如图1，经过原点 $O$的抛物线 $y=a{x}^2+\mathit{bx}(a$、 $b$为常数， $a\ne 0)$与 $x$轴相交于另一点 $A(3,0)$．直线 $l:y=x$在第一象限内和此抛物线相交于点 $B(5,t)$，与抛物线的对称轴相交于点 $C$．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在 $x$轴上找一点 $P$，使以点 $P$、 $O$、 $C$为顶点的三角形与以点 $A$、 $O$、 $B$为顶点的三角形相似，求满足条件的点 $P$的坐标；

（3）直线 $l$沿着 $x$轴向右平移得到直线 $l\text{'}$， $l\text{'}$与线段 $\mathit{OA}$相交于点 $M$，与 $x$轴下方的抛物线相交于点 $N$，过点 $N$作 $\mathit{NE}\perp x$轴于点 $E$．把 $\mathit{\Delta MEN}$沿直线 $l\text{'}$折叠，当点 $E\text{'}$恰好落在抛物线上时（图 $2)$，求直线 $l\text{'}$的解析式；

（4）在（3）问的条件下（图 $3)$，直线 $l\text{'}$与 $y$轴相交于点 $K$，把 $\mathit{\Delta MOK}$绕点 $O$顺时针旋转 $90°$得到△ $M\text{'}\mathit{OK}\text{'}$，点 $F$为直线 $l\text{'}$上的动点．当△ $M^{\text{'}}\mathit{FK}\text{'}$为等腰三角形时，求满足条件的点 $F$的坐标．