初中数学解答题

因疫情防控需要，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是 $330km$，货车行驶时的速度是 $60km/h$．两车离甲地的路程 $s（km）$与时间 $t（h）$的函数图象如图．

（1）求出 $a$的值；

（2）求轿车离甲地的路程 $s（km）$与时间 $t（h）$的函数表达式；

（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？

如图，在 $6\times 6$的方格纸中，点 $A，B，C$均在格点上，试按要求画出相应格点图形．

（1）如图1，作一条线段，使它是 $AB$向右平移一格后的图形；

（2）如图2，作一个轴对称图形，使 $AB$和 $AC$是它的两条边；

（3）如图3，作一个与 $△ABC$相似的三角形，相似比不等于 $1$．

某校为了解学生在“五•一”小长假期间参与家务劳动的时间 $t$（小时），随机抽取了本校部分学生进行问卷调查．要求抽取的学生在A，B，C，D，E五个选项中选且只选一项，并将抽查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息回答问题：

（1）求所抽取的学生总人数；

（2）若该校共有学生 $1200$人，请估算该校学生参与家务劳动的时间满足 $3\le t＜4$的人数；

（3）请你根据调查结果，对该校学生参与家务劳动时间的现状作简短评述．

先化简，再求值： $（1+x）（1﹣x）+x（x+2）$，其中 $x=\frac{1}{2}$．

计算： $\sqrt{9}-（﹣2022{）}^0+2^{﹣1}$．

如图1，四边形 $ABCD$中， $AD\parallel BC，\angle ABC＝90°，\angle C＝30°，AD＝3，AB＝2\sqrt{3}$， $DH\perp BC$于点 $H$．将 $△PQM$与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点 $P$与 $A$重合，点 $B$在 $PM$上，其中 $\angle Q＝90°，\angle QPM＝30°，PM＝4\sqrt{3}$．

（1）求证： $△PQM≌△CHD$；

（2） $△PQM$从图1的位置出发，先沿着 $BC$方向向右平移（图2），当点 $P$到达点 $D$后立刻绕点 $D$逆时针旋转（图3），当边 $PM$旋转 $50°$时停止．

①边 $PQ$从平移开始，到绕点 $D$旋转结束，求边 $PQ$扫过的面积；

②如图2，点 $K$在 $BH$上，且 $BK＝9﹣4\sqrt{3}$．若 $△PQM$右移的速度为每秒 $1$个单位长，绕点 $D$旋转的速度为每秒 $5°$，求点 $K$在 $△PQM$区域（含边界）内的时长；

③如图3，在 $△PQM$旋转过程中，设 $PQ，PM$分别交 $BC$于点 $E，F$，若 $BE＝d$，直接写出 $CF$的长（用含 $d$的式子表示）．

如图，平面直角坐标系中，线段 $AB$的端点为 $A（﹣8，19），B（6，5）$．

（1）求 $AB$所在直线的解析式；

（2）某同学设计了一个动画：

在函数 $y＝mx+n（m\ne 0，y\ge 0）$中，分别输入 $m$和 $n$的值，使得到射线 $CD$，其中 $C（c，0）$．当 $c＝2$时，会从C处弹出一个光点 $P$，并沿 $CD$飞行；当 $c\ne 2$时，只发出射线而无光点弹出．

①若有光点 $P$弹出，试推算 $m，n$应满足的数量关系；

②当有光点 $P$弹出，并击中线段 $AB$上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段 $AB$就会发光．求此时整数 $m$的个数．

如图，某水渠的横断面是以 $AB$为直径的半圆 $O$，其中水面截线 $MN\parallel AB$．嘉琪在 $A$处测得垂直站立于 $B$处的爸爸头顶 $C$的仰角为 $14°$，点 $M$的俯角为 $7°$．已知爸爸的身高为 $1.7m$．

（1）求 $\angle C$的大小及 $AB$的长；

（2）请在图中画出线段 $DH$，用其长度表示最大水深（不说理由），并求最大水深约为多少米（结果保留小数点后一位）．

（参考数据： $\tan 76°$取 $4$， $\sqrt{17}$取 $4.1$）

如图，点 $P（a，3）$在抛物线 $C：y＝4﹣（6﹣x{）}^2$上，且在 $C$的对称轴右侧．

（1）写出 $C$的对称轴和 $y$的最大值，并求 $a$的值；

（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点 $P$及 $C$的一段，分别记为 $P\prime ，C\prime$．平移该胶片，使 $C\prime$所在抛物线对应的函数恰为 $y＝﹣x^2+6x﹣9$．求点 $P\prime$移动的最短路程．

发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两个正整数的平方和．

验证 如， $（2+1{）}^2+（2﹣1{）}^2＝10$为偶数．请把 $10$的一半表示为两个正整数的平方和；

探究 设“发现”中的两个已知正整数为 $m，n$，请论证“发现”中的结论正确．

某公司要在甲、乙两人中招聘一名职员，对两人的学历，能力、经验这三项进行了测试．各项满分均为 $10$分，成绩高者被录用．图1是甲、乙测试成绩的条形统计图，

（1）分别求出甲、乙三项成绩之和，并指出会录用谁；

（2）若将甲、乙的三项测试成绩，按照扇形统计图（图2）各项所占之比，分别计算两人各自的综合成绩，并判断是否会改变（1）的录用结果．

整式 $3（\frac{1}{3}-m）$的值为 $P$．

（1）当 $m＝2$时，求 $P$的值；

（2）若 $P$的取值范围如图所示，求 $m$的负整数值．

已知抛物线 $y＝﹣x^2+bx+c$与 $x$轴交于 $A（﹣1，0），B（m，0）$两点，与 $y$轴交于点 $C（0，5）$．

（1）求 $b，c，m$的值；

（2）如图1，点 $D$是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点 $D$在第一象限内，过点 $D$作 $x$轴的平行线交抛物线于点 $E$，作 $y$轴的平行线交 $x$轴于点 $G$，过点 $E$作 $EF\perp x$轴，垂足为点 $F$，当四边形 $DEFG$的周长最大时，求点 $D$的坐标；

（3）如图2，点 $M$是抛物线的顶点，将 $△MBC$沿 $BC$翻折得到 $△NBC$， $NB$与 $y$轴交于点 $Q$，在对称轴上找一点 $P$，使得 $△PQB$是以 $QB$为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点 $P$的坐标．

如图，已知 $AB$是 $\odot O$的直径，点 $E$是 $\odot O$上异于 $A，B$的点，点 $F$是 $\stackrel{̂}{\mathrm{EB}}$的中点，连接 $AE，AF，BF$，过点 $F$作 $FC\perp AE$交 $AE$的延长线于点 $C$，交 $AB$的延长线于点 $D$， $\angle ADC$的平分线 $DG$交 $AF$于点 $G$，交 $FB$于点 $H$．

（1）求证： $CD$是 $\odot O$的切线；

（2）求 $\sin \angle FHG$的值；

（3）若 $GH＝4\sqrt{2}$， $HB＝2$，求 $\odot O$的直径．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y＝k_{1}x+b（k_1\ne 0）$的图象与反比例函数 $y=\frac{{\mathrm{k}}_2}{\mathrm{x}}（k_2\ne 0）$的图象相交于 $A（3，4），B（﹣4，m）$两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）若点 $D$在 $x$轴上，位于原点右侧，且 $OA＝OD$，求 $△AOD$的面积．