初中数学解答题

如图是一个长为 $400\text{m}$的环形跑道，其中 $A,B$为跑道对称轴上的两点，且 $A,B$之间有一条 $50\text{m}$的直线通道.甲乙两人同时从 $A$点出发，甲按逆时针方向以速度 $v_1$沿跑道跑步，当跑到 $B$点时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度 $v_2$沿跑道跑步，当跑到 $B$点时沿直线通道跑回 $A$点处，假设两人跑步的时间足够长.求：

（1）如果 $v_1:v_2=3:2$，那么甲跑了多少路程后，两人首次在 $A$点处相遇；

（2）如果 $v_1:v_2=5:6$，那么乙跑了多少路程后，两人首次在 $B$点处相遇.

某校九年级（1）班 $50$名学生参加 $1\text{min}$跳绳体育考试. $1\text{min}$跳绳次数与频数经统计后绘制出下面的频数分布表（ $60~70$表示为大于等于 $60$并且小于 $70$）和扇形统计图，（如图）.

（1）求 $m,n$的值；

（2）求该班 $1\text{min}$跳绳成绩在 $80$分以上（含 $80$分）的人数占全班人数的百分比；

（3）根据频数分布表估计该班学生 $1\text{min}$跳绳的平均分大约是多少?并说明理由.

为进一步建设秀美、宜居的生态环境，某村欲购买甲、乙、丙三种树美化村庄，已知甲、乙、丙三种树的价格之比为 $2:2:3$，丙种树每棵 $300$元，现计划用 $210000$元资金，购买这三种树共 $1000$棵.

（1）求甲、乙两种树每棵各多少元?

（2）若购买甲种树的棵数是乙种树的 $2$倍，恰好用完计划资金，则这三种树各能购买多少棵?

（3）若又增加了 $10120$元的购树款，在购买总棵数不变的前提下，求丙种树最多可购买多少棵?

探究：（1）如图①若 $\mathit{AB}//\mathit{CD}$.则 $\angle B+\angle D=\angle E$.你能说明为什么吗?

（2）反之，若 $\angle B+\angle D=\angle E$，直线 $\mathit{AB}$和 $\mathit{CD}$有什么位置关系，请证明；

（3）若将点 $E$移至图②所示位置，此时 $\angle B,\angle D,\angle E$之间有什么关系?请证明；

（4）若将点 $E$移至图③所示位置，情况又如何?

（5）在图④中， $\mathit{AB}//\mathit{CD},\angle E+\angle G$与 $\angle B+\angle F+\angle D$又有何关系?

（6）在图⑤中，若 $\mathit{AB}//\mathit{CD}$，又得到什么结论?

若实数 $a,b,c$满足关系式 $\sqrt{a-199+b}\cdot \sqrt{199-a-b}=\sqrt{3a+5b-2-c}+\sqrt{2b+3b-c}$，试确定 $c$的值.

如图，将 $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$这 $10$个数字分别填入图中的 $10$个圆圈内，使任意连续相邻的 $5$个圆圈内的数字之和均不大于某一个整数 $M$，求 $M$的最小值并完成相应的填图游戏.

购买 $5$种数学用品 $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5$的件数和用钱总数列成下表：

那么，购买每种数学用品各一件共需多少元?

甲、乙分别自 $A,B$两地同时相向步行， $2\text{h}$后在途中相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了 $1\text{km}/\text{h}$，当甲到达 $B$地后立刻按原路向 $A$地返回.当乙到达 $A$地后也立刻按原路向 $B$地返回.甲、乙二人在第一次相遇后 $3\text{h}36\text{min}$又再次相遇，则 $A,B$两地的距离是多少?

江堤边发生管涌，江水不断涌到堤边一个原本干涸的池塘，假定每分钟涌出的水量相同，如果用两台抽水机抽水， $40\text{min}$可以抽完池塘里的蓄水；如果用 $4$台抽水机抽水， $16\text{min}$可以抽完；如果要在 $10\text{min}$内将池塘里的蓄水抽完，那么至少需要抽水机多少台?

有一个四位数，把它从中间分成两半.得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个 $0$，然后加上前、后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字为 $5$，试求这个四位数.

用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为 $1$的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为 $S$，它各边上格点的个数和为 $x$．

（1）图①-④中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出 $S$与 $x$之间的关系式．

答 $S=$＿＿＿＿＿．

（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有 $2$个格点.此时所画的各个多边形的面积 $S$与它各边上格点的个数和 $x$之间的关系是： $S=$＿＿＿＿＿．

（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有 $n$个格点时，猜想 $S$与 $x$有怎样的关系?

如图，三角形 $\mathit{ABC}$内的线段 $\mathit{BD}$， $\mathit{CE}$相交于点 $O$，已知 $\mathit{OB}=\mathit{OD}$， $\mathit{OC}=2\mathit{OE}$.设 $△\mathit{BOE},△\mathit{BOC},△\mathit{COD}$和四边形 $\mathit{AEOD}$的面积分别为 $S_1,S_2,S_3,S_4$．

（1）求 $S_1:S_3$的值；

（2）如果 $S_2=2$，求 $S_4$的值．

如图，在平面直角坐标系中，有 $A\left(0,5\right),B\left(5,0\right),C\left(0,3\right),D\left(3,0\right)$且 $\mathit{AD}$与 $\mathit{BC}$相交于点 $E$，求 $△\mathit{ABE}$的面积．

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$被 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$分成甲、乙、丙、丁 $4$个三角形，已知 $\mathit{BE}=80\text{cm},\mathit{CE}=60\text{cm},\mathit{DE}=40\text{cm},\mathit{AE}=30\text{cm}$，问：丙、丁两个三角形面积之和是甲、乙两个三角形面积之和的多少倍?

如图， $△\mathit{ABC}$的边 $\mathit{AB}=30\text{cm},\mathit{AC}=25\text{cm}$，点 $D,F$在 $\mathit{AC}$上，点 $E,G$在 $\mathit{AB}$上， $S_{△\mathit{ADE}}:S_{△\mathit{DEF}}:S_{△\mathit{EFG}}:S_{△\mathit{FGC}}:S_{△\mathit{CBC}}=1:2:3:4:5$，求 $\mathit{AD}$和 $\mathit{GE}$的长．