在中，
，
，
于点
．
（1）如图1，点，
分别在
，
上，且
，当
，
时，求线段
的长；
（2）如图2，点，
分别在
，
上，且
，求证：
；
（3）如图3，点在
的延长线上，点
在
上，且
，求证：
．
如图，在中，
，以
为直径作
，点
为
上一点，且
，连接
并延长交
的延长线于点
．
（1）判断直线与
的位置关系，并说明理由；
（2）若，
，求圆的半径及
的长．
4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
一、数据收集，从全校随机抽取20学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下（单位：
30 |
60 |
81 |
50 |
44 |
110 |
130 |
146 |
80 |
100 |
60 |
80 |
120 |
140 |
75 |
81 |
10 |
30 |
81 |
92 |
二、整理数据，按如下分段整理样本数据并补全表格：
课外阅读时间 |
||||
等级 |
||||
人数 |
3 |
8 |
三、分析数据，补全下列表格中的统计量：
平均数 |
中位数 |
众数 |
80 |
81 |
四、得出结论：
①表格中的数据： ，
，
；
②用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为 ；
③如果该校现有学生400人，估计等级为“”的学生有 人；
④假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读 本课外书．
如图，是菱形
的对角线，
，
（1）请用尺规作图法，作的垂直平分线
，垂足为
，交
于
；（不要求写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）条件下，连接，求
的度数．
[问题探究]
（1）如图1，和
均为等腰直角三角形，
，点
，
，
在同一直线上，连接
，
．
①请探究与
之间的位置关系： ；
②若，
，则线段
的长为 ；
[拓展延伸]
（2）如图2，和
均为直角三角形，
，
，
，
，
．将
绕点
在平面内顺时针旋转，设旋转角
为
，作直线
，连接
，当点
，
，
在同一直线上时，画出图形，并求线段
的长．
如图所示，一种适用于笔记本电脑的铝合金支架，边，
可绕点
开合，在
边上有一固定点
，支柱
可绕点
转动，边
上有六个卡孔，其中离点
最近的卡孔为
，离点
最远的卡孔为
．当支柱端点
放入不同卡孔内，支架的倾斜角发生变化．将电脑放在支架上，电脑台面的角度可达到六档调节，这样更有利于工作和身体健康，现测得
的长为
，
为
，支柱
为
．
（1）当支柱的端点放在卡孔
处时，求
的度数；
（2）当支柱的端点放在卡孔
处时，
，若相邻两个卡孔的距离相同，求此间距．（结果精确到十分位）
参考数据表
计算器按键顺序 |
计算结果（已取近似值） |
|
2.65 |
|
6.8 |
|
11.24 |
|
0.35 |
|
0.937 |
|
41 |
|
49 |
|
49 |
|
41 |
如图，在矩形中，
，
，点
在
上，将
沿
折叠，点
恰好落在对角线
上的
点，
为
上一点，
经过点
，
（1）求证：是
的切线；
（2）在边上截取
，点
是线段
的黄金分割点吗？请说明理由．
亚洲文明对话大会召开期间，大批的大学生志愿者参与服务工作．某大学计划组织本校全体志愿者统一乘车去会场，若单独调配36座新能源客车若干辆，则有2人没有座位；若只调配22座新能源客车，则用车数量将增加4辆，并空出2个座位．
（1）计划调配36座新能源客车多少辆？该大学共有多少名志愿者？
（2）若同时调配36座和22座两种车型，既保证每人有座，又保证每车不空座，则两种车型各需多少辆？
十八大以来，某校已举办五届校园艺术节，为了弘扬中华优秀传统文化，每届艺术节上都有一些班级表演“经典诵读”“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”等节目．小颖对每届艺术节表演这些节目的班级数进行统计，并绘制了如图所示不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）五届艺术节共有 个班级表演这些节目，班数的中位数为 ，在扇形统计图中，第四届班级数的扇形圆心角的度数为 ；
（2）补全折线统计图；
（3）第六届艺术节，某班决定从这四项艺术形式中任选两项表演 “经典诵读”、“民乐演奏”、“歌曲联唱”、“民族舞蹈”分别用
，
，
，
表示），利用树状图或表格求出该班选择
和
两项的概率．
试题篮
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