初中数学计算题

如图①，抛物线 $y=-x^2+(a+1)x-a$与 $x$轴交于 $A$， $B$两点（点 $A$位于点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$．已知 $\mathit{\Delta ABC}$的面积是6．

（1）求 $a$的值；

（2）求 $\mathit{\Delta ABC}$外接圆圆心的坐标；

（3）如图②， $P$是抛物线上一点， $Q$为射线 $\mathit{CA}$上一点，且 $P$、 $Q$两点均在第三象限内， $Q$、 $A$是位于直线 $\mathit{BP}$同侧的不同两点，若点 $P$到 $x$轴的距离为 $d$， $\mathit{\Delta QPB}$的面积为 $2d$，且 $\angle \mathit{PAQ}=\angle \mathit{AQB}$，求点 $Q$的坐标．

如图1，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BC}=3$，动点 $P$从 $B$出发，以每秒1个单位的速度，沿射线 $\mathit{BC}$方向移动，作 $\mathit{\Delta PAB}$关于直线 $\mathit{PA}$的对称 $\mathit{\Delta PAB}\text{'}$，设点 $P$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）若 $\mathit{AB}=2\sqrt{3}$．

①如图2，当点 $B\text{'}$落在 $\mathit{AC}$上时，显然 $\mathit{\Delta PAB}\text{'}$是直角三角形，求此时 $t$的值；

②是否存在异于图2的时刻，使得 $\mathit{\Delta PCB}\text{'}$是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的 $t$的值？若不存在，请说明理由．

（2）当 $P$点不与 $C$点重合时，若直线 $\mathit{PB}\text{'}$与直线 $\mathit{CD}$相交于点 $M$，且当 $t<3$时存在某一时刻有结论 $\angle \mathit{PAM}=45°$成立，试探究：对于 $t>3$的任意时刻，结论“ $\angle \mathit{PAM}=45°$”是否总是成立？请说明理由．

定义：若实数 $x$， $y$满足 $x^2=2y+t$， $y^2=2x+t$，且 $x\ne y$， $t$为常数，则称点 $M(x,y)$为“线点”．例如，点 $(0,-2)$和 $(-2,0)$是“线点”．已知：在直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，点 $P(m,n)$．

（1） $P_1(3,1)$和 $P_2(-3,1)$两点中，点　 　是“线点”；

（2）若点 $P$是“线点”，用含 $t$的代数式表示 $\mathit{mn}$，并求 $t$的取值范围；

（3）若点 $Q(n,m)$是“线点”，直线 $\mathit{PQ}$分别交 $x$轴、 $y$轴于点 $A$， $B$，当 $|\angle \mathit{POQ}-\angle \mathit{AOB}|=30°$时，直接写出 $t$的值．

学校数学兴趣小组利用机器人开展数学活动．

在相距150个单位长度的直线跑道 $\mathit{AB}$上，机器人甲从端点 $A$出发，匀速往返于端点 $A$、 $B$之间，机器人乙同时从端点 $B$出发，以大于甲的速度匀速往返于端点 $B$、 $A$之间．他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计．

兴趣小组成员探究这两个机器人迎面相遇的情况，这里的”迎面相遇“包括面对面相遇、在端点处相遇这两种．

（观察）

①观察图1，若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为30个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为　 　个单位长度；

②若这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为40个单位长度，则他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为　 　个单位长度；

（发现）

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为 $x$个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为 $y$个单位长度．兴趣小组成员发现了 $y$与 $x$的函数关系，并画出了部分函数图象（线段 $\mathit{OP}$，不包括点 $O$，如图2所示）．

① $a=$　 　；

②分别求出各部分图象对应的函数表达式，并在图2中补全函数图象；

（拓展）

设这两个机器人第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为 $x$个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离为 $y$个单位长度．

若这两个机器人第三次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离 $y$不超过60个单位长度，则他们第一次迎面相遇时，相遇地点与点 $A$之间的距离 $x$的取值范围是　 　．（直接写出结果）

如图所示，二次函数 $y=k{(x-1)}^2+2$的图象与一次函数 $y=\mathit{kx}-k+2$的图象交于 $A$、 $B$两点，点 $B$在点 $A$的右侧，直线 $\mathit{AB}$分别与 $x$、 $y$轴交于 $C$、 $D$两点，其中 $k<0$．

（1）求 $A$、 $B$两点的横坐标；

（2）若 $\mathit{\Delta OAB}$是以 $\mathit{OA}$为腰的等腰三角形，求 $k$的值；

（3）二次函数图象的对称轴与 $x$轴交于点 $E$，是否存在实数 $k$，使得 $\angle \mathit{ODC}=2\angle \mathit{BEC}$，若存在，求出 $k$的值；若不存在，说明理由．

已知：如图所示，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，四边形 $\mathit{OABC}$是矩形， $\mathit{OA}=4$， $\mathit{OC}=3$，动点 $P$从点 $C$出发，沿射线 $\mathit{CB}$方向以每秒2个单位长度的速度运动；同时，动点 $Q$从点 $O$出发，沿 $x$轴正半轴方向以每秒1个单位长度的速度运动．设点 $P$、点 $Q$的运动时间为 $t\left(s\right)$．

（1）当 $t=1s$时，求经过点 $O$， $P$， $A$三点的抛物线的解析式；

（2）当 $t=2s$时，求 $\tan \angle \mathit{QPA}$的值；

（3）当线段 $\mathit{PQ}$与线段 $\mathit{AB}$相交于点 $M$，且 $\mathit{BM}=2\mathit{AM}$时，求 $t\left(s\right)$的值；

（4）连接 $\mathit{CQ}$，当点 $P$， $Q$在运动过程中，记 $\mathit{\Delta CQP}$与矩形 $\mathit{OABC}$重叠部分的面积为 $S$，求 $S$与 $t$的函数关系式．

问题情境：如图1，在正方形 $\mathit{ABCD}$中， $E$为边 $\mathit{BC}$上一点（不与点 $B$、 $C$重合），垂直于 $\mathit{AE}$的一条直线 $\mathit{MN}$分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{AE}$、 $\mathit{CD}$于点 $M$、 $P$、 $N$．判断线段 $\mathit{DN}$、 $\mathit{MB}$、 $\mathit{EC}$之间的数量关系，并说明理由．

问题探究：在“问题情境”的基础上．

（1）如图2，若垂足 $P$恰好为 $\mathit{AE}$的中点，连接 $\mathit{BD}$，交 $\mathit{MN}$于点 $Q$，连接 $\mathit{EQ}$，并延长交边 $\mathit{AD}$于点 $F$．求 $\angle \mathit{AEF}$的度数；

（2）如图3，当垂足 $P$在正方形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{BD}$上时，连接 $\mathit{AN}$，将 $\mathit{\Delta APN}$沿着 $\mathit{AN}$翻折，点 $P$落在点 $P^{\text{'}}$处，若正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为4， $\mathit{AD}$的中点为 $S$，求 $P^{\text{'}}S$的最小值．

问题拓展：如图4，在边长为4的正方形 $\mathit{ABCD}$中，点 $M$、 $N$分别为边 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$上的点，将正方形 $\mathit{ABCD}$沿着 $\mathit{MN}$翻折，使得 $\mathit{BC}$的对应边 $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$恰好经过点 $A$， $C^{\text{'}}N$交 $\mathit{AD}$于点 $F$．分别过点 $A$、 $F$作 $\mathit{AG}\perp \mathit{MN}$， $\mathit{FH}\perp \mathit{MN}$，垂足分别为 $G$、 $H$．若 $\mathit{AG}=\frac{5}{2}$，请直接写出 $\mathit{FH}$的长．

如图，在平面直角坐标系中，四边形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AD}$在 $x$轴上，点 $C$在 $y$轴的负半轴上，直线 $\mathit{BC}//\mathit{AD}$，且 $\mathit{BC}=3$， $\mathit{OD}=2$，将经过 $A$、 $B$两点的直线 $l:y=-2x-10$向右平移，平移后的直线与 $x$轴交于点 $E$，与直线 $\mathit{BC}$交于点 $F$，设 $\mathit{AE}$的长为 $t(t⩾0)$．

（1）四边形 $\mathit{ABCD}$的面积为　 　；

（2）设四边形 $\mathit{ABCD}$被直线 $l$扫过的面积（阴影部分）为 $S$，请直接写出 $S$关于 $t$的函数解析式；

（3）当 $t=2$时，直线 $\mathit{EF}$上有一动点 $P$，作 $\mathit{PM}\perp$直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交 $x$轴于点 $N$，将 $\mathit{\Delta PMF}$沿直线 $\mathit{EF}$折叠得到 $\mathit{\Delta PTF}$，探究：是否存在点 $P$，使点 $T$恰好落在坐标轴上？若存在，请求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $y=-\frac{2}{3}{x}^2+\frac{7}{3}x-1$与 $x$轴交于点 $A$， $B$（点 $A$在点 $B$的左侧），与 $y$轴交于点 $C$，其顶点为 $D$．将抛物线位于直线 $l:y=t(t<\frac{25}{24})$上方的部分沿直线 $l$向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“ $M$”形的新图象．

（1）点 $A$， $B$， $D$的坐标分别为　 ，　 　，　 　；

（2）如图①，抛物线翻折后，点 $D$落在点 $E$处．当点 $E$在 $\mathit{\Delta ABC}$内（含边界）时，求 $t$的取值范围；

（3）如图②，当 $t=0$时，若 $Q$是“ $M$”形新图象上一动点，是否存在以 $\mathit{CQ}$为直径的圆与 $x$轴相切于点 $P$？若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由．

抛物线 $L:y=-x^2+\mathit{bx}+c$经过点 $A(0,1)$，与它的对称轴直线 $x=1$交于点 $B$．

（1）直接写出抛物线 $L$的解析式；

（2）如图1，过定点的直线 $y=\mathit{kx}-k+4(k<0)$与抛物线 $L$交于点 $M$、 $N$．若 $\mathit{\Delta BMN}$的面积等于1，求 $k$的值；

（3）如图2，将抛物线 $L$向上平移 $m(m>0)$个单位长度得到抛物线 $L_1$，抛物线 $L_1$与 $y$轴交于点 $C$，过点 $C$作 $y$轴的垂线交抛物线 $L_1$于另一点 $D$． $F$为抛物线 $L_1$的对称轴与 $x$轴的交点， $P$为线段 $\mathit{OC}$上一点．若 $\mathit{\Delta PCD}$与 $\mathit{\Delta POF}$相似，并且符合条件的点 $P$恰有2个，求 $m$的值及相应点 $P$的坐标．

如图，直线 $y=-\frac{3}{4}x+3$与 $x$轴交于点 $A$，与 $y$轴交于点 $B$．抛物线 $y=-\frac{3}{8}{x}^2+\mathit{bx}+c$经过 $A$、 $B$两点，与 $x$轴的另一个交点为 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$是第一象限抛物线上的点，连接 $\mathit{OP}$交直线 $\mathit{AB}$于点 $Q$．设点 $P$的横坐标为 $m$， $\mathit{PQ}$与 $\mathit{OQ}$的比值为 $y$，求 $y$与 $m$的函数关系式，并求出 $\mathit{PQ}$与 $\mathit{OQ}$的比值的最大值；

（3）点 $D$是抛物线对称轴上的一动点，连接 $\mathit{OD}$、 $\mathit{CD}$，设 $\mathit{\Delta ODC}$外接圆的圆心为 $M$，当 $\sin \angle \mathit{ODC}$的值最大时，求点 $M$的坐标．

如图1，在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，已知点 $A$和点 $B$的坐标分别为 $A(-2,0)$， $B(0,-6)$，将 $\text{Rt}\Delta \text{AOB}$绕点 $O$按顺时针方向分别旋转 $90°$， $180°$得到 $\mathit{Rt}$△ $A_1\mathit{OC}$， $\text{Rt}\Delta \text{EOF}$．抛物线 $C_1$经过点 $C$， $A$， $B$；抛物线 $C_2$经过点 $C$， $E$， $F$．

（1）点 $C$的坐标为　 　，点 $E$的坐标为　 　；抛物线 $C_1$的解析式为　 　．抛物线 $C_2$的解析式为　 　；

（2）如果点 $P(x,y)$是直线 $\mathit{BC}$上方抛物线 $C_1$上的一个动点．

①若 $\angle \mathit{PCA}=\angle \mathit{ABO}$时，求 $P$点的坐标；

②如图2，过点 $P$作 $x$轴的垂线交直线 $\mathit{BC}$于点 $M$，交抛物线 $C_2$于点 $N$，记 $h=\mathit{PM}+\mathit{NM}+\sqrt{2}\mathit{BM}$，求 $h$与 $x$的函数关系式，当 $-5⩽x⩽-2$时，求 $h$的取值范围．

已知两个二次函数 $y_1=x^2+\mathit{bx}+c$和 $y_2=x^2+m$．对于函数 $y_1$，当 $x=2$时，该函数取最小值．

（1）求 $b$的值；

（2）若函数 $y_1$的图象与坐标轴只有2个不同的公共点，求这两个公共点间的距离；

（3）若函数 $y_1$、 $y_2$的图象都经过点 $(1,-2)$，过点 $(0$， $a-3\left)\right(a$为实数）作 $x$轴的平行线，与函数 $y_1$、 $y_2$的图象共有4个不同的交点，这4个交点的横坐标分别是 $x_1$、 $x_2$、 $x_3$、 $x_4$，且 $x_1<x_2<x_3<x_4$，求 $x_4-x_3+x_2-x_1$的最大值．

如图1是一个用铁丝围成的篮筐，我们来仿制一个类似的柱体形篮筐．如图2，它是由一个半径为 $r$、圆心角 $90°$的扇形 $A_{2}O{B}_2$，矩形 $A_2{C}_2\mathit{EO}$、 $B_2{D}_2\mathit{EO}$，及若干个缺一边的矩形状框 $A_1{C}_1{D}_1{B}_1$、 $A_2{C}_2{D}_2{B}_2$、 $\dots$、 $A_n{B}_n{C}_n{D}_n$， $\mathit{OEFG}$围成，其中 $A_1$、 $G$、 $B_1$在 $\widehat{A_2{B}_2}$上， $A_2$、 $A_3\dots$、 $A_n$与 $B_2$、 $B_3$、 $\dots B_n$分别在半径 $O{A}_2$和 $O{B}_2$上， $C_2$、 $C_3$、 $\dots$、 $C_n$和 $D_2$、 $D_3\dots D_n$分别在 $E{C}_2$和 $E{D}_2$上， $\mathit{EF}\perp C_2{D}_2$于 $H_2$， $C_1{D}_1\perp \mathit{EF}$于 $H_1$， $F{H}_1=H_1{H}_2=d$， $C_1{D}_1$、 $C_2{D}_2$、 $C_3{D}_3$、 $C_n{D}_n$依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边 $C_n{D}_n$与点 $E$间的距离应不超过 $d)$， $A_1{C}_1//A_2{C}_2//A_3{C}_3//\dots //A_n{C}_n$

（1）求 $d$的值；

（2）问： $C_n{D}_n$与点 $E$间的距离能否等于 $d$？如果能，求出这样的 $n$的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？

如图①，在 $\mathit{\Delta ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=3$， $\angle \mathit{BAC}=100°$， $D$是 $\mathit{BC}$的中点．小明对图①进行了如下探究：在线段 $\mathit{AD}$上任取一点 $P$，连接 $\mathit{PB}$．将线段 $\mathit{PB}$绕点 $P$按逆时针方向旋转 $80°$，点 $B$的对应点是点 $E$，连接 $\mathit{BE}$，得到 $\mathit{\Delta BPE}$．小明发现，随着点 $P$在线段 $\mathit{AD}$上位置的变化，点 $E$的位置也在变化，点 $E$可能在直线 $\mathit{AD}$的左侧，也可能在直线 $\mathit{AD}$上，还可能在直线 $\mathit{AD}$的右侧．

请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：

（1）当点 $E$在直线 $\mathit{AD}$上时，如图②所示．

① $\angle \mathit{BEP}=$　 　 $°$；

②连接 $\mathit{CE}$，直线 $\mathit{CE}$与直线 $\mathit{AB}$的位置关系是　 　．

（2）请在图③中画出 $\mathit{\Delta BPE}$，使点 $E$在直线 $\mathit{AD}$的右侧，连接 $\mathit{CE}$．试判断直线 $\mathit{CE}$与直线 $\mathit{AB}$的位置关系，并说明理由．

（3）当点 $P$在线段 $\mathit{AD}$上运动时，求 $\mathit{AE}$的最小值．