初中数学解答题

阅读下面的材料：

例1：求函数 $y=3x-1$的反函数；

解：由 $y=3x-1$，可得 $x=\frac{y+1}{3}$，所以原函数 $y=3x-1$的反函数是 $y=\frac{x+1}{3}$.

例2求函数 $y=\frac{x+3}{x-1}\left(x\ne 1\right)$的反函数.

解：由 $y=\frac{x+3}{x-1}$，可得 $x=\frac{y+3}{y-1}$，所以原函数 $y=\frac{x+3}{x-1}$的反函数是 $y=\frac{x+3}{x-1}\left(x\ne 1\right)$.

以上两例中，在相应的条件下，一个原函数有反函数时，原函数中自变量 $x$的取值范围就是它的反函数中函数值 $y$的取值范围，原函数中函数值 $y$的取值范围就是它的反函数中自变量 $x$的取值范围，通过以上内容完成下面任务.

（1）求函数 $y=-2x+3$的反函数；

（2）函数 $y=\frac{x-2}{x+1}$的反函数的函数值的取值范围为＿＿＿＿＿；

A．

$y\ne 1$

B．

$y\ne -1$

C．

$y\ne -2$

D．

$y\ne 2$

（3）下列函数中反函数是它本身的是＿＿＿＿＿（填序号即可）.

① $y=x$；② $y=x+1$；③ $y=-x+1$；④ $y=\frac{1}{x}$；⑤ $y=\frac{x+1}{x-1}\left(x\ne 1\right)$

某景区的旅游线路如图①，其中 $A$为人口， $B,C,D$为风景点， $E$为三岔路的交汇点。图①中所给数据为相应两点间的路程（单位： $\text{km}$）.甲游客以一定的速度沿线路“ $A\to D\to C\to E\to A$”步行游览，在每个景点，逗留的时间相同，当他回到 $A$处时，共用去 $3\text{h}$.甲步行的路程 $s\left(\text{km}\right)$与游览时间 $t\left(\text{h}\right)$之间的部分函数图像如图②所示.

（1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图像；

（2）求 $C,E$两点间的路程；

（3）乙游客与甲游客同时从 $A$处出发，打算游完三个景点后回到 $A$处，两人相约先到者在 $A$处等候，等候时间不超过 $10\text{min}$.如果乙的步行速度为 $3\text{km}/\text{h}$，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现?请说明理由.

某单位计划派若干名员工参加电脑培训，现从两家电脑公司了解到，同样的培训条件，每名学员的培训费都报价为 $a$元，甲公司的优惠条件是：一名学员按报价收费，其余学员每人优惠 $25\text{\%}$；乙公司的优惠条件是：每名学员优惠20%.

（1）分别写出甲、乙两公司总收费 $y$（元）关于学员人数 $x$（人）的函数解析式；

（2）讨论该单位在哪家公司的培训总费用较低.

已知函数 $f\left(x\right)=1+\frac{2}{x}$，其中 $f\left(a\right)$表示 $x=a$时对应的函数值，即 $f\left(a\right)=1+\frac{2}{a}$.

（1）求 $f\left(10\right)$；

（2）计算： $f\left(1\right)\cdot f\left(2\right)\cdot f\left(3\right)\cdot \cdots \cdot f\left(100\right)$的值；

（3）如果 $f\left(a\right)-f\left(a+1\right)=1$，试求 $a$的值.

如图，在梯形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC},E$是 $\mathit{BC}$的中点， $\mathit{AD}=5,\mathit{BC}=12,\mathit{CD}=4\sqrt{2},\angle C=45°$，点 $P$是 $\mathit{BC}$边上一动点，设 $\mathit{PB}$的长为 $x$.

（1）当 $x$的值为＿＿＿＿＿时，以点 $P,A,D,E$为顶点的四边形为直角梯形?

（2）当 $x$的值为＿＿＿＿＿时，以点 $P,A,D,E$为顶点的四边形为平行四边形?

（3）点 $P$在 $\mathit{BC}$边上运动的过程中，以 $P,A,D,E$为顶点的四边形能否构成菱形?试说明理由.

有一块菱形的草地，要在其上面修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成面积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的方案.（在图中给出的图形上分别作图示意）

如图所示，在菱形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=4,\angle \mathit{BAD}=120°,△\mathit{AEF}$为正三角形，点 $E,F$分别在菱形的边 $\mathit{BC},\mathit{CD}$上滑动，且 $E,F$不与 $B,C,D$重合.

（1）证明不论 $E,F$在 $\mathit{BC},\mathit{CD}$上如何滑动，总有 $\mathit{BE}=\mathit{CF}$；

（2）当点 $E,F$在 $\mathit{BC},\mathit{CD}$上滑动时，分别探讨四边形 $\mathit{AECF}$和 $△\mathit{CEF}$的面积是否发生变化?如果不变化，求出这个定值；如果变化，求最大（或最小）值.

问题背景

在 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB},\mathit{BC},\mathit{AC}$三边的长分别为 $\sqrt{5},\sqrt{10},\sqrt{13}$，求这个三角形的面积。小辉在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为 $1$），再在网格中画出格点 $△\mathit{ABC}$（即 $△\mathit{ABC}$三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示.这样不需要求出 $△\mathit{ABC}$的高，而借用网格就能计算出它的面积.

（1）请你将 $△\mathit{ABC}$的面积直接填写在横线上，＿＿＿＿＿.

思维拓展

（2）我们把上述求 $△\mathit{ABC}$面积的方法叫做构图法，若 $△\mathit{ABC}$三边的长分别为 $\sqrt{5}a,2\sqrt{2}a,\sqrt{17}a\mathrm{}\left(a>0\right)$，请利用②的正方形网格（每个小正方形的边长为 $a$）画出相应的 $△\mathit{ABC}$，并求出它的面积.

探索创新

（3）若 $△\mathit{ABC}$三边的长分别为 $\sqrt{m^2+16n^2},\sqrt{9m^2+4n^2},2\sqrt{m^2+n^2}(m>0,n>0$，且 $m\ne n)$，试运用构图法求出这个三角形的面积.

（1）证明： $\sqrt{a^2+\frac{1}{b^2}+\frac{a^2}{{(\mathit{ab}+1)}^2}}=\left|a+\frac{1}{b}-\frac{a}{\mathit{ab}+1}\right|$；

（2）利用（1）式计算： $\sqrt{1+{1990}^2+\frac{{1990}^2}{{1991}^2}}-\frac{1}{1991}$.

如图①，正方形 $\mathit{ABDE},\mathit{CDFI},\mathit{EFGH}$的面积分别为 $17,10,13$，图②中的 $\mathit{DPQR}$为矩形，对照图②求图①中 $\mathit{ABCIGH}$的面积.

如图，已知正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{BE}=\mathit{BD},\mathit{CE}//\mathit{BD},\mathit{BE}$与 $\mathit{CD}$交于点 $F$，证明： $\mathit{DE}=\mathit{DF}$.

如图，在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=12,\mathit{AC}=20$，两条对角线相交于点 $O$.以 $\mathit{OB},\mathit{OC}$为邻边作第 $1$个平行四边形 $\mathit{OB}{B}_{1}C$，对角线相交于点 $A_1$；再以 $A_1{B}_1,A_{1}C$为邻边作第 $2$个平行四边形 $A_1{B}_1{C}_{1}C$，对角线相交于点 $O_1$；再以 $O_1{B}_1,O_1{C}_1$为邻边作第 $3$个平行四边形 $O_1{B}_1{B}_2{C}_1$；…，依此类推.

（1）求矩形 $\mathit{ABCD}$的面积；

（2）求第 $1$个平行四边形 $\mathit{OB}{B}_{1}C$、第 $2$个平行四边形 $A_1{B}_1{C}_{1}C$和第 $6$个平行四边形的面积.

如图， $E,F,G,H$分别是四边形 $\mathit{ABCD}$各边中点.

（1）若四边形 $\mathit{ABCD}$是任意四边形、则四边形 $\mathit{EFGH}$是怎样的四边形?

（2）若四边形 $\mathit{ABCD}$是矩形，则四边形 $\mathit{EFGH}$是怎样的四边形?

（3）若四边形 $\mathit{ABCD}$分別菱形、正方形、等腰梯形时，则四边形 $\mathit{EFGH}$又分别是怎样的四边形?

（4）若四边形 $\mathit{EFGH}$是矩形，则四边形 $\mathit{ABCD}$有什么特征?

（5）若四边形 $\mathit{EFGH}$分别是菱形、正方形时，则四边形 $\mathit{ABCD}$又有什么特征?

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边长为 $a$，点 $E$， $F$， $G$， $H$分别在正方形的四条边上，已知 $\mathit{EF}//\mathit{GH}$， $EF=GH$.

（1）若 $\mathit{AE}=\mathit{AH}=\frac{1}{3}a$，求四边形 $\mathit{EFGH}$的周长和面积；

（2）求四边形 $\mathit{EFGH}$的周长的最小值.

已知正方形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{MAN}={45}^{\circ }\mathrm{，}\angle \mathit{MAN}$绕点 $A$顺时针旋转，它的两边分别交 $\mathit{CB}\mathrm{，}\mathit{DC}$（或它们的延长线）于点 $M\mathrm{，}N$.当 $\angle \mathit{MAN}$绕点 $A$旋转得到 $\mathit{BM}=\mathit{DN}$时（如图1），易证 $\mathit{BM}+\mathit{DN}=\mathit{MN}$.

（1）当 $\angle \mathit{MAN}$绕点 $A$旋转到 $\mathit{BM}\ne \mathit{DN}$时（如图2），线段 $\mathit{BM}\mathrm{，}\mathit{DN}$和 $\mathit{MN}$之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明；

（2）当 $\angle \mathit{MAN}$绕点 $A$旋转到如图3的位置时，线段 $\mathit{BM}\mathrm{，}\mathit{DN}$和 $\mathit{MN}$之间又有怎样的数量关系?写出你的猜想，并说明理由.