初中数学试题

如图，点 $E$在正方形 $ABCD$的对角线 $AC$上， $EF\perp AB$于点 $F$，连接 $DE$并延长，交边 $BC$于点 $M$，交边 $AB$的延长线于点 $G$．若 $AF＝2，FB＝1$，则 $MG＝$（　　）

A．

$2\sqrt{3}$

B．

$\frac{3\sqrt{5}}{2}$

C．

$\sqrt{5}+1$

D．

$\sqrt{10}$

如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过 $1$，则称该三位数为“平稳数”．用 $1，2，3$这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（　　）

A．

$\frac{5}{9}$

B．

$\frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{3}$

D．

$\frac{2}{9}$

如图，正五边形 $ABCDE$内接于 $\odot O$，连接 $OC，OD$，则 $\angle BAE﹣\angle COD＝$（　　）

A．

$60°$

B．

$54°$

C．

$48°$

D．

$36°$

下列函数中， $y$的值随 $x$值的增大而减小的是（　　）

A．

$y＝x^2+1$

B．

$y＝﹣x^2+1$

C．

$y＝2x+1$

D．

$y＝﹣2x+1$

在数轴上表示不等式 $\frac{x-1}{2}＜0$的解集，正确的是（　　）

A．
B．
C．
D．

下列计算正确的是（　　）

A．

$a^4+a^4＝a^8$

B．

$a^4•a^4＝a^{16}$

C．

$（a^4{）}^4＝a^{16}$

D．

$a^8÷a^4＝a^2$

某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　）

A．		B．
C．		D．

$﹣5$的相反数是（　　）

A．

$﹣5$

B．

$-\frac{1}{5}$

C．

$\frac{1}{5}$

D．

$5$

综合运用

如图1，在平面直角坐标系中，正方形 $OABC$的顶点 $A$在 $x$轴的正半轴上．如图2，将正方形 $OABC$绕点 $O$逆时针旋转，旋转角为 $\alpha （0°＜\alpha ＜45°）$， $AB$交直线 $y＝x$于点 $E$， $BC$交 $y$轴于点 $F$．

（1）当旋转角 $\angle COF$为多少度时， $OE＝OF$；（直接写出结果，不要求写解答过程）

（2）若点 $A（4，3）$，求 $FC$的长；

（3）如图3，对角线 $AC$交 $y$轴于点 $M$，交直线 $y＝x$于点 $N$，连接 $FN$．将 $△OFN$与 $△OCF$的面积分别记为 $S_1$与 $S_2$．设 $S＝S_1﹣S_2$， $AN＝n$，求 $S$关于 $n$的函数表达式．

综合探究

如图1，在矩形 $ABCD$中（ $AB＞AD$），对角线 $AC，BD$相交于点 $O$，点 $A$关于 $BD$的对称点为 $A\prime$．连接 $AA\prime$交 $BD$于点 $E$，连接 $CA\prime$．

（1）求证： $AA`\perp CA`$；

（2）以点 $O$为圆心， $OE$为半径作圆．

①如图2， $\odot O$与 $CD$相切，求证： $AA`=\sqrt{3}CA`$；

②如图3， $\odot O$与 $CA\prime$相切， $AD＝1$，求 $\odot O$的面积．

小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（ $5$个工作日）选择A线路，第二周（ $5$个工作日）选择 $B$线路，每天在固定时间段内乘车 $2$次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位： $min$）

数据统计表

实验序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A线路所用时间	15	32	15	16	34	18	21	14	35	20
B线路所用时间	25	29	23	25	27	26	31	28	30	24

根据以上信息解答下列问题：

	平均数	中位数	众数	方差
A线路所用时间	22	a	15	63.2
B线路所用时间	b	26.5	c	6.36

（1）填空：a＝＿＿＿＿＿；b＝＿＿＿＿＿；c＝＿＿＿＿＿；

（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．

综合与实践

主题：制作无盖正方体形纸盒．

素材：一张正方形纸板．

步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；

步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．

猜想与证明：（1）直接写出纸板上 $\angle ABC$与纸盒上 $\angle A_1{B}_1{C}_1$的大小关系；

（2）证明（1）中你发现的结论．

如图，在 $▱ABCD$中， $\angle DAB＝30°$．

（1）实践与操作：用尺规作图法过点 $D$作 $AB$边上的高 $DE$；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下， $AD＝4，AB＝6$，求 $BE$的长．

2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂 $AC＝BC＝10m$，两臂夹角 $\angle ACB＝100°$时，求 $A，B$两点间的距离．（结果精确到 $0.1m$，参考数据： $\sin 50°\approx 0.766，\cos 50°\approx 0.643，\tan 50°\approx 1.192$）

某学校开展了社会实践活动，活动地点距离学校 $12km$，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的 $1.2$倍，结果甲比乙早到 $10min$，求乙同学骑自行车的速度．