初中数学解直角三角形的应用试题

如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在 $C$ 处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的 $A$ 处驶来，已知 $\mathit{CM}=3m$ ， $\mathit{CO}=5m$ ， $\mathit{DO}=3m$ ， $\angle \mathit{AOD}=70°$ ，汽车从 $A$ 处前行多少米才能发现 $C$ 处的儿童（结果保留整数）？

（参考数据： $\sin 37°\approx 0.60$ ， $\cos 37°\approx 0.80$ ， $\tan 37°\approx 0.75$ ； $\sin 70°\approx 0.94$ ， $\cos 70°\approx 0.34$ ， $\tan 70°\approx 2.75)$

如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 $\mathit{OB}$与墙 $\mathit{MN}$平行且距离为0.8米．已知小汽车车门宽 $\mathit{AO}$为1.2米，当车门打开角度 $\angle \mathit{AOB}$为 $40°$时，车门是否会碰到墙？请说明理由．（参考数据： $\sin 40°\approx 0.64$； $\cos 40°\approx 0.77$； $\tan 40°\approx 0.84)$

太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成光伏瓦面，改建前屋顶截面 $\mathit{\Delta ABC}$如图2所示， $\mathit{BC}=10$米， $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{ACB}=36°$，改建后顶点 $D$在 $\mathit{BA}$的延长线上，且 $\angle \mathit{BDC}=90°$，求改建后南屋面边沿增加部分 $\mathit{AD}$的长．（结果精确到0.1米）

（参考数据： $\sin 18°\approx 0.31$， $\cos 18°\approx 0.95$． $\tan 18°\approx 0.32$， $\sin 36°\approx 0.59$． $\cos 36°\approx 0.81$， $\tan 36°\approx 0.73)$

如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在 $A$处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看作直线）与水平线构成 $30°$角，线段 $A{A}_1$表示小红身高1.5米．

（1）当风筝的水平距离 $\mathit{AC}=18$米时，求此时风筝线 $\mathit{AD}$的长度；

（2）当她从点 $A$跑动 $9\sqrt{2}$米到达点 $B$处时，风筝线与水平线构成 $45°$角，此时风筝到达点 $E$处，风筝的水平移动距离 $\mathit{CF}=10\sqrt{3}$米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度 $C_{1}D$．

如图是某小区的一个健身器材，已知 $\mathit{BC}=0.15m$， $\mathit{AB}=2.70m$， $\angle \mathit{BOD}=70°$，求端点 $A$到地面 $\mathit{CD}$的距离（精确到 $0.1m)$．（参考数据： $\sin 70°\approx 0.94$， $\cos 70°\approx 0.34$， $\tan 70°\approx 2.75)$

拓展小组研制的智能操作机器人，如图1，水平操作台为 $l$ ，底座 $\mathit{AB}$ 固定，高 $\mathit{AB}$ 为 $50\mathit{cm}$ ，连杆 $\mathit{BC}$ 长度为 $70\mathit{cm}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ 长度为 $60\mathit{cm}$ ．点 $B$ ， $C$ 是转动点，且 $\mathit{AB}$ ， $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{CD}$ 始终在同一平面内．

（1）转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，使 $\angle \mathit{ABC}=143°$ ， $\mathit{CD}//l$ ，如图2，求手臂端点 $D$ 离操作台 $l$ 的高度 $\mathit{DE}$ 的长（精确到 $1\mathit{cm}$ ，参考数据： $\sin 53°\approx 0.8$ ， $\cos 53°\approx 0.6)$ ．

（2）物品在操作台 $l$ 上，距离底座 $A$ 端 $110\mathit{cm}$ 的点 $M$ 处，转动连杆 $\mathit{BC}$ ，手臂 $\mathit{CD}$ ，手臂端点 $D$ 能否碰到点 $M$ ？请说明理由．

保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过 $30\mathit{cm}$，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛 $B$，肘关节 $C$和笔端 $A$的位置关系抽象成图2的 $\mathit{\Delta ABC}$，已知 $\mathit{BC}=30\mathit{cm}$， $\mathit{AC}=22\mathit{cm}$， $\angle \mathit{ACB}=53°$，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据： $\sin 53°\approx 0.8$， $\cos 53°\approx 0.6$， $\tan 53°\approx 1.3)$

某工程队准备从 $A$ 到 $B$ 修建一条隧道，测量员在直线 $\mathit{AB}$ 的同一侧选定 $C$ ， $D$ 两个观测点，如图．测得 $\mathit{AC}$ 长为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}\mathit{km}$ ， $\mathit{CD}$ 长为 $\frac{3}{4}(\sqrt{2}+\sqrt{6})\mathit{km}$ ， $\mathit{BD}$ 长为 $\frac{3}{2}\mathit{km}$ ， $\angle \mathit{ACD}=60°$ ， $\angle \mathit{CDB}=135°(A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 在同一水平面内）．

（1）求 $A$ 、 $D$ 两点之间的距离；

（2）求隧道 $\mathit{AB}$ 的长度．

某小区为了安全起见，决定将小区内的滑滑板的倾斜角由 $45°$调为 $30°$，如图，已知原滑滑板 $\mathit{AB}$的长为4米，点 $D$， $B$， $C$在同一水平地面上，调整后滑滑板会加长多少米？（结果精确到0.01米，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$， $\sqrt{6}\approx 2.449)$

如图，为了测量某条河的对岸边 $C$， $D$两点间的距离．在河的岸边与 $\mathit{CD}$平行的直线 $\mathit{EF}$上取两点 $A$， $B$，测得 $\angle \mathit{BAC}=45°$， $\angle \mathit{ABC}=37°$， $\angle \mathit{DBF}=60°$，量得 $\mathit{AB}$长为70米．求 $C$， $D$两点间的距离（参考数据： $\sin 37°\approx \frac{3}{5}$， $\cos 37°\approx \frac{4}{5}$， $\tan 37°\approx \frac{3}{4})$．

随州市新水一桥（如图1）设计灵感来源于市花 $--$兰花，采用蝴蝶兰斜拉桥方案，设计长度为258米，宽32米，为双向六车道，2018年4月3日通车．斜拉桥又称斜张桥，主要由索塔、主梁、斜拉索组成．某座斜拉桥的部分截面图如图2所示，索塔 $\mathit{AB}$和斜拉索（图中只画出最短的斜拉索 $\mathit{DE}$和最长的斜拉索 $\mathit{AC}$）均在同一水平面内， $\mathit{BC}$在水平桥面上．已知 $\angle \mathit{ABC}=\angle \mathit{DEB}=45°$， $\angle \mathit{ACB}=30°$， $\mathit{BE}=6$米， $\mathit{AB}=5\mathit{BD}$．

（1）求最短的斜拉索 $\mathit{DE}$的长；

（2）求最长的斜拉索 $\mathit{AC}$的长．

图1是第七届国际数学教育大会 $\left(\mathit{ICME}\right)$ 会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形 $\mathit{OABC}$ ．若 $\mathit{AB}=\mathit{BC}=1$ ， $\angle \mathit{AOB}=\alpha$ ，则 $O{C}^2$ 的值为 $($ 　　 $)$

A．

$\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+1$

B．

${\sin }^2\alpha +1$

C．

$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }+1$

D．

${\cos }^2\alpha +1$

图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄 AB与地面 DE平行，踏板 CD长为1.5 m， CD与地面 DE的夹角 $\angle \mathit{CDE}＝15°$ ，支架 AC长为1 m， $\angle \mathit{ACD}＝75°$ ，求跑步机手柄 AB所在直线与地面 DE之间的距离．（结果精确到0.1 m．参考数据： $\mathit{sin}15°\approx 0.26$ ， $\mathit{cos}15°\approx 0.97$ ， $\mathit{tan}15°\approx 0.27$ ， $\sqrt{3}\approx 1.73$ ）

某工程队准备从 $A$到 $B$修建一条隧道，测量员在直线 $\mathit{AB}$的同一侧选定 $C$， $D$两个观测点，如图．测得 $\mathit{AC}$长为 $\frac{3\sqrt{2}}{2}\mathit{km}$， $\mathit{CD}$长为 $\frac{3}{4}(\sqrt{2}+\sqrt{6})\mathit{km}$， $\mathit{BD}$长为 $\frac{3}{2}\mathit{km}$， $\angle \mathit{ACD}=60°$， $\angle \mathit{CDB}=135°(A$、 $B$、 $C$、 $D$在同一水平面内）．

（1）求 $A$、 $D$两点之间的距离；

（2）求隧道 $\mathit{AB}$的长度．

为进一步加强疫情防控工作，避免在测温过程中出现人员聚集现象，某学校决定安装，该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，无需人员停留和接触，安装说明书的部分内容如表．

名称	红外线体温检测仪
安装示意图
技术参数	探测最大角： $\angle \mathit{OBC}＝73.14°$
	探测最小角： $\angle \mathit{OAC}＝30.97°$
安装要求	本设备需安装在垂直于水平地面AC的支架CP上

根据以上内容，解决问题：

学校要求测温区域的宽度AB为4m，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．

（结果精确到0.1m，参考数据： $\mathit{sin}73.14°\approx 0.957，\mathit{cos}73.14°\approx 0.290$，t $\mathit{an}73.14°\approx 3.300$， $\mathit{sin}30.97°\approx 0.515$， $\mathit{cos}30.97°\approx 0.857$， $\text{t}\mathit{an}30.97°\approx 0.600$）