全国重点高中提前招生真题过关（十四）

如图，正方形 $\mathit{ABCD}$的边 $\mathit{AB}=1,\stackrel{⏜}{\mathit{BD}}$和 $\stackrel{⏜}{\mathit{AC}}$都是以 $1$为半径的圆弧，则无阴影的两部分的面积之差是（ ）

如图， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C$为圆上一点， $\mathit{AC}=3,\angle \mathit{ABC}$的平分线交 $\mathit{AC}$于点 $D,\mathit{CD}=1$，则 $\odot O$的直径为（ ）

如图， $P$为 $\odot O$外一点， $\mathit{PA},\mathit{PB}$分别切 $\odot O$于 $A,B$两点， $\mathit{OP}$交 $\odot O$于点 $C$，连接 $\mathit{BO}$并延长交 $\odot O$于点 $D$，交 $\mathit{PA}$的延长线于点 $E$，连接 $\mathit{AD},\mathit{BC}$.下列结论:① $\mathit{AD}//\mathit{PO}$；② $△\mathit{ADE}\backsim △\mathit{PCB}$；③ $\text{tan}\angle \mathit{EAD}=\frac{\mathit{ED}}{\mathit{EA}}$；④ $B{D}^2=2\mathit{AD}\cdot \mathit{OP}$.其中一定正确的是（ ）

如图，一张半径为 $1$的圆形纸片在边长为 $4$的正方形内任意移动，则在该正方形内，这张圆形纸片“能接触到的部分”的面积是（ ）

如图，点 $C$是半圆 $O$的中点， $\mathit{AB}$是直径， $\mathit{CF}\perp$弦 $\mathit{AD}$于点 $E$，交 $\mathit{AB}$于点 $F$，若 $\mathit{CE}=1,\mathit{EF}=\frac{10}{3}$，则 $\mathit{BF}$的长为（ ）

已知 $\odot O$的半径为 $2,A$为圆内一定点， $\mathit{AO}=1.P$为圆上一动点，以 $\mathit{AP}$为边作等腰 $△\mathit{APG},\mathit{AP}=\mathit{PG},\angle \mathit{APG}={120}^{\circ },\mathit{OG}$的最大值为（ ）

如图，已知在矩形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AB}=1,\mathit{BC}=\sqrt{3}$，点 $P$是 $\mathit{AD}$边上的一个动点，连接 $\mathit{BP}$，点 $C$关于直线 $\mathit{BP}$的对称点为 $C_1$，当点 $P$运动时，点 $C_1$也，随之运动.若点 $P$从点 $A$运动到点 $D$，则线段 $C{C}_1$扫过的区域的面积是（ ）

如图，四边形 $\mathit{ABCD}$中， $\mathit{AD}//\mathit{BC},\angle \mathit{ABC}={90}^{\circ },\mathit{AB}=5,\mathit{BC}=10$，连接 $\mathit{AC},\mathit{BD}$，以 $\mathit{BD}$为直径的圆交 $\mathit{AC}$于点 $E$.若 $\mathit{DE}=3$，则 $\mathit{AD}$的长为（ ）

如图，圆锥的母线长是 $3$，底面半径是 $1,A$是底面圆周上一点，从 $A$点出发绕侧面一周，再回到 $A$点的最短的路线长是＿＿＿＿＿.

如图，在 $\odot O$中，直径 $\mathit{AB}=10,C,D$是上半圆弧 $\mathit{AB}$上的两个动点.弦 $\mathit{AC}$与 $\mathit{BD}$交于点 $E$，则 $\mathit{AE}\cdot \mathit{AC}+\mathit{BE}\cdot \mathit{BD}=$＿＿＿＿＿.

如图，圆柱底面半径为 $2\text{cm}$，高为 $9\pi \text{cm},A,B$两点分别在圆柱的两个底面圆周，且在同一母线上，用一根棉线从点 $A$顺着圆柱侧面绕 $3$圈到点 $B$，棉线最短需要＿＿＿＿＿ $\text{cm}$（结果保留 $\pi )$.

如图， $△\mathit{ABC}$内接于 $\odot O$，且 $\mathit{AB}=\mathit{AC}$，直径 $\mathit{AD}$交 $\mathit{BC}$于点 $E,F$是OE中点，如果 $\mathit{BD}//\mathit{CF},\mathit{BE}\cdot \mathit{EC}=\mathit{DE}\cdot \mathit{AE}$，且 $\mathit{BE}=\sqrt{5}$，则 $\mathit{AC}=$＿＿＿＿＿.

如图， $D$是 $△\mathit{ABC}$的边 $\mathit{AB}$上的一点，且 $\mathit{AB}=3\mathit{AD},P$是 $△\mathit{ABC}$外接圆上一点，使得 $\angle \mathit{ADP}=\angle \mathit{ACB}$，则 $\frac{\mathit{PB}}{\mathit{PD}}=$＿＿＿＿＿.

如图， $\odot O$的直径 $\mathit{AB}$垂直于弦 $\mathit{CD}$，垂足为 $H$.点 $P$是弧 $\mathit{AC}$上一点（点 $P$不与 $A,C$两点重合）.连接 $\mathit{PC},\mathit{PD},\mathit{PA},\mathit{AD}$，点 $E$在 $\mathit{AP}$的延长线上， $\mathit{PD}$与 $\mathit{AB}$交于点 $F$.给出下列四个结论:① $C{H}^2=\mathit{AH}\cdot \mathit{BH}$；② $\stackrel{⏜}{\mathit{AD}}=\stackrel{⏜}{\mathit{AC}}$；③ $A{D}^2=\mathit{DF}\cdot \mathit{DP}$；④ $\angle \mathit{EPC}=\angle \mathit{APD}$.其中正确的结论是＿＿＿＿＿.（只填序号）.

正方形 $\mathit{ABCD}$内接于 $\odot O,E$为 $\mathit{DC}$的中点，直线 $\mathit{BE}$交 $\odot O$于点 $F$，如果 $\odot O$的半径为 $\sqrt{2}$，则点 $O$到 $\mathit{BE}$的距离 $\mathit{OM}=$＿＿＿＿＿.

如图， $\mathit{PA},\mathit{PB}$分别切 $\odot O$于点 $A$，点 $B,\mathit{AC}$是 $\odot O$的直径， $\mathit{AC},\mathit{PB}$的延长线交于点 $E,F$为 $\mathit{AP}$的中点， $\mathit{AB}$分别交 $\mathit{OP},\mathit{EF}$于点 $T$，点 $S$，若 $\frac{\mathit{BE}}{\mathit{BP}}=\frac{2}{3}$，则 $\frac{\mathit{AT}}{\mathit{SB}}=$＿＿＿＿＿.

如图所示， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的直径，点 $C,D$是 $\odot O$上不同的两点，直线 $\mathit{BD}$交线段 $\mathit{OC}$于点 $E$，交过点 $C$的直线 $\mathit{CF}$于点 $F$，若 $\mathit{OC}=3\mathit{CE}$，且 $9\left(E{F}^2-C{F}^2\right)=O{C}^2$.

（1）求证:直线 $\mathit{CF}$是 $\odot O$的切线；

（2）连接 $\mathit{OD},\mathit{AD},\mathit{AC},\mathit{DC}$，若 $\angle \mathit{COD}=2\angle \mathit{BOC}$.

①求证: $△\mathit{ACD}\sim △\mathit{OBE}$；

②过点 $E$作 $\mathit{EG}//\mathit{AB}$，交线段 $\mathit{AC}$于点 $G$，点 $M$为线段 $\mathit{AC}$的中点，若 $\mathit{AD}=4$，求线段 $\mathit{MG}$的长度.

如图， $△\mathit{ABC}$是 $\odot O$的内接三角形，过点 $C$作 $\odot O$的切线交 $\mathit{BA}$的延长线于点 $F,\mathit{AE}$是 $\odot O$的直径，连接 $\mathit{EC}$.

（1）求证: $\angle \mathit{ACF}=\angle B$；

（2）若 $\mathit{AB}=\mathit{BC},\mathit{AD}\perp \mathit{BC}$于点 $D,\mathit{FC}=4,\mathit{FA}=2$，求 $\mathit{AD}\cdot \mathit{AE}$的值.

已知等腰三角形 $△\mathit{ABC}$中， $\mathit{AB}=\mathit{AC},\angle C$的平分线与 $\mathit{AB}$边交于点 $P$， $M$为 $△\mathit{ABC}$的内切圆 $\odot I$与 $\mathit{BC}$边的切点，作 $\mathit{MD}//\mathit{AC}$，交 $\odot I$于点 $D$.

证明: $\mathit{PD}$是 $\odot I$的切线.

如图，已知 $\odot O$和 $\odot O^{\text{'}}$相交于 $A,B$两点，过点 $A$作 $\odot O^{\text{'}}$的切线交 $\odot O$于点 $C$，过点 $B$作两圆的割线分别交 $\odot O,\odot O^{\text{'}}$于点 $E,F,\mathit{EF}$与 $\mathit{AC}$相交于点 $P$.

（1）求证: $\mathit{PA}\cdot \mathit{PE}=\mathit{PC}\cdot \mathit{PF}$；

（2）求证: $\mathrm{}\frac{P{E}^2}{P{C}^2}=\frac{\mathit{PF}}{\mathit{PB}}$；

（3）当 $\odot O$与 $\odot O^{\text{'}}$为等圆时，且 $\mathit{PC}:\mathit{CE}:\mathit{EP}=3:4:5$时，求 $△\mathit{PEC}$与 $△\mathit{FAP}$的面积的比值.

如图所示， $\mathit{AB}$是 $\odot O$的一条弦， $P$是 $\odot O$外一点， $\mathit{PB}$切 $\odot O$于点 $B$， $\mathit{PA}$交 $\odot O$于点 $C$，且 $\mathit{AC}=\mathit{BC},\mathit{PD}\perp \mathit{AB}$于点 $D,E$是 $\mathit{AB}$的中点，求证: $\mathit{PB}=2\mathit{DE}$.

如图， $△\mathit{ABC}$是钝角三角形， $\angle A>{90}^{\circ },\odot O$是 $△\mathit{ABC}$的外接圆，直径 $\mathit{PQ}$恰好经过 $\mathit{AB}$的中点 $M,\mathit{PQ}$与 $\mathit{BC}$的交点为 $D,\angle \mathit{CDO}={45}^{\circ },l$为过点 $C$圆的切线，作 $\mathit{DE}\perp l,\mathit{CF}$也为圆的直径.

（1）求证: $△\mathit{CFB}\sim △\mathit{DCE}$；

（2）已知 $\odot O$的半径为 $3$，求 $A{D}^2+C{D}^2$的值.

如图，已知圆内接四边形 $\mathit{ABCD}$的对角线 $\mathit{AC},\mathit{BD}$交于点 $N$，点 $M$在对角线 $\mathit{BD}$上，且满足 $\angle \mathit{BAM}=\angle \mathit{DAN},\angle \mathit{BCM}=\angle \mathit{DCN}$.求证:

（1） $M$为 $\mathit{BD}$的中点；

（2） $\frac{\mathit{AN}}{\mathit{CN}}=\frac{\mathit{AM}}{\mathit{CM}}$.