初中数学解直角三角形的应用-方向角问题解答题

如图，一渔船自西向东追赶鱼群，在 $A$处测得某无名小岛 $C$在北偏东 $60°$方向上，前进2海里到达 $B$点，此时测得无名小岛 $C$在东北方向上．已知无名小岛周围2.5海里内有暗礁，问渔船继续追赶鱼群有无触礁危险？（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.414,\sqrt{3}\approx 1.732)$

如图，某巡逻艇计划以40海里 $/$时的速度从 $A$处向正东方向的 $D$处航行，出发1.5小时到达 $B$处时，突然接到 $C$处的求救信号，于是巡逻艇立刻以60海里 $/$时的速度向北偏东 $30°$方向的 $C$处航行，到达 $C$处后，测得 $A$处位于 $C$处的南偏西 $60°$方向，解救后巡逻艇又沿南偏东 $45°$方向航行到 $D$处．

（1）求巡逻艇从 $B$处到 $C$处用的时间．

（2）求巡逻艇实际比原计划多航行了多少海里？（结果精确到1海里）．

（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73,\sqrt{6}\approx 2.45)$

如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东 $75°$方向航行，在点 $A$处测得码头 $C$在船的东北方向，航行40分钟后到达 $B$处，这时码头 $C$恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头 $C$的最近距离．（结果精确到0.1海里，参考数据 $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，码头 $A$、 $B$分别在海岛 $O$的北偏东 $45°$和北偏东 $60°$方向上，仓库 $C$在海岛 $O$的北偏东 $75°$方向上，码头 $A$、 $B$均在仓库 $C$的正西方向，码头 $B$和仓库 $C$的距离 $\mathit{BC}=50\mathit{km}$，若将一批物资从仓库 $C$用汽车运送到 $A$、 $B$两个码头中的一处，再用货船运送到海岛 $O$，若汽车的行驶速度为 $50\mathit{km}/h$，货船航行的速度为 $25\mathit{km}/h$，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵海岛 $O$？（两个码头物资装船所用的时间相同，参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.4$， $\sqrt{3}\approx 1.7)$

今年，我国海关总署严厉打击“洋垃圾”违法行动，坚决把“洋垃圾”拒于国门之外．如图，某天我国一艘海监船巡航到 $A$港口正西方的 $B$处时，发现在 $B$的北偏东 $60°$方向，相距150海里处的 $C$点有一可疑船只正沿 $\mathit{CA}$方向行驶， $C$点在 $A$港口的北偏东 $30°$方向上，海监船向 $A$港口发出指令，执法船立即从 $A$港口沿 $\mathit{AC}$方向驶出，在 $D$处成功拦截可疑船只，此时 $D$点与 $B$点的距离为 $75\sqrt{2}$海里．

（1）求 $B$点到直线 $\mathit{CA}$的距离；

（2）执法船从 $A$到 $D$航行了多少海里？（结果保留根号）

超速行驶是一种十分危险的违法驾驶行为，在一条笔直的高速公路 $\mathit{MN}$上，小型车限速为每小时120千米，设置在公路旁的超速监测点 $C$，现测得一辆小型车在监测点 $C$的南偏西 $30°$方向的 $A$处，7秒后，测得其在监测点 $C$的南偏东 $45°$方向的 $B$处，已知 $\mathit{BC}=200$米， $B$在 $A$的北偏东 $75°$方向，请问：这辆车超速了吗？通过计算说明理由．（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，建筑物 $C$在观测点 $A$的北偏东 $65°$方向上，从观测点 $A$出发向南偏东 $40°$方向走了 $130m$到达观测点 $B$，此时测得建筑物 $C$在观测点 $B$的北偏东 $20°$方向上，求观测点 $B$与建筑物 $C$之间的距离．（结果精确到 $0.1m$．参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图， $A$， $B$两市相距 $150\mathit{km}$，国家级风景区中心 $C$位于 $A$市北偏东 $60°$方向上，位于 $B$市北偏西 $45°$方向上．已知风景区是以点 $C$为圆心、 $50\mathit{km}$为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接 $A$， $B$两市的高速公路，高速公路 $\mathit{AB}$是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图为某海域示意图，其中灯塔 $D$的正东方向有一岛屿 $C$．一艘快艇以每小时 $20\mathit{nmile}$的速度向正东方向航行，到达 $A$处时测得灯塔 $D$在东北方向上，继续航行 $0.3h$，到达 $B$处时测得灯塔 $D$在北偏东 $30°$方向上，同时测得岛屿 $C$恰好在 $B$处的东北方向上，此时快艇与岛屿 $C$的距离是多少？（结果精确到 $1\mathit{nmile}$．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45)$

如图为某海域示意图，其中灯塔 $D$的正东方向有一岛屿 $C$．一艘快艇以每小时 $20\mathit{nmile}$的速度向正东方向航行，到达 $A$处时测得灯塔 $D$在东北方向上，继续航行 $0.3h$，到达 $B$处时测得灯塔 $D$在北偏东 $30°$方向上，同时测得岛屿 $C$恰好在 $B$处的东北方向上，此时快艇与岛屿 $C$的距离是多少？（结果精确到 $1\mathit{nmile}$．参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.41$， $\sqrt{3}\approx 1.73$， $\sqrt{6}\approx 2.45)$

为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图，我国一艘海监船在 $A$处巡航时，监测到在正东方向的 $B$处有一艘可疑船只正匀速向正北方向航行，我国海监船立即沿北偏东 $45°$方向对该船只实施拦截，航行 $60\mathit{nmile}$后到达 $C$处，发现此时可疑船只在正东方向的 $D$处，我国海监船决定改变航向，沿北偏东 $60°$方向继续加速航行，又航行 $60\mathit{nmile}$后在 $E$处将该可疑船只成功拦截（结果保留根号）

（1）求当我国海监船到达 $C$处时，离可疑船只的距离 $\mathit{CD}$；

（2）成功拦截后，发现整个过程用时 $2h$，求可疑船只的航行速度．

如图为某景区五个景点 $A$， $B$， $C$， $D$， $E$的平面示意图， $B$， $A$在 $C$的正东方向， $D$在 $C$的正北方向， $D$， $E$在 $B$的北偏西 $30°$方向上， $E$在 $A$的西北方向上， $C$， $D$相距 $1000\sqrt{3}m$， $E$在 $\mathit{BD}$的中点处．

（1）求景点 $B$， $E$之间的距离；

（2）求景点 $B$， $A$之间的距离．（结果保留根号）

如图，亿隆小区内有一条南北方向的小路 $\mathit{MN}$，某快递员从小路旁的 $A$处出发沿南偏东 $53°$方向行走 $258m$将快递送至 $B$楼，又继续从 $B$楼沿南偏西 $30°$方向行走 $172m$将快递送至 $C$楼，求此时快递员到小路 $\mathit{MN}$的距离．（计算结果精确到 $1m$．参考数据： $\sin 53°\approx 0.80$， $\cos 53°\approx 0.60$， $\tan 53°\approx 1.33$， $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图为某区域部分交通线路图，其中直线 $l_1//l_2//l_3$，直线 $l$与直线 $l_1$、 $l_2$、 $l_3$都垂直，垂足分别为点 $A$、点 $B$和点 $C$，（高速路右侧边缘）， $l_2$上的点 $M$位于点 $A$的北偏东 $30°$方向上，且 $\mathit{BM}=\sqrt{3}$千米， $l_3$上的点 $N$位于点 $M$的北偏东 $\alpha$方向上，且 $\cos \alpha =\frac{\sqrt{13}}{13}$， $\mathit{MN}=2\sqrt{13}$千米，点 $A$和点 $N$是城际线 $L$上的两个相邻的站点．

（1）求 $l_2$和 $l_3$之间的距离；

（2）若城际火车平均时速为150千米 $/$小时，求市民小强乘坐城际火车从站点 $A$到站点 $N$需要多少小时？（结果用分数表示）

如图，某市郊外景区内一条笔直的公路 $l$经过 $A$、 $B$两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点 $C$．经测量， $C$位于 $A$的北偏东 $60°$的方向上， $C$位于 $B$的北偏东 $30°$的方向上，且 $\mathit{AB}=10\mathit{km}$．

（1）求景点 $B$与 $C$的距离；

（2）为了方便游客到景点 $C$游玩，景区管委会准备由景点 $C$向公路 $l$修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号）