初中数学解答题

在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $\mathit{OA}$ 交二次函数 $y=\frac{1}{4}{x}^2$ 的图象于点 $A$ ， $\angle \mathit{AOB}=90°$ ，点 $B$ 在该二次函数的图象上，设过点 $(0,m)$ （其中 $m>0)$ 且平行于 $x$ 轴的直线交直线 $\mathit{OA}$ 于点 $M$ ，交直线 $\mathit{OB}$ 于点 $N$ ，以线段 $\mathit{OM}$ 、 $\mathit{ON}$ 为邻边作矩形 $\mathit{OMPN}$ ．

（1）若点 $A$ 的横坐标为8．

①用含 $m$ 的代数式表示 $M$ 的坐标；

②点 $P$ 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 $m$ 的值；若不能，请说明理由．

（2）当 $m=2$ 时，若点 $P$ 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 $\mathit{OA}$ 的函数表达式．

如图，二次函数 $y_1=a{(x-m)}^2+n$ ， $y_2=6a{x}^2+n(a<0$ ， $m>0$ ， $n>0)$ 的图象分别为 $C_1$ 、 $C_2$ ， $C_1$ 交 $y$ 轴于点 $P$ ，点 $A$ 在 $C_1$ 上，且位于 $y$ 轴右侧，直线 $\mathit{PA}$ 与 $C_2$ 在 $y$ 轴左侧的交点为 $B$ ．

（1）若 $P$ 点的坐标为 $(0,2)$ ， $C_1$ 的顶点坐标为 $(2,4)$ ，求 $a$ 的值；

（2）设直线 $\mathit{PA}$ 与 $y$ 轴所夹的角为 $\alpha$ ．

①当 $\alpha =45°$ ，且 $A$ 为 $C_1$ 的顶点时，求 $\mathit{am}$ 的值；

②若 $\alpha =90°$ ，试说明：当 $a$ 、 $m$ 、 $n$ 各自取不同的值时， $\frac{\mathit{PA}}{\mathit{PB}}$ 的值不变；

（3）若 $\mathit{PA}=2\mathit{PB}$ ，试判断点 $A$ 是否为 $C_1$ 的顶点？请说明理由．

如图，已知 $\angle \mathit{MON}=90°$ ， $\mathit{OT}$ 是 $\angle \mathit{MON}$ 的平分线， $A$ 是射线 $\mathit{OM}$ 上一点， $\mathit{OA}=8\mathit{cm}$ ．动点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $1\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{AO}$ 水平向左作匀速运动，与此同时，动点 $Q$ 从点 $O$ 出发，也以 $1\mathit{cm}/s$ 的速度沿 $\mathit{ON}$ 竖直向上作匀速运动．连接 $\mathit{PQ}$ ，交 $\mathit{OT}$ 于点 $B$ ．经过 $O$ 、 $P$ 、 $Q$ 三点作圆，交 $\mathit{OT}$ 于点 $C$ ，连接 $\mathit{PC}$ 、 $\mathit{QC}$ ．设运动时间为 $t\left(s\right)$ ，其中 $0<t<8$ ．

（1）求 $\mathit{OP}+\mathit{OQ}$ 的值；

（2）是否存在实数 $t$ ，使得线段 $\mathit{OB}$ 的长度最大？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由．

（3）求四边形 $\mathit{OPCQ}$ 的面积．

【了解概念】

有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，连接这两个角的顶点的线段称为对余线．

【理解运用】

（1）如图①，对余四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AB}=5$ ， $\mathit{BC}=6$ ， $\mathit{CD}=4$ ，连接 $\mathit{AC}$ ．若 $\mathit{AC}=\mathit{AB}$ ，求 $\sin \angle \mathit{CAD}$ 的值；

（2）如图②，凸四边形 $\mathit{ABCD}$ 中， $\mathit{AD}=\mathit{BD}$ ， $\mathit{AD}\perp \mathit{BD}$ ，当 $2C{D}^2+C{B}^2=C{A}^2$ 时，判断四边形 $\mathit{ABCD}$ 是否为对余四边形．证明你的结论；

【拓展提升】

（3）在平面直角坐标系中，点 $A(-1,0)$ ， $B(3,0)$ ， $C(1,2)$ ，四边形 $\mathit{ABCD}$ 是对余四边形，点 $E$ 在对余线 $\mathit{BD}$ 上，且位于 $\mathit{\Delta ABC}$ 内部， $\angle \mathit{AEC}=90°+\angle \mathit{ABC}$ ．设 $\frac{\mathit{AE}}{\mathit{BE}}=u$ ，点 $D$ 的纵坐标为 $t$ ，请直接写出 $u$ 关于 $t$ 的函数解析式．

如图①，要在一条笔直的路边 $l$上建一个燃气站，向 $l$同侧的 $A$、 $B$两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．

（1）如图②，作出点 $A$关于 $l$的对称点 $A^{\text{'}}$，线段 $A^{\text{'}}B$与直线 $l$的交点 $C$的位置即为所求，即在点 $C$处建燃气站，所得路线 $\mathit{ACB}$是最短的．

为了证明点 $C$的位置即为所求，不妨在直线1上另外任取一点 $C^{\text{'}}$，连接 $A{C}^{\text{'}}$、 $B{C}^{\text{'}}$，证明 $\mathit{AC}+\mathit{CB}<\mathit{AC}\text{'}+C^{\text{'}}B$．请完成这个证明．

（2）如果在 $A$、 $B$两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．

①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示；

②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．

（1）如图1，点 $P$为矩形 $\mathit{ABCD}$对角线 $\mathit{BD}$上一点，过点 $P$作 $\mathit{EF}//\mathit{BC}$，分别交 $\mathit{AB}$、 $\mathit{CD}$于点 $E$、 $F$．若 $\mathit{BE}=2$， $\mathit{PF}=6$， $\mathit{\Delta AEP}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta CFP}$的面积为 $S_2$，则 $S_1+S_2=$　 　；

（2）如图2，点 $P$为 $▱\mathit{ABCD}$内一点（点 $P$不在 $\mathit{BD}$上），点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$分别为各边的中点．设四边形 $\mathit{AEPH}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{PFCG}$的面积为 $S_2$（其中 $S_2>S_1)$，求 $\mathit{\Delta PBD}$的面积（用含 $S_1$、 $S_2$的代数式表示）；

（3）如图3，点 $P$为 $▱\mathit{ABCD}$内一点（点 $P$不在 $\mathit{BD}$上），过点 $P$作 $\mathit{EF}//\mathit{AD}$， $\mathit{HG}//\mathit{AB}$，与各边分别相交于点 $E$、 $F$、 $G$、 $H$．设四边形 $\mathit{AEPH}$的面积为 $S_1$，四边形 $\mathit{PGCF}$的面积为 $S_2$（其中 $S_2>S_1)$，求 $\mathit{\Delta PBD}$的面积（用含 $S_1$、 $S_2$的代数式表示）；

（4）如图4，点 $A$、 $B$、 $C$、 $D$把 $\odot O$四等分．请你在圆内选一点 $P$（点 $P$不在 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BD}$上），设 $\mathit{PB}$、 $\mathit{PC}$、 $\widehat{\mathit{BC}}$围成的封闭图形的面积为 $S_1$， $\mathit{PA}$、 $\mathit{PD}$、 $\widehat{\mathit{AD}}$围成的封闭图形的面积为 $S_2$， $\mathit{\Delta PBD}$的面积为 $S_3$， $\mathit{\Delta PAC}$的面积为 $S_4$，根据你选的点 $P$的位置，直接写出一个含有 $S_1$、 $S_2$、 $S_3$、 $S_4$的等式（写出一种情况即可）．

如图①，二次函数 $y=-x^2+\mathit{bx}+4$的图象与直线 $l$交于 $A(-1,2)$、 $B(3,n)$两点．点 $P$是 $x$轴上的一个动点，过点 $P$作 $x$轴的垂线交直线1于点 $M$，交该二次函数的图象于点 $N$，设点 $P$的横坐标为 $m$．

（1） $b=$　　， $n=$　　；

（2）若点 $N$在点 $M$的上方，且 $\mathit{MN}=3$，求 $m$的值；

（3）将直线 $\mathit{AB}$向上平移4个单位长度，分别与 $x$轴、 $y$轴交于点 $C$、 $D$（如图② $)$．

①记 $\mathit{\Delta NBC}$的面积为 $S_1$， $\mathit{\Delta NAC}$的面积为 $S_2$，是否存在 $m$，使得点 $N$在直线 $\mathit{AC}$的上方，且满足 $S_1-S_2=6$？若存在，求出 $m$及相应的 $S_1$， $S_2$的值；若不存在，请说明理由．

②当 $m>-1$时，将线段 $\mathit{MA}$绕点 $M$顺时针旋转 $90°$得到线段 $\mathit{MF}$，连接 $\mathit{FB}$、 $\mathit{FC}$、 $\mathit{OA}$．若 $\angle \mathit{FBA}+\angle \mathit{AOD}-\angle \mathit{BFC}=45°$，直接写出直线 $\mathit{OF}$与该二次函数图象交点的横坐标．

如图，二次函数 $y=x^2+\mathit{bx}+3$的图象与 $y$轴交于点 $A$，过点 $A$作 $x$轴的平行线交抛物线于另一点 $B$，抛物线过点 $C(1,0)$，且顶点为 $D$，连接 $\mathit{AC}$、 $\mathit{BC}$、 $\mathit{BD}$、 $\mathit{CD}$．

（1）填空： $b=$　 　；

（2）点 $P$是抛物线上一点，点 $P$的横坐标大于1，直线 $\mathit{PC}$交直线 $\mathit{BD}$于点 $Q$．若 $\angle \mathit{CQD}=\angle \mathit{ACB}$，求点 $P$的坐标；

（3）点 $E$在直线 $\mathit{AC}$上，点 $E$关于直线 $\mathit{BD}$对称的点为 $F$，点 $F$关于直线 $\mathit{BC}$对称的点为 $G$，连接 $\mathit{AG}$．当点 $F$在 $x$轴上时，直接写出 $\mathit{AG}$的长．

如图所示，二次函数 $y=a{x}^2+\mathit{bx}+c(a>0)$的图象（记为抛物线 $\Gamma )$与 $y$轴交于点 $C$，与 $x$轴分别交于点 $A$、 $B$，点 $A$、 $B$的横坐标分别记为 $x_1$， $x_2$，且 $0<x_1<x_2$．

（1）若 $a=c$， $b=-3$，且过点 $(1,-1)$，求该二次函数的表达式；

（2）若关于 $x$的一元二次方程 $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$的判别式△ $=4$．求证：当 $b<-\frac{5}{2}$时，二次函数 $y_1=a{x}^2+(b+1)x+c$的图象与 $x$轴没有交点．

（3）若 $A{B}^2=\frac{c^2-2c+6}{c}$，点 $P$的坐标为 $(-\sqrt{x_0}$， $-1)$，过点 $P$作直线 $l$垂直于 $y$轴，且抛物线的 $\Gamma$的顶点在直线 $l$上，连接 $\mathit{OP}$、 $\mathit{AP}$、 $\mathit{BP}$， $\mathit{PA}$的延长线与抛物线 $\Gamma$交于点 $D$，若 $\angle \mathit{OPB}=\angle \mathit{DAB}$，求 $x_0$的最小值．

如图，半径为4的 $\odot O$中，弦 $\mathit{AB}$的长度为 $4\sqrt{3}$，点 $C$是劣弧 $\widehat{\mathit{AB}}$上的一个动点，点 $D$是弦 $\mathit{AC}$的中点，点 $E$是弦 $\mathit{BC}$的中点，连接 $\mathit{DE}$、 $\mathit{OD}$、 $\mathit{OE}$．

（1）求 $\angle \mathit{AOB}$的度数；

（2）当点 $C$沿着劣弧 $\widehat{\mathit{AB}}$从点 $A$开始，逆时针运动到点 $B$时，求 $\mathit{\Delta ODE}$的外心 $P$所经过的路径的长度；

（3）分别记 $\mathit{\Delta ODE}$， $\mathit{\Delta CDE}$的面积为 $S_1$， $S_2$，当 $S_1^2-S_2^2=21$时，求弦 $\mathit{AC}$的长度．

如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线 $F_1:y=a{(x-\frac{2}{5})}^2+\frac{64}{15}$ 与 $x$ 轴交于点 $A(-\frac{6}{5}$ ， $0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求抛物线 $F_1$ 的表达式；

（2）如图2，将抛物线 $F_1$ 先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线 $F_2$ ，若抛物线 $F_1$ 与抛物线 $F_2$ 相交于点 $D$ ，连接 $\mathit{BD}$ ， $\mathit{CD}$ ， $\mathit{BC}$ ．

①求点 $D$ 的坐标；

②判断 $\mathit{\Delta BCD}$ 的形状，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，抛物线 $F_2$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $\mathit{\Delta BDP}$ 为等腰直角三角形，若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为 $6\mathit{cm}$ ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．

如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成 $45°$ 的角，将该纸条从右往左平移．

（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．

（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形 $\mathit{ABCD}$ 时，求证：四边形 $\mathit{ABCD}$ 是菱形．

（3）设平移的距离为 $\mathit{xcm}(0<x⩽6+6\sqrt{2})$ ，两张纸条重叠部分的面积为 $\mathit{sc}{m}^2$ ．求 $s$ 与 $x$ 的函数关系式，并求 $s$ 的最大值．

定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为"直角等邻对补"四边形，简称"直等补"四边形．

根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形 $\mathit{ABCD}$ 中， $E$ 是 $\mathit{CD}$ 上的点，将 $\mathit{\Delta BCE}$ 绕 $B$ 点旋转，使 $\mathit{BC}$ 与 $\mathit{BA}$ 重合，此时点 $E$ 的对应点 $F$ 在 $\mathit{DA}$ 的延长线上，则四边形 $\mathit{BEDF}$ 为"直等补"四边形，为什么？

（2）如图2，已知四边形 $\mathit{ABCD}$ 是"直等补"四边形， $\mathit{AB}=\mathit{BC}=5$ ， $\mathit{CD}=1$ ， $\mathit{AD}>\mathit{AB}$ ，点 $B$ 到直线 $\mathit{AD}$ 的距离为 $\mathit{BE}$ ．

①求 $\mathit{BE}$ 的长；

②若 $M$ 、 $N$ 分别是 $\mathit{AB}$ 、 $\mathit{AD}$ 边上的动点，求 $\mathit{\Delta MNC}$ 周长的最小值．

已知直线 $y=\mathit{kx}-2$ 与抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c(b$ ， $c$ 为常数， $b>0)$ 的一个交点为 $A(-1,0)$ ，点 $M(m,0)$ 是 $x$ 轴正半轴上的动点．

（1）当直线 $y=\mathit{kx}-2$ 与抛物线 $y=x^2-\mathit{bx}+c(b$ ， $c$ 为常数， $b>0)$ 的另一个交点为该抛物线的顶点 $E$ 时，求 $k$ ， $b$ ， $c$ 的值及抛物线顶点 $E$ 的坐标；

（2）在（1）的条件下，设该抛物线与 $y$ 轴的交点为 $C$ ，若点 $Q$ 在抛物线上，且点 $Q$ 的横坐标为 $b$ ，当 $S_{\mathit{\Delta EQM}}=\frac{1}{2}{S}_{\mathit{\Delta ACE}}$ 时，求 $m$ 的值；

（3）点 $D$ 在抛物线上，且点 $D$ 的横坐标为 $b+\frac{1}{2}$ ，当 $\sqrt{2}\mathit{AM}+2\mathit{DM}$ 的最小值为 $\frac{27\sqrt{2}}{4}$ 时，求 $b$ 的值．

如图，抛物线 $y=-x^2+\mathit{bx}+5$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点．

（1）若过点 $C$ 的直线 $x=2$ 是抛物线的对称轴．

①求抛物线的解析式；

②对称轴上是否存在一点 $P$ ，使点 $B$ 关于直线 $\mathit{OP}$ 的对称点 $B^{\text{'}}$ 恰好落在对称轴上．若存在，请求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

（2）当 $b⩾4$ ， $0⩽x⩽2$ 时，函数值 $y$ 的最大值满足 $3⩽y⩽15$ ，求 $b$ 的取值范围．