初中数学解直角三角形的应用试题

如图，河的两岸 $a$， $b$互相平行，点 $A$， $B$， $C$是河岸 $b$上的三点，点 $P$是河岸 $a$上的一个建筑物，某人在河岸 $b$上的 $A$处测得 $\angle \mathit{PAB}=30°$，在 $B$处测得 $\angle \mathit{PBC}=75°$，若 $\mathit{AB}=80$米，则河两岸之间的距离约为　　米． $(\sqrt{3}\approx 1.73$，结果精确到0.1米）

如图，一块矩形木板 $\mathit{ABCD}$ 斜靠在墙边 $(\mathit{OC}\perp \mathit{OB}$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $O$ 在同一平面内），已知 $\mathit{AB}=a$ ， $\mathit{AD}=b$ ， $\angle \mathit{BCO}=x$ ，则点 $A$ 到 $\mathit{OC}$ 的距离等于 $($ 　　 $)$

A．

$a\sin x+b\sin x$

B．

$a\cos x+b\cos x$

C．

$a\sin x+b\cos x$

D．

$a\cos x+b\sin x$

我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $\mathit{AP}$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $\angle \mathit{BAC}$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，从而保证伞圈 $D$ 能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈 $D$ 已滑动到点 $D^{\text{'}}$ 的位置，且 $A$ ， $B$ ， $D\text{'}$ 三点共线， $\mathit{AD}\text{'}=40\mathit{cm}$ ， $B$ 为 $\mathit{AD}\text{'}$ 中点．当 $\angle \mathit{BAC}=140°$ 时，伞完全张开．

（1）求 $\mathit{AB}$ 的长．

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈 $D$ 沿着伞柄向下滑动的距离．

（参考数据： $\sin 70°\approx 0.94$ ， $\cos 70°\approx 0.34$ ， $\tan 70°\approx 2.75)$

如图，在中．，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且．

（1）求证：是的切线；

（2）若，，求点到的距离．

两栋居民楼之间的距离 $\mathit{CD}=30$米，楼 $\mathit{AC}$和 $\mathit{BD}$均为10层，每层楼高3米．

（1）上午某时刻，太阳光线 $\mathit{GB}$与水平面的夹角为 $30°$，此刻 $B$楼的影子落在 $A$楼的第几层？

（2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时， $B$楼的影子刚好落在 $A$楼的底部？

祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．

项目	内容
课题	测量斜拉索顶端到桥面的距离
测量示意图		说明：两侧最长斜拉索，相交于点，分别与桥面交于，两点，且点，，在同一竖直平面内．
测量数据	的度数	的度数	的长度
			234米

（1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点到的距离（参考数据：，，，，，

（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．

图①是某车站的一组智能通道闸机，当行人通过时智能闸机会自动识别行人身份，识别成功后，两侧的圆弧翼闸会收回到两侧闸机箱内，这时行人即可通过．图②是两圆弧翼展开时的截面图，扇形 $\mathit{ABC}$和 $\mathit{DEF}$是闸机的“圆弧翼”，两圆弧翼成轴对称， $\mathit{BC}$和 $\mathit{EF}$均垂直于地面，扇形的圆心角 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{DEF}=28°$，半径 $\mathit{BA}=\mathit{ED}=60\mathit{cm}$，点 $A$与点 $D$在同一水平线上，且它们之间的距离为 $10\mathit{cm}$．

（1）求闸机通道的宽度，即 $\mathit{BC}$与 $\mathit{EF}$之间的距离（参考数据： $\sin 28°\approx 0.47$， $\cos 28°\approx 0.88$， $\tan 28°\approx 0.53)$；

（2）经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的2倍，180人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约3分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数．

“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．

如图所示，底座上，两点间的距离为．低杠上点到直线的距离的长为，高杠上点到直线的距离的长为，已知低杠的支架与直线的夹角为，高杠的支架与直线的夹角为．求高、低杠间的水平距离的长．（结果精确到，参考数据，，，，，

图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（结果精确到．

（1）如图2，，．

①填空：　　．

②求投影探头的端点到桌面的距离．

（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为时，求的大小．

（参考数据：，，，

图1是第七届国际数学教育大会 $\left(\mathit{ICME}\right)$ 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\mathit{OABC}$ ．若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $\angle \mathit{AOB}=\alpha$ ，则 $O{C}^2$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+1$

B．

${\sin }^2\alpha +1$

C．

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1$

D．

${\cos }^2\alpha +1$

图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄 AB与地面 DE平行，踏板 CD长为1.5 m， CD与地面 DE的夹角 $\angle \mathit{CDE}＝15°$ ，支架 AC长为1 m， $\angle \mathit{ACD}＝75°$ ，求跑步机手柄 AB所在直线与地面 DE之间的距离．（结果精确到0.1 m．参考数据： $\mathit{sin}15°\approx 0.26$ ， $\mathit{cos}15°\approx 0.97$ ， $\mathit{tan}15°\approx 0.27$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73$ ）

某工程队准备从 $A$到 $B$修建一条隧道，测量员在直线 $\mathit{AB}$的同一侧选定 $C$， $D$两个观测点，如图．测得 $\mathit{AC}$长为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}\mathit{km}$， $\mathit{CD}$长为 $\frac{3}{4}(\sqrt{2}+\sqrt{6})\mathit{km}$， $\mathit{BD}$长为 $\frac{3}{2}\mathit{km}$， $\angle \mathit{ACD}=60°$， $\angle \mathit{CDB}=135°(A$、 $B$、 $C$、 $D$在同一水平面内）．

（1）求 $A$、 $D$两点之间的距离；

（2）求隧道 $\mathit{AB}$的长度．

为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．

名称	红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数	探测最大角： $\angle \mathit{OBC}＝73.14°$
	探测最小角： $\angle \mathit{OAC}＝30.97°$
安装要求	本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上

根据以上内容，解决问题：

学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．

（结果精确到0.1m，参考数据： $\mathit{sin}73.14°\approx 0.957，\mathit{cos}73.14°\approx 0.290$，t $\mathit{an}73.14°\approx 3.300$， $\mathit{sin}30.97°\approx 0.515$， $\mathit{cos}30.97°\approx 0.857$， $\text{t}\mathit{an}30.97°\approx 0.600$）

随州市新水一桥（如图1）设计灵感来源于市花 $--$兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔 $\mathit{AB}$和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索 $\mathit{DE}$和最长的斜拉索 $\mathit{AC}$）均在同一水平面内， $\mathit{BC}$在水平桥面上．已知 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{DEB}=45°$， $\angle \mathit{ACB}=30°$， $\mathit{BE}=6$米， $\mathit{AB}=5\mathit{BD}$．

（1）求最短的斜拉索 $\mathit{DE}$的长；

（2）求最长的斜拉索 $\mathit{AC}$的长．

图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面 AE的倾斜角∠ EAD为22°，长为2米的真空管 AB与水平线 AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管 CE的长度为0.5米．

（1）真空管上端 B到水平线 AD的距离．

（2）求安装热水器的铁架水平横管 BC的长度（结果精确到0.1米）．

（参考数据： $\sin {37}^{\circ }\approx \frac{3}{5}$ ， $\cos {37}^{\circ }\approx \frac{4}{5}$ ， $\tan {37}^{\circ }\approx \frac{3}{4}$ ， $\sin {22}^{\circ }\approx \frac{3}{8}$ ， $\cos {22}^{\circ }\approx \frac{15}{16}$ ， $\tan {22}^{\circ }\approx \frac{2}{5}$ ）