初中数学解答题

化简: $\sqrt{37+20\sqrt{3}}+\sqrt{37-20\sqrt{3}}$.

定义 $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt[3]{x^2+2x+1}+\sqrt[3]{x^2-1}+\sqrt[3]{x^2-2x+1}}$，求 $f\left(1\right)+f\left(3\right)+f\left(5\right)+\cdots +f\left(2k-1\right)+f\left(999\right)$的值.

设 $x=\frac{\sqrt{t+1}-\sqrt{t}}{\sqrt{t+1}+\sqrt{t}}\mathrm{，}y=\frac{\sqrt{t+1}+\sqrt{t}}{\sqrt{t+1}-\sqrt{t}}\mathrm{，}t$为何值时，代数式 $20x^2+41\mathit{xy}+20y^2$的值为 $2001$.

（1）化简: $\frac{\sqrt{6}+4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}$;

（2）设 $a=\frac{16}{\sqrt{17}+1}$，求 $a^5+2a^4-17a^3-a^2+18a-17$的值.

正数 $m\mathrm{，}n$满足 $m+4\sqrt{\mathit{mn}}-2\sqrt{m}-4\sqrt{n}+4n=3$，求 $\frac{\sqrt{m}+2\sqrt{n}-8}{\sqrt{m}+2\sqrt{n}+2022}$的值.

计算与求值.

（1）已知 $a=\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，求 $\frac{a^2-2a+1}{a-1}-\frac{\sqrt{a^2-2a+1}}{a^2-a}$的值.

（2）计算: $\frac{\left(2^4+\frac{1}{4}\right)\left(4^4+\frac{1}{4}\right)\left(6^4+\frac{1}{4}\right)\left(8^4+\frac{1}{4}\right)\left({10}^4+\frac{1}{4}\right)}{\left(1^4+\frac{1}{4}\right)\left(3^4+\frac{1}{4}\right)\left(5^4+\frac{1}{4}\right)\left(7^4+\frac{1}{4}\right)\left(9^4+\frac{1}{4}\right)}$.

先阅读再化简求值.

（1）在化简 $\sqrt{7-2\sqrt{10}}$的过程中，小王和小李的化简结果不一样.

小王的化简过程如下：

原式 $=\sqrt{2-2\sqrt{2\times 5}+5}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}^2}=\sqrt{2}-\sqrt{5}$.

小李的化简过程如下：

原式 $=\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{5}+{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\sqrt{{\left(\sqrt{2}-\sqrt{5}\right)}^2}=\sqrt{5}-\sqrt{2}$.

请判断谁的化简结果正确，并说明理由.

（2）化简求值：已知 $x=\sqrt{6-2\sqrt{5}}$，求 $\left(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}\right)\cdot \frac{x^2-4}{2\left(x-1\right)}$的值（结果保留根号）.

已知 $\sqrt{x}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\left(0<a<1\right)$，求代数式 $\frac{x^2+x-6}{x}÷\frac{x+3}{x^2-2x}-\frac{x-2+\sqrt{x^2-4x}}{x-2-\sqrt{x^2-4x}}$的值.

已知正实数 $a\mathrm{，}b$满足： $a+b=1$，且 $\frac{1-\sqrt{b}+\sqrt{a}}{1-\sqrt{b}-\sqrt{a}}+\frac{1-\sqrt{b}-\sqrt{a}}{1-\sqrt{b}+\sqrt{a}}=-4$，求 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$的值.

（1）先化简再求值： $\frac{a^2-b^2}{a^{2}b+a{b}^2}÷\left(1-\frac{a^2+b^2}{2\mathit{ab}}\right)$，其中 $a=2+\sqrt{3}\mathrm{，}b=2-\sqrt{3}$

（2）已知 $a\mathrm{，}b\mathrm{，}c$为 $△\mathit{ABC}$的三边，化简： $\sqrt{{\left(a+b+c\right)}^2}+\sqrt{{\left(a-b-c\right)}^2}+\sqrt{{\left(b-a-c\right)}^2}$.

若 $\frac{1}{3-\sqrt{7}}$的整数部分是 $a$，小数部分是 $b$，求 $a^2+\left(1+\sqrt{7}\right)\mathit{ab}$的值.

在等腰梯形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=\mathit{DC}=5,\mathit{AD}=4,\mathit{BC}=10$，点 $E$在下底边 $\mathit{BC}$上，点 $F$在腰 $\mathit{AB}$上.

（1）若 $\mathit{EF}$平分等腰梯形 $\mathit{ABCD}$的周长，设 $\mathit{BE}$长为 $x$，试用含 $x$的代数式表示 $△\mathit{BEF}$的面积；

（2）是否存在线段 $\mathit{EF}$将等腰梯形 $\mathit{ABCD}$的周长和面积同时平分?若存在，求出此时 $\mathit{BE}$的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段 $\mathit{EF}$将等腰梯形 $\mathit{ABCD}$的周长和面积同时分成 $1:2$的两部分?若存在，求出此时 $\mathit{BE}$的长；若不存在，请说明理由.

如图，在平面直角坐标系中， $△\mathit{AOB}$的边 $\mathit{OA}$在 $x$轴上， $\mathit{OA}=\mathit{AB}$，且线段 $\mathit{OA}$的长是方程 $x^2-4x-5=0$的根，过点 $B$作 $\mathit{BE}\perp x$轴，垂足为 $E,\text{tan}\angle \mathit{BAE}=\frac{4}{3}$，动点 $M$以每秒 $1$个单位长度的速度，从点 $A$出发，沿线段 $\mathit{AB}$向点 $B$运动，到达点 $B$停止.过点 $M$作 $x$轴的垂线，垂足为 $D$，以 $\mathit{MD}$为边作正方形 $\mathit{MDCF}$，点 $C$在线段 $\mathit{OA}$上，设正方形 $\mathit{MDCF}$与 $△\mathit{AOB}$重叠部分的面积为 $S$，点 $M$的运动时间为 $t(t>0)\text{s}$.

（1）求点 $B$的坐标；

（2）求 $S$关于 $t$的函数解析式，并写出自变量 $t$的取值范围；

（3）当点 $F$落在线段 $\mathit{OB}$上时，坐标平面内是否存在一点 $P$，使以 $M,A,O,P$为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点 $P$的坐标；若不存在，请说明理由.

如图，已知二次函数的图象与 $x$轴交于 $A$和 $B\left(-3,0\right)$两点，与 $y$轴交于 $C\left(0,-3\right)$，对称轴为直线 $x=-1$，直线 $y=-2x+m$经过点 $A$，且与 $y$轴交于点 $D$，与抛物线交于点 $E$，与对称轴交于点 $F$.

（1）求抛物线的解析式和 $m$的值；

（2）在 $y$轴上是否存在点 $P$，使得以 $D,E,P$为顶点的三角形与 $△\mathit{AOD}$相似，若存在，求出点 $P$的坐标；若不存在，试说明理由；

（3）直线 $y=1$上有 $M,N$两点 $(M$在 $N$的左侧 $)$，且 $\mathit{MN}=2$，若将线段 $\mathit{MN}$在直线 $y=1$上平移，当它移动到某一位置时，四边形 $\mathit{MEFN}$的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）.

在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”.

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆” $\mathit{AP},\mathit{BP}$的连接点 $P$在 $\odot O$上，当点 $P$在 $\odot O$上转动时，带动点 $A,B$分别在射线 $\mathit{OM},\mathit{ON}$上滑动， $\mathit{OM}\perp \mathit{ON}$.当 $\mathit{AP}$与 $\odot O$相切时，点 $B$恰好落在 $\odot O$上，如图②.请仅就图②的情形解答下列问题.

（1）求证: $\angle \mathit{PAO}=2\angle \mathit{PBO}$；

（2）若 $\odot O$的半径为 $5,\mathit{AP}=\frac{20}{3}$，求 $\mathit{BP}$的长.