初中数学解答题

如图，抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}-6$ 与 $x$ 轴相交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ， $\mathit{OA}=2$ ， $\mathit{OB}=4$ ，直线 $l$ 是抛物线的对称轴，在直线 $l$ 右侧的抛物线上有一动点 $D$ ，连接 $\mathit{AD}$ ， $\mathit{BD}$ ， $\mathit{BC}$ ， $\mathit{CD}$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $D$ 在 $x$ 轴的下方，当 $\mathit{\Delta BCD}$ 的面积是 $\frac{9}{2}$ 时，求 $\mathit{\Delta ABD}$ 的面积；

（3）在（2）的条件下，点 $M$ 是 $x$ 轴上一点，点 $N$ 是抛物线上一动点，是否存在点 $N$ ，使得以点 $B$ ， $D$ ， $M$ ， $N$ 为顶点，以 $\mathit{BD}$ 为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在等腰三角形 $\mathit{ABC}$ 中， $\angle A=120°$ ， $\mathit{AB}=\mathit{AC}$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别在边 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AC}$ 上， $\mathit{AD}=\mathit{AE}$ ，连接 $\mathit{BE}$ ，点 $M$ 、 $N$ 、 $P$ 分别为 $\mathit{DE}$ 、 $\mathit{BE}$ 、 $\mathit{BC}$ 的中点．

（1）观察猜想．

图1中，线段 $\mathit{NM}$ 、 $\mathit{NP}$ 的数量关系是 　 　， $\angle \mathit{MNP}$ 的大小为 　　．

（2）探究证明

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接 $\mathit{MP}$ 、 $\mathit{BD}$ 、 $\mathit{CE}$ ，判断 $\mathit{\Delta MNP}$ 的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸

把 $\mathit{\Delta ADE}$ 绕点 $A$ 在平面内自由旋转，若 $\mathit{AD}=1$ ， $\mathit{AB}=3$ ，请求出 $\mathit{\Delta MNP}$ 面积的最大值．

如图1，在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标是 $(0,-2)$ ，在 $x$ 轴上任取一点 $M$ ，连接 $\mathit{AM}$ ，分别以点 $A$ 和点 $M$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}\mathit{AM}$ 的长为半径作弧，两弧相交于 $G$ ， $H$ 两点，作直线 $\mathit{GH}$ ，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ 交直线 $\mathit{GH}$ 于点 $P$ ．根据以上操作，完成下列问题．

探究：

（1）线段 $\mathit{PA}$ 与 $\mathit{PM}$ 的数量关系为 　 　，其理由为： 　　．

（2）在 $x$ 轴上多次改变点 $M$ 的位置，按上述作图方法得到相应点 $P$ 的坐标，并完成下列表格：

$M$ 的坐标	$\dots$	$(-2,0)$	$(0,0)$	$(2,0)$	$(4,0)$	$\dots$
$P$ 的坐标	$\dots$		$(0,-1)$	$(2,-2)$		$\dots$

猜想：

（3）请根据上述表格中 $P$ 点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线 $L$ ，猜想曲线 $L$ 的形状是 　　．

验证：

（4）设点 $P$ 的坐标是 $(x,y)$ ，根据图1中线段 $\mathit{PA}$ 与 $\mathit{PM}$ 的关系，求出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式．

应用：

（5）如图3，点 $B(-1,\sqrt{3})$ ， $C(1,\sqrt{3})$ ，点 $D$ 为曲线 $L$ 上任意一点，且 $\angle \mathit{BDC}<30°$ ，求点 $D$ 的纵坐标 $y_D$ 的取值范围．

如图，抛物线的顶点为 $A(h,-1)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B(0,-\frac{1}{2})$ ，点 $F(2,1)$ 为其对称轴上的一个定点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）已知直线 $l$ 是过点 $C(0,-3)$ 且垂直于 $y$ 轴的定直线，若抛物线上的任意一点 $P(m,n)$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，求证： $\mathit{PF}=d$ ；

（3）已知坐标平面内的点 $D(4,3)$ ，请在抛物线上找一点 $Q$ ，使 $\mathit{\Delta DFQ}$ 的周长最小，并求此时 $\mathit{\Delta DFQ}$ 周长的最小值及点 $Q$ 的坐标．

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle A=\angle C=90°$， $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$分别平分 $\angle \mathit{ADC}$， $\angle \mathit{ABC}$，并交线段 $\mathit{AB}$， $\mathit{CD}$于点 $E$， $F$（点 $E$， $B$不重合）．在线段 $\mathit{BF}$上取点 $M$， $N$（点 $M$在 $\mathit{BN}$之间），使 $\mathit{BM}=2\mathit{FN}$．当点 $P$从点 $D$匀速运动到点 $E$时，点 $Q$恰好从点 $M$匀速运动到点 $N$．记 $\mathit{QN}=x$， $\mathit{PD}=y$，已知 $y=-\frac{6}{5}x+12$，当 $Q$为 $\mathit{BF}$中点时， $y=\frac{24}{5}$．

（1）判断 $\mathit{DE}$与 $\mathit{BF}$的位置关系，并说明理由．

（2）求 $\mathit{DE}$， $\mathit{BF}$的长．

（3）若 $\mathit{AD}=6$．

①当 $\mathit{DP}=\mathit{DF}$时，通过计算比较 $\mathit{BE}$与 $\mathit{BQ}$的大小关系．

②连结 $\mathit{PQ}$，当 $\mathit{PQ}$所在直线经过四边形 $\mathit{ABCD}$的一个顶点时，求所有满足条件的 $x$的值．

用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图 $1)$．

科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为 $H$（单位： $\mathit{cm})$，如果在离水面竖直距离为 $h$（单位： $\mathit{cm})$的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离） $s$（单位： $\mathit{cm})$与 $h$的关系式为 $s^2=4h(H-h)$．

应用思考：现用高度为 $20\mathit{cm}$的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离 $\mathit{hcm}$处开一个小孔．

（1）写出 $s^2$与 $h$的关系式；并求出当 $h$为何值时，射程 $s$有最大值，最大射程是多少？

（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为 $a$， $b$，要使两孔射出水的射程相同，求 $a$， $b$之间的关系式；

（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加 $16\mathit{cm}$，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．

如图1，矩形 $\mathit{DEFG}$中， $\mathit{DG}=2$， $\mathit{DE}=3$， $\text{Rt}\Delta \text{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}=90°$， $\mathit{CA}=\mathit{CB}=2$， $\mathit{FG}$， $\mathit{BC}$的延长线相交于点 $O$，且 $\mathit{FG}\perp \mathit{BC}$， $\mathit{OG}=2$， $\mathit{OC}=4$．将 $\mathit{\Delta ABC}$绕点 $O$逆时针旋转 $\alpha (0°⩽\alpha <180°)$得到△ $A\text{'}B\text{'}C\text{'}$．

（1）当 $\alpha =30°$时，求点 $C\text{'}$到直线 $\mathit{OF}$的距离．

（2）在图1中，取 $A\text{'}B\text{'}$的中点 $P$，连结 $C\text{'}P$，如图2．

①当 $C\text{'}P$与矩形 $\mathit{DEFG}$的一条边平行时，求点 $C\text{'}$到直线 $\mathit{DE}$的距离．

②当线段 $A\text{'}P$与矩形 $\mathit{DEFG}$的边有且只有一个交点时，求该交点到直线 $\mathit{DG}$的距离的取值范围．

[性质探究]

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中，对角线 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$相交于点 $O$， $\mathit{AE}$平分 $\angle \mathit{BAC}$，交 $\mathit{BC}$于点 $E$．作 $\mathit{DF}\perp \mathit{AE}$于点 $H$，分别交 $\mathit{AB}$， $\mathit{AC}$于点 $F$， $G$．

（1）判断 $\mathit{\Delta AFG}$的形状并说明理由．

（2）求证： $\mathit{BF}=2\mathit{OG}$．

[迁移应用]

（3）记 $\mathit{\Delta DGO}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta DBF}$的面积为 $S_2$，当 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{1}{3}$时，求 $\frac{\mathit{AD}}{\mathit{AB}}$的值．

[拓展延伸]

（4）若 $\mathit{DF}$交射线 $\mathit{AB}$于点 $F$，[性质探究]中的其余条件不变，连结 $\mathit{EF}$，当 $\mathit{\Delta BEF}$的面积为矩形 $\mathit{ABCD}$面积的 $\frac{1}{10}$时，请直接写出 $\tan \angle \mathit{BAE}$的值．

定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．

（1）如图1， $\angle E$是 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\angle A$的遥望角，若 $\angle A=\alpha$，请用含 $\alpha$的代数式表示 $\angle E$．

（2）如图2，四边形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O$， $\stackrel{̂}{\mathit{AD}}=\stackrel{̂}{\mathit{BD}}$，四边形 $\mathit{ABCD}$的外角平分线 $\mathit{DF}$交 $\odot O$于点 $F$，连结 $\mathit{BF}$并延长交 $\mathit{CD}$的延长线于点 $E$．求证： $\angle \mathit{BEC}$是 $\mathit{\Delta ABC}$中 $\angle \mathit{BAC}$的遥望角．

（3）如图3，在（2）的条件下，连结 $\mathit{AE}$， $\mathit{AF}$，若 $\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径．

①求 $\angle \mathit{AED}$的度数；

②若 $\mathit{AB}=8$， $\mathit{CD}=5$，求 $\mathit{\Delta DEF}$的面积．

如图，在平面直角坐标系中，正方形 $\mathit{ABOC}$的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过 $\mathit{OB}$， $\mathit{OC}$的中点 $D$， $E$作 $\mathit{AE}$， $\mathit{AD}$的平行线，相交于点 $F$，已知 $\mathit{OB}=8$．

（1）求证：四边形 $\mathit{AEFD}$为菱形．

（2）求四边形 $\mathit{AEFD}$的面积．

（3）若点 $P$在 $x$轴正半轴上（异于点 $D)$，点 $Q$在 $y$轴上，平面内是否存在点 $G$，使得以点 $A$， $P$， $Q$， $G$为顶点的四边形与四边形 $\mathit{AEFD}$相似？若存在，求点 $P$的坐标；若不存在，试说明理由．

在篮球比赛中，东东投出的球在点 $A$处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点 $B$．

（1）求该抛物线的函数表达式．

（2）当球运动到点 $C$时被东东抢到， $\mathit{CD}\perp x$轴于点 $D$， $\mathit{CD}=2.6m$．

①求 $\mathit{OD}$的长．

②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点 $D$处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点 $E(4,1.3)$．东东起跳后所持球离地面高度 $h_1\left(m\right)$（传球前）与东东起跳后时间 $t\left(s\right)$满足函数关系式 $h_1=-2{(t-0.5)}^2+2.7(0⩽t⩽1)$；小戴在点 $F(1.5,0)$处拦截，他比东东晚 $0.3s$垂直起跳，其拦截高度 $h_2\left(m\right)$与东东起跳后时间 $t\left(s\right)$的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点 $E$？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．

如图，已知在平面直角坐标系 $\mathit{xOy}$中，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+c(c>0)$的顶点为 $D$，与 $y$轴的交点为 $C$．过点 $C$的直线 $\mathit{CA}$与抛物线交于另一点 $A$（点 $A$在对称轴左侧），点 $B$在 $\mathit{AC}$的延长线上，连结 $\mathit{OA}$， $\mathit{OB}$， $\mathit{DA}$和 $\mathit{DB}$．

（1）如图1，当 $\mathit{AC}//x$轴时，

①已知点 $A$的坐标是 $(-2,1)$，求抛物线的解析式；

②若四边形 $\mathit{AOBD}$是平行四边形，求证： $b^2=4c$．

（2）如图2，若 $b=-2$， $\frac{\mathit{BC}}{\mathit{AC}}=\frac{3}{5}$，是否存在这样的点 $A$，使四边形 $\mathit{AOBD}$是平行四边形？若存在，求出点 $A$的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，已知 $\mathit{AC}$， $\mathit{BD}$为 $\odot O$的两条直径，连接 $\mathit{AB}$， $\mathit{BC}$， $\mathit{OE}\perp \mathit{AB}$于点 $E$，点 $F$是半径 $\mathit{OC}$的中点，连接 $\mathit{EF}$．

（1）设 $\odot O$的半径为1，若 $\angle \mathit{BAC}=30°$，求线段 $\mathit{EF}$的长．

（2）连接 $\mathit{BF}$， $\mathit{DF}$，设 $\mathit{OB}$与 $\mathit{EF}$交于点 $P$，

①求证： $\mathit{PE}=\mathit{PF}$．

②若 $\mathit{DF}=\mathit{EF}$，求 $\angle \mathit{BAC}$的度数．

如图1，已知四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形，点 $E$在 $\mathit{BA}$的延长线上， $\mathit{AE}=\mathit{AD}$． $\mathit{EC}$与 $\mathit{BD}$相交于点 $G$，与 $\mathit{AD}$相交于点 $F$， $\mathit{AF}=\mathit{AB}$．

（1）求证： $\mathit{BD}\perp \mathit{EC}$；

（2）若 $\mathit{AB}=1$，求 $\mathit{AE}$的长；

（3）如图2，连接 $\mathit{AG}$，求证： $\mathit{EG}-\mathit{DG}=\sqrt{2}\mathit{AG}$．

已知直线 $l_1:y=-2x+10$交 $y$轴于点 $A$，交 $x$轴于点 $B$，二次函数的图象过 $A$， $B$两点，交 $x$轴于另一点 $C$， $\mathit{BC}=4$，且对于该二次函数图象上的任意两点 $P_1(x_1$， $y_1)$， $P_2(x_2$， $y_2)$，当 $x_1>x_2⩾5$时，总有 $y_1>y_2$．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若直线 $l_2:y=\mathit{mx}+n(n\ne 10)$，求证：当 $m=-2$时， $l_2//l_1$；

（3） $E$为线段 $\mathit{BC}$上不与端点重合的点，直线 $l_3:y=-2x+q$过点 $C$且交直线 $\mathit{AE}$于点 $F$，求 $\mathit{\Delta ABE}$与 $\mathit{\Delta CEF}$面积之和的最小值．