初中数学解答题

在习近平总书记视察广西、亲临柳州视察指导一周年之际，某校开展“紧跟伟大复兴领航人踔厉笃行”主题演讲比赛，演讲的题目有：《同甘共苦民族情》《民族团结一家亲，一起向未来》《画出最美同心圆》．赛前采用抽签的方式确定各班演讲题目，将演讲题目制成编号为 $A，B，C$的 $3$张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其余完全相同）．现将这 $3$张卡片背面朝上，洗匀放好．

（1）某班从 $3$张卡片中随机抽取 $1$张，抽到卡片 $C$的概率为＿＿＿＿＿；

（2）若七（1）班从 $3$张卡片中随机抽取 $1$张，记下题目后放回洗匀，再由七（2）班从中随机抽取 $1$张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班抽到不同卡片的概率．（这 $3$张卡片分别用它们的编号 $A，B，C$表示）

习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知 $1$件甲种农机具比 $1$件乙种农机具多 $1$万元，用 $15$万元购买甲种农机具的数量和用 $10$万元购买乙种农机具的数量相同．

（1）求购买 $1$件甲种农机具和 $1$件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共 $20$件，且购买的总费用不超过 $46$万元，则甲种农机具最多能购买多少件？

如图，点 $A，D，C，F$在同一条直线上， $AB＝DE，BC＝EF$．有下列三个条件：① $AC＝DF$，② $\angle ABC＝\angle DEF$，③ $\angle ACB＝\angle DFE$．

（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得 $△ABC≌△DEF$．

你选取的条件为（填写序号）＿＿＿＿＿（只需选一个条件，多选不得分），你判定 $△ABC≌△DEF$的依据是＿＿＿＿＿（填“ $SSS$”或“ $SAS$”或“ $ASA$”或“ $AAS$”）；

（2）利用（1）的结论 $△ABC≌△DEF$．求证： $AB\parallel DE$．

解方程组： $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}-\mathrm{y}=2\mathrm{①}\\ 2\mathrm{x}+\mathrm{y}=7\mathrm{②}\end{array}\right.$．

计算： $3\times （﹣1）+2^2+|﹣4|$．

如图，在四边形 $ABCD$中，对角线 $AC$与 $BD$相交于点 $O$，记 $△COD$的面积为 $S_1$， $△AOB$的面积为 $S_2$．

（1）问题解决：如图①，若 $AB\parallel CD$，求证： $\frac{{\mathrm{S}}_1}{{\mathrm{S}}_2}=\frac{\mathrm{OC}\cdot \mathrm{OD}}{\mathrm{OA}\cdot \mathrm{OB}}$

（2）探索推广：如图②，若 $AB$与 $CD$不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展应用：如图③，在 $OA$上取一点 $E$，使 $OE＝OC$，过点 $E$作 $EF\parallel CD$交 $BD$于点 $F$，点 $H$为 $AB$的中点， $OH$交 $EF$于点 $G$，且 $OG＝2GH$，若 $\frac{\mathrm{OE}}{\mathrm{OA}}=\frac{5}{6}$，求 $\frac{{\mathrm{S}}_1}{{\mathrm{S}}_2}$值．

为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为 $4$千元/吨时，每天可售出 $12$吨，每吨涨 $1$千元，每天销量将减少 $2$吨，据测算，每吨平均投入成本 $2$千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于 $4$千元，不高于 $5.5$千元．请解答以下问题：

（1）求每天销量 $y$（吨）与批发价 $x$（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量 $x$的取值范围；

（2）当批发价定为多少时，每天所获利润最大？最大利润是多少？

如图， $D$是以 $AB$为直径的 $\odot O$上一点，过点 $D$的切线 $DE$交 $AB$的延长线于点 $E$，过点 $B$作 $BC\perp DE$交 $AD$的延长线于点 $C$，垂足为点 $F$．

（1）求证： $AB＝CB$；

（2）若 $AB＝18$， $\sin A=\frac{1}{3}$，求 $EF$的长．

为了测量高速公路某桥的桥墩高度，某数学兴趣小组在同一水平地面 $C、D$两处实地测量，如图所示．在 $C$处测得桥墩顶部 $A$处的仰角为 $60°$和桥墩底部 $B$处的俯角为 $40°$，在 $D$处测得桥墩顶部 $A$处的仰角为 $30°$，测得 $C、D$两点之间的距离为 $80m$，直线 $AB、CD$在同一平面内，请你用以上数据，计算桥墩 $AB$的高度．（结果保留整数，参考数据： $\sin 40°\approx 0.64，\cos 40°\approx 0.77，\tan 40°\approx 0.84$， $\sqrt{3}\approx 1.73$）

科学规范戴口罩是阻断新冠病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩 $280$万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了 $40\%$．结果刚好提前 $2$天完成订单任务．求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？

2021年7月，中共中央办公厅，国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》．某中学为了切实减轻学生作业负担，落实课后服务相关要求，开设了书法、摄影、篮球、足球、乒乓球五项课后服务活动，为了解学生的个性化需求，学校随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：

（1）求 $m，n$的值并把条形统计图补充完整；

（2）若该校有 $2000$名学生，试估计该校参加“书法”活动的学生有多少人？

（3）结合调查信息，请你给该校课后服务活动项目开设方面提出一条合理化的建议．

如图，点 $C$在 $BD$上， $AB\perp BD，ED\perp BD，AC\perp CE，AB＝CD$．求证： $△ABC≌△CDE$．

在平面直角坐标系内有三点 $A（﹣1，4）、B（﹣3，2）、C（0，6）$．

（1）求过其中两点的直线的函数表达式（选一种情形作答）；

（2）判断 $A、B、C$三点是否在同一直线上，并说明理由．

如图1，平面直角坐标系 $xOy$中，抛物线 $y＝a{x}^2+bx+c（a＜0）$与 $x$轴分别交于点 $A$和点 $B（1，0）$，与 $y$轴交于点 $C$，对称轴为直线 $x＝﹣1$，且 $OA＝OC$， $P$为抛物线上一动点．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图2，连接 $AC$，当点 $P$在直线 $AC$上方时，求四边形 $PABC$面积的最大值，并求出此时 $P$点的坐标；

（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当 $P，M$运动时，在坐标轴上是否存在点 $N$，使四边形 $PMCN$为矩形？若存在，直接写出点 $P$及其对应点 $N$的坐标；若不存在，请说明理由．

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．

（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①： $（a+b+c）d＝ad+bd+cd$

公式②： $（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd$

公式③： $（a﹣b{）}^2＝a^2﹣2ab+b^2$

公式④： $（a+b{）}^2＝a^2+2ab+b^2$

图1对应公式＿＿＿＿＿，图2对应公式＿＿＿＿＿，图3对应公式＿＿＿＿＿，图4对应公式＿＿＿＿＿．

（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 $（a+b）（a﹣b）＝a^2﹣b^2$的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

（3）如图6，在等腰直角三角形 $ABC$中， $\angle BAC＝90°$， $D$为 $BC$的中点， $E$为边 $AC$上任意一点（不与端点重合），过点 $E$作 $EG\perp BC$于点 $G$，作 $EH\perp AD$于点 $H$，过点 $B$作 $BF\parallel AC$交 $EG$的延长线于点 $F$．记 $△BFG$与 $△CEG$的面积之和为 $S_1$， $△ABD$与 $△AEH$的面积之和为 $S_2$．

①若 $E$为边 $AC$的中点，则 $\frac{{\mathrm{S}}_1}{{\mathrm{S}}_2}$的值为＿＿＿＿＿；

②若 $E$不为边 $AC$的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．