初中数学解答题

某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过 $3500\text{m}$，今有甲、乙、丙三个施工队，分别施工人行道、非机动车道和机动车道.他们于某天零时同时开工，每天 $24\text{h}$连续施工.若干天后的零时，甲完成任务；几天后的 $18$时，乙完成任务；自乙队完成的当天零时起，再过几天后的 $8$时，丙完成任务.已知三个施工队每天完成的施工任务分别为 $300\text{m},240\text{m},180\text{m}$，问这段路面有多长?

王亮的爷爷今年（2012年） $80$周岁了，今年王亮的年龄恰好是他自己出生年份的各位数字之和，问王亮今年可能是多少周岁?

某市为鼓励节约用水，对自来水的收费标准作如下规定：每月每户用水不超过 $10\text{T}$的部分按 $0.45$元 $/\text{T}$收费；超过 $10\text{T}$而不超过 $20\text{T}$的部分按 $0.8$元 $/\text{T}$收费；超过 $20\text{T}$的部分按 $1.5$元/T收费.某月甲户比乙户多缴水费 $7.10$元，乙户比丙户多缴水费 $3.75$元，问甲、乙、丙三户该月各缴水费多少元?（自来水按整数吨收费）

求方程 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{6}$的正整数解．

（1）求方程 $2x-5y=4$的全部整数解．

（2）求方程 $7x+19y=213$的所有正整数解．

《中学生体质健康标准》规定学生体质健康等级标准为： $86$分及以上为优秀； $76$分~ $85$分为良好； $60$分~ $75$分为及格； $59$分以下为不及格.某校抽取八年级学生人数的 $10\%$进行体质测试，测试结果如图.

（1）在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是＿＿＿＿＿；

（2）小明按以下方法计算所抽取学生测试结果的平均分是 $\left(90+82+65+40\right)÷4=69.25$.根据所学的统计知识判断小明的计算是否正确，若不正确，请写出正确的算式并计算出结果；

（3）若抽取的学生中不及格学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数，请估算该校八年级学生中优秀等级的人数.

新安商夏对销量较大的 $A,B,C$三种品牌的洗衣粉进行了问卷调查，发放问卷 $270$份（问卷由单选和多选题组成）.对收回的 $238$份问卷进行了整理，部分数据如下：

最近一次购买各品牌洗衣粉用户的比例

用户对各品牌洗衣粉满意情况汇总表

根据上述信息回答下列问题：

（1） $A$品牌洗衣粉的主要竞争优势是什么?你是怎样看出来的?

（2）广告对用户选择品牌有影响吗?请简要说明理由.

（3）你对厂家有何建议?

如图某文具店王经理统计了2019年1月至5月 $A,B,C$这三种型号的钢笔平均每月的销售量，并绘制图1（不完整）.销售这三种型号钢笔平均每月获得的总利润为 $600$元，每种型号钢笔获得的利润分布情况如图2，已知 $A,B,C$这三种型号钢笔每支的利润分别是 $0.5$元， $0.6$元， $1.2$元，请你结合图中的信息，解答下列问题：

（1）求出 $C$种型号钢笔平均每月的销售量，并将图1补充完整；

（2）王经理计划6月份购进 $A,B,C$这三种型号的笔共 $900$支，请你结合1月至5月平均每月的销售情况（不考虑其它因素），设计一个方案，使获得的利润最大，并说明理由.

下表是某实验中学七（1）班 $40$位同学在“献爱心”活动中捐的图书情况记录：

（1）现需要将该班同学捐图书的情况报告给少先队大队部，请你给出一种表示这些数据的方案，使大队部一目了然地知道整个情况；

（2）从（1）的方案中，请你至少写出三条获得的信息；

（3）如果该班所捐图书准备按图所示中的扇形统计图所示的比例分送给山区学校和本市兄弟学校，则送给山区学校的图书有多少册?

某校食堂在开晩餐前有 $a$名学生在食堂排队等候就餐，开始卖晩餐后，仍有学生前来排队买晩餐．设学生前来排队买晩餐的人数按固定的速度增加，食堂每个窗口卖晩餐的速度也是固定的．若开放一个窗口，则需要 $40\text{min}$才使排队等候的学生全部买到晩餐；若同时开放两个窗口，则需 $15\text{min}$就可使排队等候的学生全部买到晩餐．

（1）写出开放一个窗口时，开始卖晩餐后窗口卖晩餐的速度 $y($人 $/\text{min})$与每分钟新增加的学生人数 $x$（人）之间的关系．

（2）食堂为了提高服务质量，减少学生排队的时间，计划在 $8\text{min}$内让排队等候的学生全部买到晩餐，以便于后到的学生能随到随买，至少要同时开放几个窗口？

墨西哥爆发的甲型 $H_1{N}_1$流感疫情牵动着全世界人民的心，某医疗单位决定：紧急调拨由甲、乙、丙三种药品混合配制的防疫药品共 $100\text{kg}$支援灾区．根据要求混合配制的防疫药品中至少需要含抗生素 $2400$个单位和抗菌素 $2600$个单位，且三种药品含抗生素和抗菌素的含量如下表：

并且甲、乙、丙三种药品所需成本分别为 $0.9$万元 $/\text{kg}$， $1.2$万元 $/\text{kg}$和 $0.8$万元 $/\text{kg}$．设所取甲、乙、丙三种药品的质量分别为 $x\text{kg}，y\text{kg}，z\text{kg}$．

（1）试问配制 $100\text{kg}$这种防疫药品至少需要乙种药品多少千克？

（2）试用含 $x，y$的式子表示配制 $100\text{kg}$防疫药品的总成本 $S$？

（3）若限定配制后的药品中甲种药品的质量为 $30\text{kg}$，试求此时总成本 $S$取最小值时，所取乙、丙两种药品的质量，并求出 $S$的最小值．

预计用 $1500$元购买甲商品 $x$个，乙商品 $y$个，不料甲商品每个涨价 $1.5$元，乙商品每个涨价 $1$元．尽管购头甲商品的个数比预定数减少 $10$个，总金额仍多用 $29$元．又若甲商品每个只涨价 $1$元，并且购买甲商品的数量只比预定数少 $5$个，那么甲、乙两商品支付的总金额是 $1563.5$元．

（1）求 $x，y$的关系式；

（2）若预计购买甲商品的个数的 $2$倍与预计购买乙商品的个数的和大于 $205$，但小于 $210$，求 $x，y$的值．

求最大的正整数 $n$，使不等式 $\frac{8}{15}<\frac{n}{n+k}<\frac{7}{13}$对唯一的一个整数 $k$成立．

已知关于 $x，y$的方程组 $\left\{\begin{array}{c}2x+3y=3m+7，\\ x-y=4m+1\end{array}\right.$的解 $x$和 $y$都是正数，求 $m$的取值范围后，再化简 $\left|m-1\right|+\left|m+\frac{2}{3}\right|$．

某工程机械厂根据市场要求，计划生产 $A，B$两种型号的大型挖掘机共 $100$台，该厂所筹生产资金不少于 $22400$万元，但不超过 $22500$万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示：

（1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案？

（2）该厂如何生产获得最大利润？

（3）根据市场调查，每台 $B$型挖掘机的售价不会改变，每台 $A$型挖掘机的售价将会提高 $m$万元 $\left(m>0\right)$，该厂如何生产可以获得最大利润（注：利润 $=$售价-成本）？