit{BC}=9$，是否存在点 $D$，使得 $\mathit{\Delta DFG}$是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．

如图，在 $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中，点 $O$在斜边 $\mathit{AB}$上，以 $O$为圆心， $\mathit{OB}$为半径作圆，分别与 $\mathit{BC}$， $\mathit{AB}$相交于点 $D$， $E$，连接 $\mathit{AD}$．已知 $\angle \mathit{CAD}=\angle B$．

（1）求证： $\mathit{AD}$是 $\odot O$的切线．

（2）若 $\mathit{BC}=8$， $\tan B=\frac{1}{2}$，求 $\odot O$的半径．