初中数学解直角三角形的应用-方向角问题解答题

据调查， 超速行驶是引发交通事故的主要原因之一 ． 小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测速， 如图所示， 观测点 $C$到公路的距离 $\mathit{CD}=200m$，检测路段的起点 $A$位于点 $C$的南偏东 $60°$方向上， 终点 $B$位于点 $C$的南偏东 $45°$方向上 ． 一辆轿车由东向西匀速行驶， 测得此车由 $A$处行驶到 $B$处的时间为 $10s$． 问此车是否超过了该路段 $16m/s$的限制速度？ （观 测点 $C$离地面的距离忽略不计， 参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 $A$处时，测得小岛 $C$位于它的北偏东 $70°$方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达 $B$处，测得小岛 $C$位于它的北偏东 $37°$方向．如果航母继续航行至小岛 $C$的正南方向的 $D$处，求还需航行的距离 $\mathit{BD}$的长．

（参考数据： $\sin 70°\approx 0.94$， $\cos 70°\approx 0.34$， $\tan 70°\approx 2.75$， $\sin 37°\approx 0.6$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75)$

如图，海中一渔船在 $A$处且与小岛 $C$相距 $70\mathit{nmile}$，若该渔船由西向东航行 $30\mathit{nmile}$到达 $B$处，此时测得小岛 $C$位于 $B$的北偏东 $30°$方向上；求该渔船此时与小岛 $C$之间的距离．

如图，海中有一小岛 $A$，它周围8海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 $B$点测得小岛 $A$在北偏东 $60°$方向上，航行12海里到达 $D$点，这时测得小岛 $A$在北偏东 $30°$方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在 $A$处测得灯塔 $P$在北偏东 $60°$方向上，海监船继续向东航行1小时到达 $B$处，此时测得灯塔 $P$在北偏东 $30°$方向上．

（1）求 $B$处到灯塔 $P$的距离；

（2）已知灯塔 $P$的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？

科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇 $C$游玩，到达 $A$地后，导航显示车辆应沿北偏西 $60°$方向行驶4千米至 $B$地，再沿北偏东 $45°$方向行驶一段距离到达古镇 $C$，小明发现古镇 $C$恰好在 $A$地的正北方向，求 $B$， $C$两地的距离．

如图，一艘船由 $A$港沿北偏东 $60°$方向航行 $10\mathit{km}$至 $B$港，然后再沿北偏西 $30°$方向航行 $10\mathit{km}$至 $C$港．

（1）求 $A$， $C$两港之间的距离（结果保留到 $0.1\mathit{km}$，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$；

（2）确定 $C$港在 $A$港的什么方向．

如图，一艘轮船位于灯塔 $P$的北偏东 $60°$方向，与灯塔 $P$的距离为80海里的 $A$处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$的南偏东 $45°$方向的 $B$处，求此时轮船所在的 $B$处与灯塔 $P$的距离．（参考数据： $\sqrt{6}\approx 2.449$，结果保留整数）

如图，一艘游轮在 $A$处测得北偏东 $45°$的方向上有一灯塔 $B$．游轮以 $20\sqrt{2}$海里 $/$时的速度向正东方向航行2小时到达 $C$处，此时测得灯塔 $B$在 $C$处北偏东 $15°$的方向上，求 $A$处与灯塔 $B$相距多少海里？（结果精确到1海里，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，我军的一艘军舰在南海海域巡航，在 $A$处时，某岛上的灯塔 $P$位于 $A$的南偏西 $30°$方向，距离为 $20\mathit{nmile}$，军舰沿南偏东 $15°$方向航行一段时间后到达 $B$处，此时，灯塔 $P$位于 $B$的西北方向上．

（1）分别求出 $\angle \mathit{PAB}$和 $\angle \mathit{PBA}$的大小；

（2）求 $B$到灯塔 $P$的距离．（结果保留1位小数，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图所示，在某海域，一艘指挥船在 $C$处收到渔船在 $B$处发出的求救信号，经确定，遇险抛锚的渔船所在的 $B$处位于 $C$处的南偏西 $45°$方向上，且 $\mathit{BC}=60$海里；指挥船搜索发现，在 $C$处的南偏西 $60°$方向上有一艘海监船 $A$，恰好位于 $B$处的正西方向．于是命令海监船 $A$前往搜救，已知海监船 $A$的航行速度为30海里 $/$小时，问渔船在 $B$处需要等待多长时间才能得到海监船 $A$的救援？（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45$，结果精确到0.1小时）

某区域平面示意图如图，点 $O$在河的一侧， $\mathit{AC}$和 $\mathit{BC}$表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在 $A$处测得点 $O$位于北偏东 $45°$，乙勘测员在 $B$处测得点 $O$位于南偏西 $73.7°$，测得 $\mathit{AC}=840m$， $\mathit{BC}=500m$．请求出点 $O$到 $\mathit{BC}$的距离．

参考数据： $\sin 73.7°\approx \frac{24}{25}$， $\cos 73.7°\approx \frac{7}{25}$， $\tan 73.7°\approx \frac{24}{7}$

如图， $C$地在 $A$地的正东方向，因有大山阻隔，由 $A$地到 $C$地需绕行 $B$地．已知 $B$地位于 $A$地北偏东 $67°$方向，距离 $A$地 $520\mathit{km}$， $C$地位于 $B$地南偏东 $30°$方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求 $A$地到 $C$地之间高铁线路的长．（结果保留整数）

（参考数据： $\sin 67°\approx \frac{12}{13}$， $\cos 67°\approx \frac{5}{13}$， $\tan 67°\approx \frac{12}{5}$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，上午 $9:00$时，甲、乙两船分别在 $A$、 $B$两处，乙船在甲船的正东方向，且两船之间的距离为33海里．甲船以30海里 $/$时的速度沿北偏东 $45°$方向匀速航行，乙船同时沿北偏东 $30°$方向匀速航行．上午 $11:00$时，甲船航行到 $C$处，乙船航行到 $D$处，此时乙船仍在甲船的正东方向．求两船之间的距离（结果精确到1海里）．

（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45)$

小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树 $A$和 $B$之间的距离，他在 $A$处测得大树 $B$在 $A$的北偏西 $30°$方向，他从 $A$处出发向北偏东 $15°$方向走了200米到达 $C$处，测得大树 $B$在 $C$的北偏西 $60°$方向．

（1）求 $\angle \mathit{ABC}$的度数；

（2）求两棵大树 $A$和 $B$之间的距离（结果精确到1米）（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414$， $\sqrt{3}\approx 1.732$， $\sqrt{6}\approx 2.449)$