初中数学解直角三角形的应用试题

如图， $\mathit{\Delta ABC}$的顶点 $B$、 $C$的坐标分别是 $(1,0)$、 $(0,\sqrt{3})$，且 $\angle \mathit{ABC}=90°$， $\angle A=30°$，则顶点 $A$的坐标是 　　．

如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年 $(1535$年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：

方案设计：如图2，宝塔 $\mathit{CD}$垂直于地面，在地面上选取 $A$， $B$两处分别测得 $\angle \mathit{CAD}$和 $\angle \mathit{CBD}$的度数 $(A$， $D$， $B$在同一条直线上）．

数据收集：通过实地测量：地面上 $A$， $B$两点的距离为 $58m$， $\angle \mathit{CAD}=42°$， $\angle \mathit{CBD}=58°$．

问题解决：求宝塔 $\mathit{CD}$的高度（结果保留一位小数）．

参考数据： $\sin 42°\approx 0.67$， $\cos 42°\approx 0.74$， $\tan 42°\approx 0.90$， $\sin 58°\approx 0.85$， $\cos 58°\approx 0.53$， $\tan 58°\approx 1.60$．

根据上述方案及数据，请你完成求解过程．

一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为 $\mathit{\Delta ABC}$，点 $B$、 $C$、 $D$在同一条直线上，测得 $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\angle \mathit{ABC}=60°$， $\mathit{AB}=32\mathit{cm}$， $\angle \mathit{BDE}=75°$，其中一段支撑杆 $\mathit{CD}=84\mathit{cm}$，另一段支撑杆 $\mathit{DE}=70\mathit{cm}$．求支撑杆上的点 $E$到水平地面的距离 $\mathit{EF}$是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据： $\sin 15°\approx 0.26$， $\cos 15°\approx 0.97$， $\tan 15°\approx 0.27$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图，某研究性学习小组为测量学校 $A$ 与河对岸工厂 $B$ 之间的距离，在学校附近选一点 $C$ ，利用测量仪器测得 $\angle A=60°$ ， $\angle C=90°$ ， $\mathit{AC}=2\mathit{km}$ ．据此，可求得学校与工厂之间的距离 $\mathit{AB}$ 等于 $($ 　　 $)$

A．

$2\mathit{km}$

B．

$3\mathit{km}$

C．

$2\sqrt{3}\mathit{km}$

D．

$4\mathit{km}$

如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯 $\mathit{AB}$ 的倾斜角为 $37°$ ，大厅两层之间的距离 $\mathit{BC}$ 为6米，则自动扶梯 $\mathit{AB}$ 的长约为 $(\sin 37°\approx 0.6$ ， $\cos 37°\approx 0.8$ ， $\tan 37°\approx 0.75\left)\right($ 　　 $)$

A．

7.5米

B．

8米

C．

9米

D．

10米

2021年，达州河边新建成了一座美丽的大桥．某学校数学兴趣小组组织了一次测桥墩高度的活动，如图，桥墩刚好在坡角为 $30°$的河床斜坡边，斜坡 $\mathit{BC}$长为48米，在点 $D$处测得桥墩最高点 $A$的仰角为 $35°$， $\mathit{CD}$平行于水平线 $\mathit{BM}$， $\mathit{CD}$长为 $16\sqrt{3}$米，求桥墩 $\mathit{AB}$的高（结果保留1位小数）． $(\sin 35°\approx 0.57$， $\cos 35°\approx 0.82$， $\tan 35°\approx 0.70$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

图1是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图2是其示意图．支撑杆 $\mathit{AB}$ 垂直于地面 $l$ ，活动杆 $\mathit{CD}$ 固定在支撑杆上的点 $E$ 处．若 $\angle \mathit{AED}=48°$ ， $\mathit{BE}=110\mathit{cm}$ ， $\mathit{DE}=80\mathit{cm}$ ，求活动杆端点 $D$ 离地面的高度 $\mathit{DF}$ ．（结果精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 48°\approx 0.74$ ， $\cos 48°\approx 0.67$ ， $\tan 48°\approx 1.11)$

一座吊桥的钢索立柱 $\mathit{AD}$ 两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示．小明和小亮想用测量知识测较长钢索 $\mathit{AB}$ 的长度．他们测得 $\angle \mathit{ABD}$ 为 $30°$ ，由于 $B$ 、 $D$ 两点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现 $\angle \mathit{ACD}$ 恰好为 $45°$ ，点 $B$ 与点 $C$ 之间的距离约为 $16m$ ．已知 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 共线， $\mathit{AD}\perp \mathit{BD}$ ．求钢索 $\mathit{AB}$ 的长度．（结果保留根号）

某公园为引导游客观光游览公园的景点，在主要路口设置了导览指示牌，某校"综合与实践"活动小组想要测量此指示牌的高度，他们绘制了该指示牌支架侧面的截面图如图所示，并测得 $\mathit{AB}=100\mathit{cm}$ ， $\mathit{BC}=80\mathit{cm}$ ， $\angle \mathit{ABC}=120°$ ， $\angle \mathit{BCD}=75°$ ，四边形 $\mathit{DEFG}$ 为矩形，且 $\mathit{DE}=5\mathit{cm}$ ．请帮助该小组求出指示牌最高点 $A$ 到地面 $\mathit{EF}$ 的距离（结果精确到 $0.1\mathit{cm}$ ．参考数据： $\sin 75°\approx 0.97$ ， $\cos 75°\approx 0.26$ ， $\tan 75°\approx 3.73$ ， $\sqrt{2}\approx 1.41)$ ．

图1是第七届国际数学教育大会 $\left(\mathit{ICME}\right)$ 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\mathit{OABC}$ ．若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $\angle \mathit{AOB}=\alpha$ ，则 $O{C}^2$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+1$

B．

${\sin }^2\alpha +1$

C．

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1$

D．

${\cos }^2\alpha +1$

我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄 $\mathit{AP}$ 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角 $\angle \mathit{BAC}$ ，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，从而保证伞圈 $D$ 能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈 $D$ 已滑动到点 $D^{\text{'}}$ 的位置，且 $A$ ， $B$ ， $D\text{'}$ 三点共线， $\mathit{AD}\text{'}=40\mathit{cm}$ ， $B$ 为 $\mathit{AD}\text{'}$ 中点．当 $\angle \mathit{BAC}=140°$ 时，伞完全张开．

（1）求 $\mathit{AB}$ 的长．

（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈 $D$ 沿着伞柄向下滑动的距离．

（参考数据： $\sin 70°\approx 0.94$ ， $\cos 70°\approx 0.34$ ， $\tan 70°\approx 2.75)$

如图，为了测量某建筑物 $\mathit{BC}$ 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端 $B$ 在同一水平线上的 $A$ 点出发，沿斜坡 $\mathit{AD}$ 行走130米至坡顶 $D$ 处，再从 $D$ 处沿水平方向继续前行若干米后至点 $E$ 处，在 $E$ 点测得该建筑物顶端 $C$ 的仰角为 $60°$ ，建筑物底端 $B$ 的俯角为 $45°$ ，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一平面内，斜坡 $\mathit{AD}$ 的坡度 $i=1:2.4$ ．根据小颖的测量数据，计算出建筑物 $\mathit{BC}$ 的高度约为（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.732\left)\right($ 　　 $)$

A．

136.6米

B．

86.7米

C．

186.7米

D．

86.6米

如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在 $C$ 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的 $A$ 处驶来，已知 $\mathit{CM}=3m$ ， $\mathit{CO}=5m$ ， $\mathit{DO}=3m$ ， $\angle \mathit{AOD}=70°$ ，汽车从 $A$ 处前行多少米才能发现 $C$ 处的儿童（结果保留整数）？

（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ； $\sin 70°\approx 0.94$ ， $\cos 70°\approx 0.34$ ， $\tan 70°\approx 2.75)$

一酒精消毒瓶如图1， $\mathit{AB}$ 为喷嘴， $\mathit{\Delta BCD}$ 为按压柄， $\mathit{CE}$ 为伸缩连杆， $\mathit{BE}$ 和 $\mathit{EF}$ 为导管，其示意图如图2， $\angle \mathit{DBE}=\angle \mathit{BEF}=108°$ ， $\mathit{BD}=6\mathit{cm}$ ， $\mathit{BE}=4\mathit{cm}$ ．当按压柄 $\mathit{\Delta BCD}$ 按压到底时， $\mathit{BD}$ 转动到 $\mathit{BD}\text{'}$ ，此时 $\mathit{BD}\text{'}//\mathit{EF}$ （如图 $3)$ ．

（1）求点 $D$ 转动到点 $D\text{'}$ 的路径长；

（2）求点 $D$ 到直线 $\mathit{EF}$ 的距离（结果精确到 $0.1\mathit{cm})$ ．

（参考数据： $\sin 36°\approx 0.59$ ， $\cos 36°\approx 0.81$ ， $\tan 36°\approx 0.73$ ， $\sin 72°\approx 0.95$ ， $\cos 72°\approx 0.31$ ， $\tan 72°\approx 3.08)$

如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度 $\mathit{AD}=2$ 米，且两扇门的大小相同（即 $\mathit{AB}=\mathit{CD})$ ，将左边的门 $\mathit{AB}{B}_1{A}_1$ 绕门轴 $A{A}_1$ 向里面旋转 $35°$ ，将右边的门 $\mathit{CD}{D}_1{C}_1$ 绕门轴 $D{D}_1$ 向外面旋转 $45°$ ，其示意图如图2，求此时 $B$ 与 $C$ 之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据： $\sin 35°\approx 0.6$ ， $\cos 35°\approx 0.8$ ， $\sqrt{2}\approx 1.4)$