初中数学解答题

如图，在 $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°,\mathit{AB}=\mathit{AC},E,F$分别是 $\mathit{BC}$上两点，若 $\angle \mathit{EAF}=45°$，试判断 $\mathit{BE},\mathit{CF},\mathit{EF}$之间的数量关系，并说明理由.

如图，点 $P$是等边三角形 $\mathit{ABC}$内的一点，连接 $\mathit{PA},\mathit{PB},\mathit{PC}$，以 $\mathit{BP}$为边作 $\angle \mathit{PBQ}={60}^{\circ }$，且 $\mathit{BQ}=\mathit{BP}$，连接 $\mathit{CQ}$.

（1）观察并猜想 $\mathit{AP}$与 $\mathit{CQ}$之间的大小关系，并证明你的结论；

（2）若 $\mathit{PA}:\mathit{PB}:\mathit{PC}=3:4:5$，连接 $\mathit{PQ}$，试判断 $△\mathit{PQC}$的形状，并说明理由.

已知 $△\mathit{ABC}$为等腰直角三角形， $\mathit{AB}=\mathit{AC},D$为斜边 $\mathit{BC}$的中点， $E,F$分别是 $\mathit{AB},\mathit{AC}$边上的点，且 $\mathit{DE}\perp \mathit{DF}$.若 $\mathit{BE}=12,\mathit{CF}=5$.求 $△\mathit{DEF}$的面积.

如图，在四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\angle \mathit{ABC}=30°,\angle \mathit{ADC}=60°,\mathit{AD}=\mathit{DC}$.证明: $B{D}^2=A{B}^2+B{C}^2$.

如图，在 $\mathit{Rt}△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{ACB}={90}^{\circ },\mathit{CD}\perp \mathit{AB}$于 $D$，设 $\mathit{AC}=b,\mathit{BC}=a$， $\mathit{AB}=c,\mathit{CD}=h$.

求证：（1） $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{h^2}$；

（2） $a+b<c+h$；

（3）以 $a+b,h,c+h$为边的三角形是直角三角形.

张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表.

（1）请你分别观察 $a,b,c$与 $n$之间的关系，并用含自然数 $n(n>1)$的代数式表示: $a=$ _________， $b=$_________， $c=$_________.

（2）猜想：以 $a,b,c$为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想.

恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷 $\left(A\right)$和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 $X$同侧， $\mathit{AB}=50\text{km},A,B$到直线 $X$的距离分别为 $10\text{km}$和 $40\text{km}$，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 $P$，向 $A,B$两景区运送游客.小民设计了两种方案.图①是方案一的示意图（ $\mathit{AP}$与直线 $X$垂直，垂足为 $P),P$到 $A,B$的距离之和 $S_1=\mathit{PA}+\mathit{PB}$；图②是方案二的示意图（点 $A$关于直线 $X$的对称点是 $A^{\text{'}}$，连接 $B{A}^{\text{'}}$交直线 $X$于点 $\left.P\right),P$到 $A,B$的距离之和 $S_2=\mathit{PA}+\mathit{PB}$.

（1）求 $S_1,S_2$，并比较它们的大小；

（2）请你说明 $S_2=\mathit{PA}+\mathit{PB}$的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路 $y$与沪渝高速公路垂直，建立如图③所示的直角坐标系， $B$到直线 $y$的距离为 $30\text{km}$，请你在 $x$旁和 $y$旁各修建一服务区 $P,Q$，使 $P,A,B,Q$组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值.

如图， $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC}=2,\mathit{BC}$边上有 $100$个不同点， $P_1,P_2,P_3\cdots ,P_{100}$，记 $m_i=A{P}_i^2+P_{i}B\cdot P_{i}C\left(i=1,2,\cdots ,100\right)$，求 $m_1+m_2+\cdots +m_{100}$的值.

如图。（1）如图①以 $△\mathit{ABC}$的边 $\mathit{AB},\mathit{AC}$为边分别向外作正方形 $\mathit{ABDE}$和正方形 $\mathit{ACFG}$，连接 $\mathit{EG}$，试判断 $△\mathit{ABC}$与 $△\mathit{AEG}$面积之间的关系，并说明理由.

（2）园林小路，曲径通幽，如图②所示。小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是 $a{\text{m}}^2$，内圈的所有三角形的面积之和是 $b{\text{m}}^2$，这条小路一共占地多少 $m^2$?

如图， $A,B,C$三个村庄在同一条东西方向的公路沿线上， $\mathit{AB}=2\text{km}$， $\mathit{BC}=3\text{km}$，在 $B$村的正北方有一个 $D$村，测得 $\angle \mathit{ADC}=45°$，今将 $\mathit{ADC}$区域规划为开发区，除其中 $4k{m}^2$的水塘外，均作为建筑及绿化用地，试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少?

如图， $△\mathit{ABC}$中， $\angle \mathit{BAC}=90°,\angle B=2\angle C$，点 $D$在 $\mathit{BC}$上， $\mathit{AD}$平分 $\angle \mathit{BAC}$，若 $\mathit{AB}=1$，求 $\mathit{BD}$的长.

求和: $S=\sqrt{1+\frac{4}{1^2}+\frac{4}{3^2}}+\sqrt{1+\frac{4}{2^2}+\frac{4}{4^2}}+\sqrt{1+\frac{4}{3^2}+\frac{4}{5^2}}+\sqrt{1+\frac{4}{4^2}+\frac{4}{6^2}}+\cdots +\sqrt{1+\frac{4}{{10}^2}+\frac{4}{{12}^2}}$.

$x=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\mathrm{，}y=\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\mathrm{，}n$为自然数，如果 $2x^2+225\mathit{xy}+2y^2=2021$成立，求 $n$的值.

若 $m=\frac{2021}{\sqrt{2022}-1}$，求 $m^5-2m^4-2021m^3$的值.

先化简再求值: $\left(\frac{a-2}{a^2+2a}-\frac{a-1}{a^2+4a+4}\right)÷\frac{a-4}{a+2}$，其中 $a=\sqrt{2}-1$.