初中数学解直角三角形的应用试题

图1是第七届国际数学教育大会 $\left(\mathit{ICME}\right)$ 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\mathit{OABC}$ ．若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $\angle \mathit{AOB}=\alpha$ ，则 $O{C}^2$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+1$

B．

${\sin }^2\alpha +1$

C．

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1$

D．

${\cos }^2\alpha +1$

图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆 $\mathit{AB}$ 垂直于地面 $l$ ，活动杆 $\mathit{CD}$ 固定在支撑杆上的点 $E$ 处．若 $\angle \mathit{AED}=48°$ ， $\mathit{BE}=110\mathit{cm}$ ， $\mathit{DE}=80\mathit{cm}$ ，求活动杆端点 $D$ 离地面的高度 $\mathit{DF}$ ．（结果精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 48°\approx 0.74$ ， $\cos 48°\approx 0.67$ ， $\tan 48°\approx 1.11)$

拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为 $l$ ，底座 $\mathit{AB}$ 固定，高 $\mathit{AB}$ 为 $50\mathit{cm}$ ，连杆 $\mathit{BC}$ 长度为 $70\mathit{cm}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ 长度为 $60\mathit{cm}$ ．点 $B$ ， $C$ 是转动点，且 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{CD}$ 始终在同一平面内．

（1）转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，使 $\angle \mathit{ABC}=143°$ ， $\mathit{CD}//l$ ，如图2，求手臂端点 $D$ 离操作台 $l$ 的高度 $\mathit{DE}$ 的长（精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 53°\approx 0.8$ ， $\cos 53°\approx 0.6)$ ．

（2）物品在操作台 $l$ 上，距离底座 $A$ 端 $110\mathit{cm}$ 的点 $M$ 处，转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，手臂端点 $D$ 能否碰到点 $M$ ？请说明理由．

图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面 $\mathit{CE}$ 与地面平行，支撑杆 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 可绕连接点 $O$ 转动，且 $\mathit{OA}=\mathit{OB}$ ，椅面底部有一根可以绕点 $H$ 转动的连杆 $\mathit{HD}$ ，点 $H$ 是 $\mathit{CD}$ 的中点， $\mathit{FA}$ ， $\mathit{EB}$ 均与地面垂直，测得 $\mathit{FA}=54\mathit{cm}$ ， $\mathit{EB}=45\mathit{cm}$ ， $\mathit{AB}=48\mathit{cm}$ ．

（1）椅面 $\mathit{CE}$ 的长度为 　　 $\mathit{cm}$ ．

（2）如图3，椅子折叠时，连杆 $\mathit{HD}$ 绕着支点 $H$ 带动支撑杆 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BC}$ 转动合拢，椅面和连杆夹角 $\angle \mathit{CHD}$ 的度数达到最小值 $30°$ 时， $A$ ， $B$ 两点间的距离为 　　 $\mathit{cm}$ （结果精确到 $0.1\mathit{cm})$ ．

（参考数据： $\sin 15°\approx 0.26$ ， $\cos 15°\approx 0.97$ ， $\tan 15°\approx 0.27)$

我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $\mathit{AP}$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $\angle \mathit{BAC}$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，从而保证伞圈 $D$ 能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈 $D$ 已滑动到点 $D^{\text{'}}$ 的位置，且 $A$ ， $B$ ， $D\text{'}$ 三点共线， $\mathit{AD}\text{'}=40\mathit{cm}$ ， $B$ 为 $\mathit{AD}\text{'}$ 中点．当 $\angle \mathit{BAC}=140°$ 时，伞完全张开．

（1）求 $\mathit{AB}$ 的长．

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈 $D$ 沿着伞柄向下滑动的距离．

（参考数据： $\sin 70°\approx 0.94$ ， $\cos 70°\approx 0.34$ ， $\tan 70°\approx 2.75)$

一酒精消毒瓶如图1， $\mathit{AB}$ 为喷嘴， $\mathit{\Delta BCD}$ 为按压柄， $\mathit{CE}$ 为伸缩连杆， $\mathit{BE}$ 和 $\mathit{EF}$ 为导管，其示意图如图2， $\angle \mathit{DBE}=\angle \mathit{BEF}=108°$ ， $\mathit{BD}=6\mathit{cm}$ ， $\mathit{BE}=4\mathit{cm}$ ．当按压柄 $\mathit{\Delta BCD}$ 按压到底时， $\mathit{BD}$ 转动到 $\mathit{BD}\text{'}$ ，此时 $\mathit{BD}\text{'}//\mathit{EF}$ （如图 $3)$ ．

（1）求点 $D$ 转动到点 $D\text{'}$ 的路径长；

（2）求点 $D$ 到直线 $\mathit{EF}$ 的距离（结果精确到 $0.1\mathit{cm})$ ．

（参考数据： $\sin 36°\approx 0.59$ ， $\cos 36°\approx 0.81$ ， $\tan 36°\approx 0.73$ ， $\sin 72°\approx 0.95$ ， $\cos 72°\approx 0.31$ ， $\tan 72°\approx 3.08)$

图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄 AB与地面 DE平行，踏板 CD长为1.5 m， CD与地面 DE的夹角 $\angle \mathit{CDE}＝15°$ ，支架 AC长为1 m， $\angle \mathit{ACD}＝75°$ ，求跑步机手柄 AB所在直线与地面 DE之间的距离．（结果精确到0.1 m．参考数据： $\mathit{sin}15°\approx 0.26$ ， $\mathit{cos}15°\approx 0.97$ ， $\mathit{tan}15°\approx 0.27$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73$ ）

2021年，达州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 $30°$的河床斜坡边，斜坡 $\mathit{BC}$长为48米，在点 $D$处测得桥墩最高点 $A$的仰角为 $35°$， $\mathit{CD}$平行于水平线 $\mathit{BM}$， $\mathit{CD}$长为 $16\sqrt{3}$米，求桥墩 $\mathit{AB}$的高（结果保留1位小数）． $(\sin 35°\approx 0.57$， $\cos 35°\approx 0.82$， $\tan 35°\approx 0.70$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

一座吊桥的钢索立柱 $\mathit{AD}$ 两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索 $\mathit{AB}$ 的长度．他们测得 $\angle \mathit{ABD}$ 为 $30°$ ，由于 $B$ 、 $D$ 两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现 $\angle \mathit{ACD}$ 恰好为 $45°$ ，点 $B$ 与点 $C$ 之间的距离约为 $16m$ ．已知 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 共线， $\mathit{AD}\perp \mathit{BD}$ ．求钢索 $\mathit{AB}$ 的长度．（结果保留根号）

某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校"综合与实践"活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得 $\mathit{AB}=100\mathit{cm}$ ， $\mathit{BC}=80\mathit{cm}$ ， $\angle \mathit{ABC}=120°$ ， $\angle \mathit{BCD}=75°$ ，四边形 $\mathit{DEFG}$ 为矩形，且 $\mathit{DE}=5\mathit{cm}$ ．请帮助该小组求出指示牌最高点 $A$ 到地面 $\mathit{EF}$ 的距离（结果精确到 $0.1\mathit{cm}$ ．参考数据： $\sin 75°\approx 0.97$ ， $\cos 75°\approx 0.26$ ， $\tan 75°\approx 3.73$ ， $\sqrt{2}\approx 1.41)$ ．

如图，为了测量某建筑物 $\mathit{BC}$ 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端 $B$ 在同一水平线上的 $A$ 点出发，沿斜坡 $\mathit{AD}$ 行走130米至坡顶 $D$ 处，再从 $D$ 处沿水平方向继续前行若干米后至点 $E$ 处，在 $E$ 点测得该建筑物顶端 $C$ 的仰角为 $60°$ ，建筑物底端 $B$ 的俯角为 $45°$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一平面内，斜坡 $\mathit{AD}$ 的坡度 $i=1:2.4$ ．根据小颖的测量数据，计算出建筑物 $\mathit{BC}$ 的高度约为（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732\left)\right($ 　　 $)$

A．

136.6米

B．

86.7米

C．

186.7米

D．

86.6米

如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在 $C$ 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的 $A$ 处驶来，已知 $\mathit{CM}=3m$ ， $\mathit{CO}=5m$ ， $\mathit{DO}=3m$ ， $\angle \mathit{AOD}=70°$ ，汽车从 $A$ 处前行多少米才能发现 $C$ 处的儿童（结果保留整数）？

（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ； $\sin 70°\approx 0.94$ ， $\cos 70°\approx 0.34$ ， $\tan 70°\approx 2.75)$

如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 $\mathit{AD}=2$ 米，且两扇门的大小相同（即 $\mathit{AB}=\mathit{CD})$ ，将左边的门 $\mathit{AB}{B}_1{A}_1$ 绕门轴 $A{A}_1$ 向里面旋转 $35°$ ，将右边的门 $\mathit{CD}{D}_1{C}_1$ 绕门轴 $D{D}_1$ 向外面旋转 $45°$ ，其示意图如图2，求此时 $B$ 与 $C$ 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 35°\approx 0.6$ ， $\cos 35°\approx 0.8$ ， $\sqrt{2}\approx 1.4)$

某工程队准备从 $A$ 到 $B$ 修建一条隧道，测量员在直线 $\mathit{AB}$ 的同一侧选定 $C$ ， $D$ 两个观测点，如图．测得 $\mathit{AC}$ 长为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}\mathit{km}$ ， $\mathit{CD}$ 长为 $\frac{3}{4}(\sqrt{2}+\sqrt{6})\mathit{km}$ ， $\mathit{BD}$ 长为 $\frac{3}{2}\mathit{km}$ ， $\angle \mathit{ACD}=60°$ ， $\angle \mathit{CDB}=135°(A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一水平面内）．

（1）求 $A$ 、 $D$ 两点之间的距离；

（2）求隧道 $\mathit{AB}$ 的长度．

某工程队准备从 $A$到 $B$修建一条隧道，测量员在直线 $\mathit{AB}$的同一侧选定 $C$， $D$两个观测点，如图．测得 $\mathit{AC}$长为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}\mathit{km}$， $\mathit{CD}$长为 $\frac{3}{4}(\sqrt{2}+\sqrt{6})\mathit{km}$， $\mathit{BD}$长为 $\frac{3}{2}\mathit{km}$， $\angle \mathit{ACD}=60°$， $\angle \mathit{CDB}=135°(A$、 $B$、 $C$、 $D$在同一水平面内）．

（1）求 $A$、 $D$两点之间的距离；

（2）求隧道 $\mathit{AB}$的长度．