初中数学解答题

已知 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c$为正整数，且 $\frac{\sqrt{3}a+b}{\sqrt{3}b+c}$为有理数，证明： $\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$为整数.

若有理数 $x\mathrm{，}y\mathrm{，}z$满足 $\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)$，试确定 ${\left(x-yz\right)}^3$的值.

若 $m$满足关系式 $\sqrt{3x+5y-2-m}+\sqrt{2x+3y-m}=\sqrt{x+y-1}\cdot \sqrt{1-x-y}$，求 $m$的值.

已知 $\mathrm{（}a-2{\mathrm{）}}^2+\sqrt{\mathit{ab}-6}=0$，求 $\frac{1}{\mathit{ab}}+\frac{1}{\mathrm{（}a+1\mathrm{）（}b+1\mathrm{）}}+\frac{1}{\mathrm{（}a+2\mathrm{）（}b+2\mathrm{）}}+\cdots \frac{1}{\mathrm{（}a+2019\mathrm{）（}b+2019\mathrm{）}}+\frac{1}{\mathrm{（}a+2020\mathrm{）（}b+2020\mathrm{）}}$的值.

设 $S_1=1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}\mathrm{，}{S}_2=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\mathrm{，}{S}_3=1+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}\mathrm{，}\cdots \mathrm{，}{S}_n=1+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{\mathrm{（}n+1{\mathrm{）}}^2}$，求 $\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\cdots +\sqrt{S_n}$的值.（用含 $n$的代数式表示，其中 $n$为正整数）

若实数 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c$满足关系式： $\sqrt{a-199+b}-\sqrt{199-a-b}=\sqrt{3a+5b-2-c}+\sqrt{2a+3b-c}$，试确定 $c$的值.

设 $y=\frac{\mathit{ax}+b}{\mathit{cx}+d}$， $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c\mathrm{，}d$都是有理数， $x$是无理数.求证：

（1）当 $\mathit{bc}=\mathit{ad}$时， $y$是有理数；

（2）当 $\mathit{bc}\ne \mathit{ad}$时， $y$是无理数.

设 $x\mathrm{，}y$都是有理数，且满足方程 $\left(\frac{1}{2}+\frac{\pi }{3}\right)x+\left(\frac{1}{3}+\frac{\pi }{2}\right)y-4-\pi =0$，求 $x-y$的值.

已知实数 $\frac{5+\sqrt{5}}{7}$的小数部分为 $a$， $\frac{7-\sqrt{3}}{5}$的小数部分为 $b$，求 $7a+5b$的值.

如图，两个相同的直角梯形重叠在一起，将其中一个直角梯形沿 $\mathit{AD}$的方向平移，平移的距离为 $\mathit{AE}$的长，求阴影部分的面积（单位： $m$）.

（1）已知平面内有 $4$条直线 $a,b,c$和 $d$.直线 $a,b$和 $c$相交于一点，直线 $b,c$和 $d$也相交于一点，试确定这 $4$条直线共有多少个交点?并说明你的理由.

（2）作第 $5$条直线 $e$与（1）中的直线 $d$平行，说明以这 $5$条直线的交点为端点的线段有多少条?

如图，已知 $\angle \mathit{EFC}+\angle \mathit{BDC}=180°$， $\angle \mathit{DEF}=\angle B$，求证： $\angle \mathit{EDC}=\angle \mathit{BCD}$.

如图，已知 $\mathit{AB}//\mathit{CD},\angle \mathit{BAF}=\frac{1}{4}\angle \mathit{BAE},\angle \mathit{DCF}=\frac{1}{2}\angle \mathit{DCE}$， $\angle \mathit{EAF}=\angle \mathit{DCF}$，且 $\angle \mathit{AEC}+\angle \mathit{AFC}=140°$，则 $\angle \mathit{AEC}$的度数是多少?

如图， $\angle \mathit{GEF}$和 $\angle \mathit{DFE}$的角平分线相交于点 $H$， $\mathit{AB}\parallel \mathit{CD}$， $\angle B=\angle D$.求证： $\mathit{EH}\perp \mathit{HF}$.

如图，已知直线 $\mathit{BC}//\mathit{OA},\angle C=\angle \mathit{OAB}={100}^{\circ },E,F$在 $\mathit{CB}$上，且满足 $\angle \mathit{FOB}=\angle \mathit{AOB},\mathit{OE}$平分 $\angle \mathit{COF}$.

（1）求 $\angle \mathit{EOB}$的度数；

（2）若平行移动 $\mathit{AB}$，那么 $\angle \mathit{OBC}:\angle \mathit{OFC}$的值是否随之发生变化?若变化，找出规律；若不变，求出这个比值；

（3）在平行移动 $\mathit{AB}$的过程中，是否存在某种情况，使 $\angle \mathit{OEC}=\angle \mathit{OBA}$?若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.