初中数学解直角三角形的应用-方向角问题解答题

一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离．（结果保留根号）

如图，海中有一个小岛 A，它周围8海里内有暗礁．渔船跟踪鱼群由西向东航行，在 B点测得小岛 A在北偏东60°方向上，航行10海里到达 C点，这时测得小岛 A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？

如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460 km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点 A、 B、 C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长 AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．

某校组织学生到恩格贝 A和康镇 B进行研学活动，澄澄老师在网上查得， A和 B分

别位于学校 D的正北和正东方向， B位于 A南偏东37°方向，校车从 D出发，沿正北方向前往 A地，行驶到15千米的 E处时，导航显示，在 E处北偏东45°方向有一服务区 C，且 C位于 A， B两地中点处．

（1）求 E， A两地之间的距离；

（2）校车从 A地匀速行驶1小时40分钟到达 B地，若这段路程限速100千米/时，计算校车是否超速？

（参考数据：sin37°＝ $\frac{3}{5}$ ，cos37°＝ $\frac{4}{5}$ ，tan37°＝ $\frac{3}{4}$ ）

为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度，一天，我两艘海监船刚好在我某岛东西海岸线上的A、B两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在C处海域．如图所示， $\mathit{AB}=60(\sqrt{6}+\sqrt{2})$海里，在B处测得C在北偏东45°的方向上，A处测得C在北偏西30°的方向上，在海岸线AB上有一灯塔D，测得 $\mathit{AD}=120(\sqrt{6}-\sqrt{2})$海里．

（1）分别求出A与C及B与C的距离AC、BC（结果保留根号）

（2）已知在灯塔D周围100海里范围内有暗礁群，我在A处海监船沿AC前往C处盘查，图中有无触礁的危险？

（参考数据： $\sqrt{2}=1.41,\sqrt{3}=1.73,\sqrt{6}=2.45$）

在我市十个全覆盖工作的推动下，某乡镇准备在相距3千米的 A、 B两个工厂间修一条笔直的公路，在工厂 A北偏东60°方向、工厂北偏西45°方向有一点 P，以 P点为圆心，1.2千米为半径的区域是一个村庄，问修筑公路时，这个村庄是否有居民需要搬迁？（参考数据： $\sqrt{2}\approx 1.4$ ， $\sqrt{3}\approx 1.7$ ）

为有效开发海洋资源，保护海洋权益，我国对南海诸岛进行了全面调查，一测量船在 A岛测得 B岛在北偏西30°， C岛在北偏东15°，航行100海里到达 B岛，在 B岛测得 C岛在北偏东45°，求 B， C两岛及 A， C两岛的距离（ ≈2.45，结果保留到整数）

$A$ ， $B$ 两地间有一段笔直的高速铁路，长度为 $100\mathit{km}$ ．某时发生的地震对地面上以点 $C$ 为圆心， $30\mathit{km}$ 为半径的圆形区域内的建筑物有影响．分别从 $A$ ， $B$ 两地处测得点 $C$ 的方位角如图所示， $\tan \alpha =1.776$ ， $\tan \beta =1.224$ ．高速铁路是否会受到地震的影响？请通过计算说明理由．

如图，一艘船由 $A$ 港沿北偏东 $65°$ 方向航行 $38\mathit{km}$ 到 $B$ 港，然后再沿北偏西 $42°$ 方向航行至 $C$ 港，已知 $C$ 港在 $A$ 港北偏东 $20°$ 方向．

（1）直接写出 $\angle C$ 的度数；

（2）求 $A$ 、 $C$ 两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

如图，海中有一个小岛 $A$ ，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在 $B$ 点测得小岛 $A$ 在北偏西 $60°$ 方向上，航行12海里到达 $C$ 点，这时测得小岛 $A$ 在北偏西 $30°$ 方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据： $\sqrt{3}\approx 1.73)$

如图，某海岸边有 $B$ ， $C$ 两码头， $C$ 码头位于 $B$ 码头的正东方向，距 $B$ 码头40海里．甲、乙两船同时从 $A$ 岛出发，甲船向位于 $A$ 岛正北方向的 $B$ 码头航行，乙船向位于 $A$ 岛北偏东 $30°$ 方向的 $C$ 码头航行，当甲船到达距 $B$ 码头30海里的 $E$ 处时，乙船位于甲船北偏东 $60°$ 方向的 $D$ 处，求此时乙船与 $C$ 码头之间的距离．（结果保留根号）

如图，我国某海域有 $A$ ， $B$ 两个港口，相距80海里，港口 $B$ 在港口 $A$ 的东北方向，点 $C$ 处有一艘货船，该货船在港口 $A$ 的北偏西 $30°$ 方向，在港口 $B$ 的北偏西 $75°$ 方向，求货船与港口 $A$ 之间的距离．（结果保留根号）

为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地 $A$ 和人工智能科技馆 $C$ 参观学习如图，学校在点 $B$ 处， $A$ 位于学校的东北方向， $C$ 位于学校南偏东 $30°$ 方向， $C$ 在 $A$ 的南偏西 $15°$ 方向 $(30+30\sqrt{3})\mathit{km}$ 处．学生分成两组，第一组前往 $A$ 地，第二组前往 $C$ 地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是 $40\mathit{km}/h$ ，第二组乘公交车，速度是 $30\mathit{km}/h$ ，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．

如图，在一笔直的海岸线上有 $A$ ， $B$ 两个观测站， $A$ 在 $B$ 的正西方向， $\mathit{AB}=2\mathit{km}$ ，从观测站 $A$ 测得船 $C$ 在北偏东 $45°$ 的方向，从观测站 $B$ 测得船 $C$ 在北偏西 $30°$ 的方向．求船 $C$ 离观测站 $A$ 的距离．

如图，在港口 $A$处的正东方向有两个相距 $6\mathit{km}$的观测点 $B$、 $C$．一艘轮船从 $A$处出发，沿北偏东 $26°$方向航行至 $D$处，在 $B$、 $C$处分别测得 $\angle \mathit{ABD}=45°$、 $\angle C=37°$．求轮船航行的距离 $\mathit{AD}$．（参考数据： $\sin 26°\approx 0.44$， $\cos 26°\approx 0.90$， $\tan 26°\approx 0.49$， $\sin 37°\approx 0.60$， $\cos 37°\approx 0.80$， $\tan 37°\approx 0.75$． $)$